Файл: Бекнев В.С. Газовая динамика газотурбинных и комбинированных установок учеб. пособие.pdf

Подстановка величин в размерное уравнение движения преоб­ разует его к виду

При преобразовании следует иметь в виду, что постоянные значения масштабов выносятся за символы операций, например:

d

'S ' d~x ей

Vp"o ~ grad (div и).

В полученной записи уравнения движения каждый член имеет одинаковую размерность, которая определяется масштабным мно­ жителем. Для приведения членов уравнения к безразмерному значению, надо разделить их на какой-либо выбранный масштаб­ ный множитель. Соразмерим все члены уравнения движения с членом, характеризующим силы инерции от конвективной составляющей, получим

141

Полученная безразмерная форма уравнения движения позво­ ляет утверждать следующее. Пусть имеется два различных дви­ жения жидкой среды, и в обоих случаях преобразование размер­ ных уравнений движения привело их к одинаковому безразмер­ ному уравнению (136). Следовательно, рассматриваемые движе­ ния будут подобны, а условием их подобия является равенство для обоих случаев безразмерных масштабных комплексов. Если равными окажутся только некоторые из безразмерных масштаб­ ных комплексов, то подобие будет частичным.

Критерии гидродинамического подобия, согласно уравнению (136) движения, представляют собой, таким образом, следующие величины:

Критерий Струхаля St = ll(vt) является отношением ло­ кальных и конвективных сил инерции и представляет собой без­ размерную частоту явлений. Эта характеристика важна в неста­ ционарных процессах. При стационарном процессе характерное время / между повторяющимися событиями стремится к беско­ нечности, а критерий St = 0.

превосходит единицу, численное значение критерия Eu для сжи­ маемых сред можно оценить как величину, приблизительно обрат­ ную числу М2 . При движении жидких металлов в магистралях рассматриваемых КУ критерий Эйлера равен 1—10.

Критерий Фруда Fr = gl/v* является отношением силы тя­ жести к силам инерции, если в качестве массовых сил рассматри­ вать силу тяжести с масштабом, равным / 0 = g ускорению силы тяжести. Величина этого отношения даже для жидких металлов, двигающихся по коммуникациям КУ, мала (редко более 0,01).

лах 105—107 для ядра движущегося потока. Однако его значение

С учетом обозначений критериев в безразмерном виде уравне­

142

Удобство такой записи заключается в том, что можно произво­ дить сравнение отдельных членов уравнения между собой и упро­ щать уравнение путем отбрасывания заведомо малых членов, не производя решения. Для этого надо только оценить ожидаемые значения критериев подобия.

В случае, если в газодинамических явлениях тепловые потоки столь велики, что их неучет вносит искажения в конечные резуль­ таты, необходимо моделирование с учетом тепловых критериев подобия.

Критерии теплового подобия могут быть получены из рассмотре­ ния уравнения (91) энергии, записанного для единицы объема.

Напомним, что при преобразовании уравнения энергии к этой форме были использованы такие уравнения, как уравнения дви­

теплового подобия путем сопоставления необходимых членов. Критерий Прандтля Рг является отношением теплового по­ тока, возникающего вследствие работы сил трения, к потоку теплоты, обусловленному теплопроводностью. Отношение этих величин можно найти, рассмотрев отношение члена цД к члену

сііѵ Q = div (—К grad Т). Величина |.іД структурно имеет такое строение:

С учетом масштабов и безразмерных величин отношениеэтих членов

Представление критерия Прандтля как отношения коэффи­ циента кинематической вязкости ѵ (иначе коэффициента диффу­ зии v вихря со в уравнении для распространения вихря) к коэф­ фициенту температуропроводности а (иначе коэффициента диффу­ зии температуры в уравнении для распространения температуры: dTIdt = a AT) позволяет толковать число Рг как критерий, сравнивающий скорость диффузии (рассеяния) вихря скорости со скоростью диффузии температуры.

143

Для газов критерий Рг равен единице или менее, в неметал­ лических жидкостях он всегда больше единицы (иногда суще­ ственно), а в жидких металлах часто много меньше единицы.

Критерий Пекле Ре является отношением теплоты вследствие конвекции к потоку теплоты теплопроводности. Отношение этих величин можно найти, рассмотрев вектор плотности потока теп­ лоты (количество теплоты, переносимой через единицу поверх­ ности в единицу времени):

температуры на поверхности нагрева со стороны потока омываю­ щей ее жидкости. Для его получения рассмотрим поток теплоты

температуры жидкости и стенки. С учетом масштабов и безраз­ мерных величин получаем уравнение для - ^ - :

Откуда следует, что величину Nu = allX можно называть

безразмерным коэффициентом теплоотдачи.

Комплекс используемых критериев магнитогидродинамического подобия включает в себя как рассмотренные выше критерии гидро­ газодинамического и теплового подобия, так и специфические кри­ терии, отражающие особенности магнитной гидрогазодинамики.

144

Рассмотрение последних удобнее начать с приведения обобщен­ ного закона (8) Ома к безразмерной форме при использовании

соотношения j = —-— rot В. Введем дополнительно следующие масштабы и безразмерные величины:

В = В0В, Е = Е0Е, а = о0 а, \хта = p.0 f.im a .

Сделав подстановки, получим

Его аналогия с обычным числом Рейнольдса Re = и//ѵ заклю­ чается в трактовке величины ѵ,„ = 1/схц.ша как «магнитной» вяз­ кости. Однако физический смысл магнитного числа Рейнольдса выясняется из сравнения в законе Ома членов / и о(ѵХВ). Пер­

вый из них, равный —-— rot В, является полным током, теку-

l-'/na

щим в среде, второй — током наведенным (индуцированным) от движения среды. Стало быть, магнитное число Рейнольдса это

гнитное поле, поэтому магнитное число Рейнольдса можно трак­ товать и как отношение наведенного магнитного поля к полному магнитному полю. Малость величины Re,n означает, что вслед­ ствие наведенного магнитного поля искажение внешнего нало­