Файл: Бекнев В.С. Газовая динамика газотурбинных и комбинированных установок учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 176
Скачиваний: 0
Магнитогндродинамическое воздействие — воздействие не эле ментарное. В электропроводящей среде, имеющей конечное зна чение электропроводности ст, оно слагается из двух неразделимых факторов: джоулева нагрева и действия пондеромоторной силы. Джоулев нагрев является необратимым воздействием, а действие
пондеромоторной силы fm = -^-(jxB) |
обратимо и зависит от на |
правления векторов магнитного поля В и электрического тока /.
На рис. 84 изображена схема электропроводящего газа, соот ветствующая каналу МГД-насоса (ускорителя), так как элек трический ток течет вдоль оси у:
] = У/орті
а направление действия пондеромоторной силы [,п совпадает с направлением скорости ѵ потока (табл. 3). Если изменить на правление электрического тока / на обратное, то направление действия пондеромоторной силы /,„ будет противоположно ско рости v, что соответствует каналу МГД-генератора.
3. Схематическое изображение электромагнитного воздействия |
на поток |
||||||||
|
|
в канале |
постоянного |
сечения |
|
|
|||
Х а р а к т е р |
Д о з в у к о в о й |
поток |
M < 1 |
С в е р х з в у к о в о й |
поток |
M > 1 |
|||
воздействия |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
dv < 0 |
MТДнасос |
- |
МГД-генератор |
|
|||||
0 |
3* |
'/ |
1 |
J |
|
||||
Торможение |
1 |
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
V |
1 |
|
fm ~~ * |
" |
Ѵ |
|
|
|
|
|
г— |
~1 |
|
|||
|
|
МГД-генерашор |
|
МГД-насос |
|
||||
Ускорение |
1 |
|
1 |
|
! |
1, |
|
||
dv> |
0 |
/ — |
• |
|
~ѵ |
V |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
|
1 |
|
! |
1 |
|
Для вывода уравнений воздействия удобнее обратиться к ис ходной системе (27), (137), (138), отбросив члены, не учитывающие электромагнитное воздействие:
° - Ѣ — - т & + ^ |
( 1 6 8 ) |
pvs = G; р = - ^ г - |
|
173
Согласно рис. 84,
Im = 7 ( 1 ' Х ^ ) = 7 ßl = îmJ
и направлена по движению газа. С учетом этого мощность
Величина Q,n представляет собой джоулеву теплоту, выде-
1 у*
ленную в единице массы газа и равную — -^-.
В результате уравнения (168) и (169) примут вид
ѵ |
4 |
- |
= |
- |
— |
( |
1 |
7 |
° |
) |
dx |
|
|
p dx |
' |
р 1 |
|
|
|
ѵ |
' |
dT , |
d |
( v2 |
\ |
1 . 0 |
I |
1 j - |
|
|
, w n |
Исключим из уравнения (171) энергии механические величины, для чего вычтем из него уравнение (170), умноженное на ѵ. В ре зультате получим
°PV dx ~~ + |
p dx ~т~ p a " ' |
Если уравнения расхода и состояния записать в дифферен циальной форме (учтя, что dm = 0, ds = 0, где s — площадь сечения потока), то окончательно будем иметь следующую систему уравнений:
" 4 L |
= |
L |
4 L |
+ |
— / В ; |
|
(172) |
dx |
|
p |
dx |
1 |
p 1 ' |
K |
' |
- ^ = |
- L |
- ^ |
+1 |
— |
A |
4 |
(173) |
d.v |
pCp |
dx |
|
opcp a |
|
' |
|
» - £ + » т = °; |
|
( ' « ) |
Выразим изменение величин v, p, T, p под влиянием электро магнитного воздействия. Для этого используем соотношения:
cp — cv = R, -^- = k,
Р
Для определения изменения ѵ необходимо подставить в урав нение (175) значение dp/dx из уравнения (174) и dTldx из уравне-
174
ния (173). Затем значение dpldx, найденное из уравнения (175), следует подставить в уравнение (172), в результате получим
( M » - 1 ) J * |
+ |
|
( 1 7 6 ) |
|
v |
; V dx |
va2 pa 1 о2 p |
v |
' |
Чтобы найти изменение величины р, необходимо использовать
уравнение (172), подставив в него |
значение dv/dx из |
уравне |
||
ния |
(176): |
|
|
|
|
( M 3 |
_ ] ) ^ ^ ( ^ _ l l z ^ _ . ß _ |
( 1 7 7 ) |
|
Для определения |
изменения р |
надо использовать |
уравне |
|
ние |
(174), подставив |
в него значение |
dv/dx: |
|
( M ' - D - g — ( 1 7 8 )
Чтобы найти изменение Т, нужно использовать уравнение (173), подставив в него значение dpldx из уравнения (177), тогда
ѵ ' dx Сррѵ a рср1 4 '
Следует отметить, что аналогичное соотношение можно полу
чить для |
производной dM/dx [соотношения |
(176)—(179) |
можно |
получить |
и из выражений (147)—(150), если |
величины |
dQm,BK, |
и dLm, мех трактовать согласно § 17].
Рассмотрим качественные результаты, следующие из системы уравнений (176)—(179). Первый член справа представляет собой необратимое воздействие вследствие джоулева тепловыделения. Характер этого действия аналогичен действию подводимой извне
теплоты |
dQrlltBli, |
разобранному |
в § 21. Например, в дозвуковом |
||
потоке, |
где |
М < |
1, джоулево |
тепловыделение ускоряет |
поток |
(dv >> 0), а |
в сверхзвуковом, |
где M >• 1 — тормозит (dv |
<С 0). |
Принцип обращения воздействия к данному воздействию не при меним в силу его необратимости.
Второй член справа описывает обратимое воздействие от пондеромоторной силы (jxB)x. Знаки перед вторыми членами соответ ствуют рассмотренному на рис. 86 движению электропроводящего газа в МГД-насосе, для перехода к режиму МГД-генератора необ ходимо их изменить на обратные, что соответствует изменению на обратное направление электрического тока /'. На рис. 87 дана таблица возможных воздействий пондеромоторной силы. Следует обратить внимание, что разгон и торможение потока не всегда соответствуют действию пондеромоторной силы fm вдоль или соответственно против потока.
Воздействие только от пондеромоторной силы возможно лишь в среде с бесконечно большой электропроводностью а, где незна
чительно |
джоулево |
тепловыделение, т. е. при очень больших |
значениях |
чисел Rem |
= av\iml. |
175
Для рассмотрения количественных зависимостей необходимо добавить к системе соотношений (176)—(179) уравнение (94) индукции.
В случае стационарного одномерного движения вдоль оси д уравнение (94) принимает вид
d (vB) |
d*-B |
,, о л ч |
Уравнение (180) показывает, что внутри движущейся жидкости величина электромагнитного поля не равна значению приложен ных извне полей Е и В, а целиком определяется уравнениями Максвелла.
Рассмотрим в дальнейшем более простой, но технически важ ный случай движения потока с малыми числами Rem . Это озна чает, что внутри движущейся жидкости можно пренебречь наво димыми магнитными полями вследствие текущих в ней токов При этом уравнения Максвелла игнорируются, т. е. игнори руется связь между полями Е п В и электрическим током /. Счи тается, что электрическое Е и магнитное В поля в жидкости тожде ственно равны внешним приложенным полям Е и В, которые вдоль оси X можно задавать произвольным образом с помощью технических устройств. Величина электрического тока в жидкости определяется только законом Ома [формула (8)J.
В результате такой постановки задачи электромагнитное поле служит лишь внешним фактором (подобным трению или теплообмену), оказывающим влияние на параметры потока только через воздействие пондеромоторной силы и джоулева тепловыде ления. Поэтому в данной схематизации такое явление, как рас пространение альвеновских и магнитозвуковых волн, будет несу щественным. Следовательно, для рассматриваемой постановки задачи возмущения будут только звуковыми. Реальность различ ных ситуаций, получаемых в результате этих допущений, оцени вается, конечно, с помощью уравнения (180).
Рассмотрим электрический к. п. д. процесса н,, под которым будем подразумевать отношение работы электромагнитного поля Ej за единицу времени над электрическими зарядами, заключенными в единице объема, к работе fvv, также за единицу времени объем ной плотности пондеромоторной силы /у над единицей объема движущейся проводящей жидкости:
_ Tj
Эта величина может меняться вдоль оси х, так что следует рассматривать местный электрический к. п. д. г|. Для условий, изображенных на рис. 84, было получено, что
~fvv = jBv.
176
Согласно соотношениям (167) получаем, что Ej — Ej и, сле довательно,
Е
В МГД-насосе Ej затрачивается на джоулево тепловыделе ние /2/ст и преодоление работы fvv, т. е.
В МГД-канале баланс рассмотренных величин таков:
|
|
|
|
|
}ѵѵ |
= |
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, для |
МГД-насоса электрический |
к. п. д. |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
Л = |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fvv |
|
|
|
|
|
|
всегда |
больше |
единицы, а для МГД-генератора |
величина |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
= |
|
|
|
|
|
|
заключена |
между |
единицей |
(когда |
величина |
fvv = |
Ej |
и |
нет |
|||||
джоулева тепловыделения) и нулем (когда вся |
работа |
fvv |
= |
/ 2 /а |
|||||||||
затрачивается на джоулево тепловыделение). |
|
|
|
|
|||||||||
Исходя из векторной записи закона Ома, согласно обозначе |
|||||||||||||
ниям |
рис. |
86, |
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j = jy = |
оЕ |
— |
аѵВ = |
оѵВ |
(и — 1). |
|
|
(181) |
|||
При т) > |
1 ток |
/ > |
0 |
и |
расположение векторов на рис. 84 |
||||||||
действительно |
соответствует |
каналу МГД-насоса; при |
0 < г ) |
•< 1 |
|||||||||
ток / |
< 0 , как |
это |
и должно быть |
для |
канала |
МГД-генератора. |
Рассмотрим изменение параметров потока вдоль оси х для случая движения потока с малыми магнитными числами Рей нольдса Re,„. Подставим соотношение (181) в формулу (176).
Учитывая, что а2 = |
получим выражение |
|
||
(M» - 1 ) - g - |
= - |
<|І (v - |
Wl) (v - wu), |
(182) |
в котором комплексы шх |
и w.2 |
имеют |
размерность |
скорости: |
k— 1 |
|
Е |
|
Выражение (182) позволяет утверждать, что для рассматри ваемого изолированного электромагнитного взаимодействия при
12 |
в. С. Бекнев |
177 |