Файл: Бекнев В.С. Газовая динамика газотурбинных и комбинированных установок учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 180
Скачиваний: 0
рованные магнитные силовые линии для случая, когда электри ческий ток в плоскости z = 0 течет перпендикулярно плоскости zx. В рассматриваемом случае это будет именно так, ибо при сделан ных предположениях нет причин для отклонения тока от указан ного направления: эффект Холла считаем отсутствующим, сплош ные электроды выравнивают электрический потенциал вдоль оси X. Следовательно, можно считать магнитное поле внутри канала состоящим из двух компонент: постоянного наложенного
поля Вг = const и индуцированного |
поля Вх, зависящего |
только |
от координаты z, т. е. В [Вх (z), 0, |
Вг]. |
|
Запишем основные уравнения с |
учетом того, что в |
нашем |
случае уравнение (26) неразрывности имеет вид div ѵ = 0, а массо-
|
\г |
{В |
„ |
|
|
|
|
вая сила Jm = |
±-Qx~В). |
|
|||
|
|
|
Электрические токи |
|
• |
|
Р |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда уравнение движе |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ния примет вид |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(о ѵ ) о = |
1•gradp |
+ |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
| ( / х 5 ) + |
ѵЛ5.(184) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнения Максвел |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ла |
используем в виде |
|||
Рис |
Распределение |
безразмерных |
осевых |
уравнений |
(1)—(4), |
а |
|||||||
обобщенный |
закон Ома |
||||||||||||
|
скоростей по сечению канала |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в виде выражения (8). |
||||
|
Продолжим рассмотрение возникающих упрощений. Из урав |
||||||||||||
нения (4) |
|
|
дВх |
|
дВг |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
= |
0, |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
дх |
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
следует подтверждение, что Вг |
постоянно по координате z, так |
||||||||||||
как |
поле Вх |
от координаты х не зависит. |
|
|
|
||||||||
|
Из уравнения (1) следует, что |
электрический ток имеет со |
|||||||||||
ставляющую |
только |
по оси у: |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
. |
_ |
1 |
дВх (г) |
|
|
|
|
|||
|
|
|
l |
y ~ |
fima |
dz |
' |
|
|
|
|
т, е. является только функцией z, а именно / [0, \у (г), 0] .
Перейдем к электрическому полю и найдем вектор Е из урав нения (8):
|
|
Ё = |
±-]-(дхВ). |
|
|
Векторное произведение (ѵхВ) |
имеет только |
^-составляющую, |
|||
равную —vz (z) Вг. |
Следовательно, и поле |
Е имеет только |
|||
//-составляющую: |
_ |
1 |
дВЛг) |
|
|
р |
vx(z)Bz. |
|
|||
и |
~ |
ѵт |
dz |
|
|
182
От координат х и у входящие в это выражение величины не зависят, поэтому и производная [дЕуІдх = 0. Однако и от коорди наты z поле Еу тоже не зависит. Это видно из уравнения (2), имеющего в данном случае вид
dz |
' дх |
Поскольку дЕу/дх = 0, то Ец от координаты z не зависит. Значит поле Еу — const, что также понятно из физических усло вий задачи: нет токов Холла и имеются сплошные электроды. Итак, электрическое поле имеет следующую структуру:
|
|
Ё |
[0, Еу, |
0] . |
|
|
Из |
уравнения (3), в |
котором |
для |
рассматриваемого |
случая, |
|
div Е = |
0, следует, что |
в |
жидкости |
нет избыточных |
зарядов.- |
Таким образом, для практического использования остаются уравнения (1), (8), (184), которые проектируются на координат
ные оси следующим |
образом: |
|
|
|
|
|
^ - |
Т ^ |
+ |
І |
^ |
+ ѵ ^ ; |
(185) |
|
° = — Н ? - : |
|
( 1 8 6 ) |
|||
|
0 = |
- - | |
- |
- / А |
; |
(187> |
Mm a
u z
іу = аЕу~аахВг. |
(189) |
Из уравнения (186) следует, что как и для течения Пуазейля, давление не зависит от координаты у, однако по высоте канала вдоль оси z теперь существует градиент давления
др
|
|
dz |
~ |
|
—ІуВх, |
|
|
|
|
который |
является |
искомой |
величиной |
наряду |
со скоростью |
ѵхг |
|||
магнитным полем Вх и электрическим током \у . Магнитное поле |
Вг |
||||||||
и характеристики |
среды р, er, \іта, |
ѵ следует |
задать. |
Градиент |
|||||
давления дрідх, |
согласно уравнению (185), постоянен в силу |
||||||||
наших |
допущений. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Для |
решения |
дифференциальных уравнений (185), (187)— |
|||||||
(189) в |
качестве |
граничных условий |
следует |
принять: ѵх = 0 |
|||||
на стенках при z = ±h; Вх |
= |
0 |
на оси х при |
z = 0. |
|
||||
Последнее условие очевидно |
из |
рассмотрения рис. |
87. |
|
183-
Результат решения уравнений удобнее представить в без размерных величинах:
'Ох |
где ѵср |
определяется |
по уравнению (183); |
|
||||||
|
z = |
|
|
рѵ ср |
|
Вх |
5,Re„ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Re,„ = |
iimaavcph; |
RE |
— |
- E:i |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
vcpBz |
|
|
|
|
|
|
|
|
rt 2 |
a |
D 2 , 2 |
|
lu |
|
|
|
|
|
|
На |
= — |
BJi |
|
oBzvcp |
|
|
|
|
|
|
|
Решение |
уравнения |
(185) |
||
|
|
|
|
будет |
иметь |
вид |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
На fch На —ch |
(Наг)] |
(190) |
||
|
|
|
|
|
|
|
На ch На — sh На |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Из |
уравнения |
(189) |
имеем |
|
|
|
|
|
решение для |
плотности |
тока |
||||
|
|
|
|
|
|
|
] Y |
= RE~vx. |
(191) |
|
|
|
|
|
|
|
Наведенное магнитное поле |
||||
|
|
|
|
Вх |
из |
уравнения |
(188) |
|
||
~1,0 |
|
|
|
|
|
|
sh (На г) — г sh На |
(192) |
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
Рис. 89. |
Распределение |
безразмерных |
|
|
На ch На — sh На |
|||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
плотностей тока по сечению |
канала |
|
Градиент |
давления поперек |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
канала |
переменен |
и |
из |
уравнения |
(187) |
|
|
|
||
|
|
• _ â £ . = |
_ J ^ L |
H a |
2 |
• в |
|
|
(193) |
|
|
|
dz |
|
Re |
|
1 , J |
х |
|
|
|
Графически полученные результаты представлены на рис. 89— 91. Графики иллюстрируют влияние числа Гартмана на поведение поля осевых скоростей, поля токов и наведенного магнитного поля.
На графиках распределение параметров показано для трех
характерных случаев течения |
жидкости: |
1) критерий электрического |
поля ^ £ = 1, что означает разрыв |
внешней электрической цепи (режим холостого хода). Весь гене
рируемый электрический |
ток замыкается внутри канала; |
2) R E — 0. внешняя |
электрическая цепь замкнута накоротко |
и генерируемый в канале электрический ток беспрепятственно течет по ней в режиме короткого замыкания;
184
3) RE |
= |
2, течение тока по каналу обеспечивается |
питанием |
от внешнего источника (режимы МГД-насоса). |
|
||
Масштаб шкалы токов на рис. 90 соответствует течению с пара |
|||
метром |
RE |
= 1, для течений с параметрами RE = 0 |
и RE = 2 |
нуль на шкале токов должен находиться на соответствующей вертикали.
Из рис. 88 видно, что с ростом числа Гартмаиа профиль ско ростей в средней своей части становится более плоским, а распре деление скоростей у стенок — круче. Объяснение этому факту будет дано ниже на примере
Рис. |
90. |
Распределение безразмерной |
Рис. 91. Распределение осевых скоро- |
|||
напряжеиности |
индуцированного |
маг- |
стей при |
течении Пуазейля |
||
нитного поля |
по сечению канала |
|
|
|||
|
Разберем действие пондеромоторной силы/Ѵ на элемент жидко |
|||||
сти |
в |
канале. Учитывая, |
что |
электрический |
ток имеет только |
«/-составляющую, а магнитное поле х- и 2-составляющие, получим,
что сила /у = / X В = jyBzi |
— jyBxk, так |
что |
f\'x — lißz, fvy — 0. |
|
|
fVz |
= -juBx. |
(194) |
Рассмотрим, каковы знаки составляющих магнитного поля
иэлектрического тока.
Вэтом режиме течения эпюра распределения индуцированного магнитного поля Вх (рис. 91) такова, что в верхней части канала
при z > 0 поле Вх < 0 (в нижней его части при z < |
0 поле Вх |
> |
0, |
а для двух других режимов течения наведенное магнитное поле |
Bx |
||
существенно больше). Составляющая Вг всегда |
больше |
нуля. |
Распределение электрического тока в рассматриваемом режиме холостого хода (RE = 1) таково, что (см. рис. 90) у стенок канала электрический ток течет вдоль оси у, т. е. \ у >> 0, а внутри ка-
185-
нала — наоборот j (у) < 0 . Такое его поведение может быть объяснено следующим. Генерируемый в ядре потока электриче ский ток, не имея выхода из канала во внешнюю цепь, замыкается через слои жидкости у стенок, где скорость жидкости существенно меньше, а следовательно, генерируемый электрический ток мал.
Действительно, из закона Ома в нашем случае электрический
ток
|
|
jy = оЕу — оѵхВг. |
|
Проинтегрируем |
это |
выражение по высоте канала, учтем |
|
что в направлении |
оси |
у полный |
ток |
|
|
+л |
|
|
|
{ jy dy |
= О, |
|
|
—h |
|
и введем в рассмотрение среднюю скорость из уравнения (183). Тогда
|
|
|
Еу - |
Вгѵср |
|
|
|
|
:и выражение |
для |
электрического |
тока примет |
вид |
|
|
||
|
|
|
Іу = оВг{ѵср |
— ѵх). |
|
|
|
|
Итак, при |
ѵср |
> |
ѵх (у стенок) |
электрический |
ток |
} у >• О, |
||
т. е. ток течет вдоль |
оси у; при ѵср |
•< ѵх (в ядре потока) |
\ у < 0 , |
|||||
т. е. ток течет вдоль оси — у. |
|
|
|
|
|
|||
Возвращаясь |
к составляющим |
|
выражения |
(194) |
пондеромо- |
торной силы /V, с учетом полученных результатов можем сделать
•следующее заключение: |
у |
стенок, |
где |
ѵср |
> |
ѵх, |
составляющая |
|
пондеромоторной силы |
fVx |
> 0 и |
ускоряет |
движение жидкости, |
||||
в ядре потока — наоборот сила fVx |
< 0 |
и тормозит это движение. |
||||||
Действие составляющей |
fVx |
показано |
на рис. |
89. |
|
|||
Рассмотренное изменение эпюры |
скорости |
движущейся элек |
тропроводящей жидкости под действием приложенного магнит ного поля и составляет главное содержание эффекта Гартмана. С ростом градиента скорости у стенки увеличивается сила трения: приближенно можно считать, что отношение коэффициентов тре
ния при отсутствии и наличии магнитного поля |
равно ѴзНа. |
|
§ 24. ЭЛЕМЕНТЫ |
ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ |
|
ТЕОРИИ СМАЗКИ |
|
|
Уравнения движения вязкой жидкости позволяют рассчитать |
||
подшипник скольжения. |
|
|
Ограничимся |
упрощенной моделью явления |
применительно |
к течению масла в щели между неподвижной колодкой и враща ющейся опорой упорного подшипника скольжения. Будем счи тать, что движение несжимаемой вязкой жидкости между пло скостью, двигающейся со скоростью U0, и неподвижной криво-
186