Файл: Бекнев В.С. Газовая динамика газотурбинных и комбинированных установок учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 179
Скачиваний: 0
линейной стенкой установившееся (рис. 92). Определим подъем ную силу, действующую на колодку.
В реальных подшипниках скольжения толщина h масляного слоя весьма мала по сравнению с размером / колодки и незна чительно изменяется вдоль длины т. е. угол а мал. В связи с этим можем считать, что отношение hit стремится к нулю и
составляющая |
скорости |
ѵц |
0; |
будем |
также |
полагать, |
|||
что |
в |
направлении оси |
z |
движения масла |
нет и |
скорость |
|||
ѵг |
= |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
В силу этих предположений уравнение неразрывности для |
||||||||
несжимаемой |
жидкости div v |
= |
0 |
примет вид |
|
|
|||
дх 0.
Следовательно, скорость ѵх может зависеть лишь от коор динаты у : ѵх = ѵх (у). Если пренебречь также массовыми силами, то уравнения (65) дви жения запишутся в виде
0 = |
— |
]_ |
|
д2ѵх |
•- |
4 г # - v |
|
||||
|
|
Р |
дх |
ду2 |
|
0 |
= |
др_ |
др |
|
|
|
|
||||
|
|
ду |
= |
0. |
|
|
|
|
|
||
Следовательно, как и для течения Пуазейля, получено уравнение, связывающее изме нение давления масла в масля ном слое с изменением скоро сти в этом слое:
1 |
dp |
d2vx |
(x |
dx |
dy2 |
Ось Вала
0К \ \ \ \ \ \ \ Ч ѵ |
Вал |
и0 |
где р = р (х).
Отметим, что градиент давления dp/dx целиком определяется
вязкостью масла |
и. и производной dv2Jdy2, |
которая характеризует |
||
только силу трения. Силы инерции |
в |
полученное |
уравнение |
|
не входят, хотя |
скорость с д в и ж е н и я |
масла не мала; |
силы инер |
|
ции не рассматривались в силу сделанного предположения о ма лости расстояния h между колодкой и подшипником.
Перейдем к расчету давления на колодку.
Обозначим скорость ѵх через U и проинтегрируем 2 раза уравнение (195) по у, тогда получим
187"
Обозначая |
|
|
— b (.г), найдем |
из |
граничных |
условий С± |
||
и С2 . Граничные |
|
условия |
имеют вид: |
1) |
при у = |
0 скорость |
||
U = (70 ; 2) при |
у |
= |
h (х) |
скорость |
(7 = |
0. |
Следовательно, |
|
|
С2 |
— (70, |
С! — |
^ |
|
. |
|
|
Подставим эти |
значения |
в формулу для (7, тогда |
|
|||||
|
U |
= |
^f(y-h)--^-(y-h). |
|
||||
Через каждое сечение с высотой h проходит одно и то же количество масла
q=\udy |
= - |
12 |
' 2 |
|
ö |
|
|
|
|
Отсюда находим величину |
|
|
||
Ъ{х) |
12Q |
, |
6(7, |
|
h3 |
1 |
/г2 |
||
|
||||
т. е. градиент давления можно представить в виде
J_ |
_dp_ _ |
6U0 _ |
12Q |
j.i |
dx |
h- |
h3 |
Поскольку h уменьшается с ростом x, перепад давления вдоль колодки будет не постоянным. Интегрирование от 0 до х дает:
.Ï |
X |
|
p (x) = ро + 6u.<70 J - g - - |
12д.(? J -£jL. |
(196) |
об
Характер |
распределения давления р вдоль колодки |
показан |
на рис. 92. |
Очевидно, что давление р 0 перед колодкой |
на входе |
в щель и за колодкой на выходе из щели должно быть одинаковым. Из условия, что р (х) = ро при x = / находим зависимость рас хода масла от величины зазора, которая является заданной величиной:
п — J^L. f -ÉL
V ~ 2 J Л2
Таким образом, вычислив расход Q, можно подсчитать рас пределение давления р (х) вдоль колодки по формуле (196). Подъ емная сила, действующая на колодку, определится выражением
Р = \[р{х)~ |
р 0 ] dx. |
188
Можно также найти значение /г0 =• /г (л'„), при котором dp/dx = 0, т. е. определить сечение, в котором давление масла достигает наибольшего значения. Приравнивая dp/dx к нулю,
получим, что |
^Я - = |
0> т - |
е - |
ho — 2Q/t70 . |
|
||
Сравним |
это |
выражение |
с формулой для |
расхода |
Q, тогда |
||
|
|
|
J |
dxlh- |
|
|
|
|
|
|
j |
dx/h3 |
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
Отметим, |
что |
подъемная |
сила |
возникает |
в первую |
очередь |
|
под действием вязкости жидкости. Поэтому попадание в масло больших количеств керосина или воды, т. е. веществ с малой вязкостью, вызывает заклинивание подшипников вследствие воз никновения сухого трения. Подъемная сила определяется также формой зазора и величиной окружной скорости и0.
Г Л А В А V
ПЛОСКИЕ ДВИЖЕНИЯ НЕВЯЗКОЙ СРЕДЫ
§ 25. ПЛОСКОЕ ТЕЧЕНИЕ ИДЕАЛЬНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ И ЕГО СВЯЗЬ
С ТЕОРИЕЙ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
При плоском течении жидкость движется так, что все линии тока представляют собой плоские кривые, расположенные в па раллельных плоскостях, и скорости течения во всех точках любой прямой, перпендикулярной к этим плоскостям, одинаковы.
Рассмотрим плоское движение идеальной несжимаемой жид кости, обтекающей крыло произвольной формы (рис. 93).
Рис. 93. Линии тока при плоском установившемся течении
Уравнение неразрывности в плоской задаче принимает вид
|
Ѵх |
|
дѴу_ |
(197) |
|
дх |
|
ду |
|
|
1 |
|
||
Предположим, |
что движение жидкости |
задано уравнениями: |
||
ѵх |
= ѵх (х, у, |
t); |
ѵи = ѵу (х, |
у, t). |
Тогда дифференциальное уравнение линии тока запишется так: dx dy
ИЛИ
vx dy — Vy dx = 0. |
(198) |
190
Напомним, что условием полного дифференциала, как известно из курса математического анализа, является равенство накрест
лежащих |
производных, т. е. |
выражение |
|
|
|
M (х, у) dx |
+ N (х, у) dy |
|
|
является |
полным дифференциалом при дМІду |
= dN/dx. |
||
Из уравнения (197) видно, что левая часть уравнения (198) |
||||
является |
полным дифференциалом некоторой |
функции "ф (х, у), |
||
называемой функцией тока, |
т. е. |
|
||
|
dty = |
vxdy— vy dx. |
(199) |
|
По определению полного |
дифференциала |
|
||
Сравнивая коэффициенты при dx и dy в этих уравнениях, получим, что при плоском движении несжимаемой жидкости выполняются условия:
|
• • - S - i ' v — й - |
|
<2 0 0 > |
|
Линия тока |
характеризуется условием |
d\p = 0 |
или -ф = const. |
|
Интегрируя выражение (199), найдем |
уравнение линии |
тока |
||
і|) = const. Придавая произвольной постоянной |
различные |
зна |
||
чения, получим семейство линий тока. |
|
|
|
|
Выясним |
физический смысл функции тока я|). |
|
||
Прежде всего по определению, вектор скорости всегда касателен к линии тока; следовательно, жидкость течет между ли
ниями |
тока. |
|
|
|
|
Подсчитаем объемный расход жидкости, протекающей через |
|||||
произвольную дугу /, соединяющую точки 1 и 2 линий тока |
= |
||||
= Сх |
и |
л|)2 = С 2 . Этот |
расход определяется |
потоком вектора |
|
скорости |
V через цилиндрическую поверхность |
s с высотой, |
рав |
||
ной единице, или иначе |
интегралом вида |
|
|
||
|
|
|
2 |
|
|
где ds = п dl 1. Следовательно,
dsx = dl cos (п, х) = dy;
-"S
dsy — dl cos (n, y) = —dx.
191
Известно, что скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений одноименных проекций. Тогда уравнение расхода получает вид
2 |
|
2 |
|
|
|
Q = |
I vKdy |
— Vy dx = |
I d\p •— |
— = C2 |
— С1ш |
î |
. |
|
l |
|
|
Итак, физически |
разность |
между |
значениями |
функций тока |
|
в двух точках плоскости представляет собой объемное количество жидкости, протекающей между линиями тока, проходящими через эти точки. Наложим на рассматриваемый поток дополнительное
условие — потенциальность |
|
течения. |
|
|
|
|
||||||
Если поток потенциален, то, как было ранее показано, суще |
||||||||||||
ствует |
такая функция ср (х, |
у, |
t), что |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
= |
|
= |
|
|
|
|
< 2 0 1 > |
Сравнивая выражения (200) и (201), получим связь между |
||||||||||||
функцией |
\р (.V, у, |
t) |
тока |
и |
потенциалом |
скорости |
ср (х, у, t), |
|||||
т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dtp |
dip . |
дц> |
|
dip |
|
(202) |
|||
|
|
|
дх |
ду |
1 |
ду |
|
дх |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
При выполнении условий (202) функции ср и \р дают одну |
||||||||||||
функцию |
W аргумента |
z = х |
-f- іу, |
т. |
е. |
|
|
|
||||
|
|
|
W |
(z) |
= ф (х, у) + |
hp (Л-, |
у). |
|
|
|||
Эта |
функция |
W (г) |
комплексного |
переменного |
z = х + іу |
|||||||
называется |
комплексным |
потенциалом |
|
течения |
или |
характери |
||||||
стической |
функцией, |
где |
независимое |
переменное |
z |
представляет |
||||||
собой любую точку плоскости декартовых координат, в которой все действительные числа изображаются точками оси х, чисто
мнимые — точками |
оси у, |
а комплексные |
числа |
как сочетание |
||||||||
2 = |
X + |
Іу. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При этом потенциал скорости ср и |
функция тока |
і|> |
таковы, |
||||||||
что |
в выражении |
ср + п|э величины х |
и |
у |
встречаются |
только |
||||||
в комбинации х + іу, т. е. |
выражение |
W |
(z) |
— ср -)- hp является |
||||||||
функцией |
одного переменного |
z. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
Если в некоторой точке соблюдаются условия (202), то функ |
|||||||||||
ция |
|
комплексного |
переменного |
W (z) |
дифференцируема |
в этой |
||||||
точке |
по |
z. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Условия (202) называются условиями Кошп-Римана. По |
|||||||||||
скольку условия Коши-Римана для функции |
W = |
ср -f- hp в пло |
||||||||||
ском |
потенциальном потоке |
несжимаемой |
жидкости |
выполнены, |
||||||||
то функция тока л|з и потенциал скорости |
ср являются |
сопряжен |
||||||||||
ными |
функциями, |
так как |
из |
уравнения |
неразрывности |
|
||||||
|
|
|
|
дѵ, |
, д-ѵäи- — 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дх |
1 |
ду |
|
|
|
|
|
|
192
