|
или подставляя значения Q = |
|
cos |
ß; Г = wxt sin |
ß и, помня, |
|
что |
|
e»'ß = |
cos ß |
+ |
t sin |
ß; |
|
e-'P |
= cos ß — i sin |
ß, |
|
|
|
|
|
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-iß |
in |
|
|
e, p In- |
|
|
|
Приравнивая |
It? (г) = W (£), |
находим функцию |
отображения |
|
|
2 = -IT— |
Hl • |
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2П |
L |
— Ii |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- r - e 2 , ' ß ln - |
~ |
|, |
(232) |
|
|
|
|
|
переводящую |
течение |
из |
|
|
|
|
|
плоскости |
единичного |
круга |
|
|
|
|
|
в течение в плоскости ре |
|
|
|
|
|
шетки |
из |
пластин. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
качестве |
примера |
рас |
|
|
|
|
|
смотрим |
соответствие |
неко |
|
|
|
|
|
торых |
линий |
в |
плоскостях |
|
|
|
|
|
г и |
£. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Нулевым |
линиям |
тока |
Рис. 129. Обтекание решетки пластин |
|
MB |
и AN |
в плоскости z соот |
|
|
|
в произвольном |
потоке |
|
ветствуют |
спирали |
ІтВ |
и |
|
|
|
|
Ап2 плоскости £. Линии, пересекающей полоску слева от ре шетки, соответствует замкнутая кривая вокруг точки / плоскости £.
Заметим, что в функцию отображения входит неизвестная величина /г, которую мы в дальнейшем будем определять.
Общая задача обтекания решетки, составленной из прямоли
нейных |
профилей, произвольным |
потоком жидкости |
(рис. |
129) |
сводится |
к |
решению трех задач: |
|
|
|
|
|
1. обтекание решетки потоком жидкости, совпадающим с на |
правлением |
плоских |
профилей |
(рис. |
130); |
|
|
|
2. |
обтекание решетки потоком |
жидкости, |
перпендикулярным |
направлению плоских |
профилей |
(рис. |
131); |
|
|
|
3. |
чисто |
циркуляционный |
поток |
вокруг |
этих |
профилей |
(рис. |
132). |
|
|
|
|
|
|
|
|
При чисто циркуляционном |
движении Ж И Д К О С Т И ДОгі = |
— |
— Wr, |
а |
циркуляция |
Тас<іь = Г л |
= wr2t. |
|
|
|
Обозначим среднегеометрическую скорость потока до и после
решетки через w0 = |
(рис. 129). |
Тогда |
первый |
поток |
будет |
иметь |
скорость |
w0 cos |
ô, второй |
w0 sin ô, |
а третий — циркуляционный, |
с |
циркуляцией |
|
Г л |
= (^і |
sin ß x |
— w2 |
sin |
ß2 ) |
t = |
2to r . |
|
w„ /1
Рис, 130. Соответствие плоскостей г и Ç при парал лельном обтекании пластин
|
|
п. |
|
7\ |
(7 |
tSi |
г.. |
J |
Ikl |
J |
^ |
-fl |
Va |
|
|
Рис. 131. Соответствие плоскостей г и £ при перпендику лярном обтекании пластин
Рис. 132. Соответствие плоскостей г и £ при циркуляционном обтекании пластин
Сумма этих трех потоков дает перед входом в решетку величину и направление скорости wlt а после выхода из решетки величину и направление скорости w2. Угол ô называется углом атаки по тока по отношению к решетке.
Бесциркуляционное параллельное обтекание решетки прямолинейных профилей
Рассмотрим случай течения жидкости параллельно направле нию пластинок решетки, т. е. бесциркуляционное обтекание решетки потоком со скоростью
|
|
|
до и = te»о cos ô. |
|
|
|
|
Этому течению в плоскости £ будет соответствовать |
поток, |
изображенный на рис. 130. Найдем положение |
критических |
точек на окружности единичного радиуса. |
|
|
|
|
Поскольку |
окружность |
является |
линией |
тока, |
то определим |
для нее потенциальную |
функцию срк ц. После чего из |
условия |
(dxp/r da)K |
= ѵкр |
= 0 найдем |
расположение |
критических |
точек. |
Введем |
обозначение |
комплексных |
чисел |
в форме: |
|
|
/г = г1 е, К і ; £ — Л = /-2е -; £• |
1 = гч е |
|
|
|
|
S |
|
Г = Г^ |
: |
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г1 = |
К и + А)2 + |
л в ; |
а, |
= arctg — - |
A ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i + |
|
|
/•8 = |
K ( s - Ä ) 2 |
+ T f |
; |
ос, |
= arctg |
il . |
|
|
I-h |
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т-Л2 |
а. |
arctg- |
il |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg-
Тогда |
комплексный |
потенциал |
потока |
|
|
|
да Л |
|
|
|
|
|
|
|
w « fê) = - i ï t |
( c o |
s ß - |
s i n |
ß ) l n T - + ( |
A I |
- A ^ |
|
+ (cosß-j- |
г sin |
ß) |
ln |
га |
І (« g — CXj) |
1 |
= Фі, |
откуда |
потенциал |
скорости |
|
|
|
|
|
Ф'МІ — |
2я |
cos ß I n — -f- sin ß (a-L — a,) |
|
|
|
|
|
|
|
|
cos ß ln — |
sin ß (a, — a4) |
|
или
|
|
|
2я |
d<PK |
» |
|
cosß4/in(/i2 -4- 1) j |
_ |
4 sin ß(/i-— |
_ |
n |
|
|
a y |
da |
|
~ |
|
( / г Ч - l ) 2 —4/f-g2 1 |
(/i2 — 1)2 |
+ 4Л2 п2 |
|
' |
|
Поскольку |
|
I] 2 = 1 |
—• I 2 , |
то |
знаменатели |
дробей равны, еле- |
|
довательно, должны |
быть |
равны и |
их |
|
числители, |
поэтому |
|
|
|
|
sin ß |
_ |
Т| |
II2 |
- f 1 _ |
R _ t o - |
|
/ і 2 + |
1 |
|
|
|
|
|
|
COS ß |
~~' g |
/,2 _ |
1 —l ë P |
— |
l |
ê a K P / l 2 _ |
, |
|
|
|
II |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это уравнение в плоскости £ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
имеет два корня: а к р |
и « к р |
-4- л. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
График |
зависимости |
а к р |
от |
/г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и ß изображен на рис. 133. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При |
конформном |
отображе |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нии |
каждой |
точке |
плоскости |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
решетки |
соответствует |
опреде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ленная |
точка |
плоскости |
круга. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Соответствующие |
точки |
лежат |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
на |
одинаковой |
линии |
тока |
и |
О |
|
|
20 |
W |
|
60 |
80 ß |
|
обладают |
равным |
потенциалом. |
|
|
|
|
Рис. |
133. График |
зависимости а к р от |
|
Каждая |
пластина |
решетки яв |
|
ляется линией тока. Эта же |
|
|
|
параметров ß и h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
линия тока в плоскости |
отображения изображается |
окружностью- |
|
При параллельном обтекании решетки точки входа потока на |
|
пластину |
В и |
|
схода |
с |
нее А являются |
|
критическими |
точками. |
|
В предыдущих |
|
выкладках |
было |
найдено |
значение угла |
а к р в за |
висимости от угла установки пластин в решетке и положения вихрестоков и вихреисточников в плоскости отображения. Этот угол определяет расположение критических точек на окружности отображения. Тем самым мы нашли расположение в плоскости £
точек, соответствующих |
точкам В и А плоскости z в зависимости |
от /г, которое надо определить. |
междѵ густотой решетки bit, |
Выведем теперь зависимость |
ß и h. |
|
|
|
Из рис. 128 заключаем, что |
|
|
1 А = |
соъакр; |
і 1 л = sin |
а к р ; |
WB— |
WA\ |
ЦВ— |
'ЦА- |
Следовательно, по формуле (233) получим
ФА = —Фв- Из условий конформности имеем
(ФА — Фв)2 = (Фл — Фя)с = 2 (ерД.
