Но (дср/дЬ)г = |
w u, тогда |
после |
|
интегрирования |
|
(Фл— Фв)2 = |
ю и & = |
(2<рД. |
Принимая |
во внимание выражение |
(233), получим |
|
|
-2А& |
• Л2 |
2Л%р |
|
cos ß ln- |
2Л&^ |
r |
+ |
2 s i n ß a r c t g 7 I ^ j . (235) |
80 ß
Рис. 134. График зависимости t/b от ß и ft
Величина |
//b, |
обратная |
густоте |
решетки, |
называется шаговым |
пе |
рекрытием |
решетки. |
|
|
|
Зная bit и ß, по рис. 134 нахо |
дим /г, |
а затем |
|
по |
рис. |
133 опре |
деляем |
а к р . |
|
|
|
два |
параметра |
Таким |
образом, |
решетки |
tlb |
и ß |
позволяют найти |
два параметра отображения h и |
акр |
и, следовательно, формула |
отобра |
жения |
будет |
полностью |
опреде |
лена. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вначале же |
/г было |
произволь |
ной величиной. |
|
|
|
|
|
Бесциркуляционное перпендикулярное обтекание решетки прямолинейных профилей
Рассмотрим плоскопараллельный поток, направление которого в бесконечности перпендикулярно направлению лопатки решетки (рис. 131). Пусть скорость на бесконечности справа и слева от решетки одна и та же: w± = w0 sin ô.
В этом случае циркуляция скорости в плоскости £ вокруг точки 1
а |
расход |
|
Г х |
= |
tw0 |
sin |
ô cos |
ß, |
|
|
|
Qx |
= |
tw0 |
sin |
ô sin |
ß. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Комплексный |
потенциал |
поэтому |
примет вид |
|
|
|
tw ï |
(sin ß - f i cos ß) In i ± £ |
+ |
(sin ß — i cos ß) In |
|
|
W± = — 2яx |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л J |
|
Таким образом, имеем комплексный потенциал в плоскости |
£, |
а |
величины |
Гх |
и Qx подсчитываем |
для |
плоскости z. |
Вынося |
і |
за скобку и переходя к показательной форме комплексных чисел, получим
|
itw, |
•'•ßlni+A |
•e'ßln |
t + i |
(236) |
|
2л |
|
X, — л |
|
1 |
J |
|
|
|
|
ft |
По своей структуре это выражение похоже на выражение комплексного потенциала потока \Ѵ\\, направленного вдоль ло паток.
Определим величину скорости, получающейся в точках А и В при рассматриваемом потоке через решетку. Для этого определим выражение для потенциальной функции cpKjL из выражения
W± = фк± - Ифкл .
Представим выражение, стоящее в квадратных скобках урав
нения (236), |
в тригонометрическом |
виде |
[ |
] = (cos ß — i sin ß) |
In -^- + i К — a2 )] — |
|
• (cosß-f-Jsinß |
In — |
- f t ( A 3 — a - l ) |
Для определения ц>к± нас интересует только мнимая часть этого выражения, т. е.
|
[мн. |
ч] = |
cos ß (а х |
— а2 ) — sin ß In |
— |
|
|
|
|
|
|
r |
2 |
|
|
— cos ß (а 3 |
— а4 ) — sin ß In - ^ - — |
|
|
|
|
|
|
|
T 4 |
|
|
= jcos ß 1(аг — а 2 ) — (а 3 — а4 )] — sin ß In Vi |
Принимая во внимание формулы для г и а , |
получим |
|
Ф , и . = - - 2 — |
sin ß In } ^ 2 / | ^ в — 2 cos ß arctg - ^ ^ L |
Скорость потока в точке А |
|
|
|
(dq>y |
, \ |
" |
tw |
sin |
• 2/it) |
21щ |
VAL |
l-da |
JA |
|
2n |
1 _|_ щ + Л2 |
1 — 2hl 4 Л2 |
|
|
|
|
|
|
2 cosß |
2h\ ( f c s - l ) |
|
|
|
|
|
|
(ft2 — l ) 2 - f 4Л3 л.2 J |
|
Но для точки |
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
\ il |
JA |
ctgaK P , |
|
|
|
|
|
|
|
следовательно,
2 H ^ C 0 S P Tteß (n1 4l- ïЛ2 )^в —l 4/i2 |a |
2 ( / i 2 - l ) c t g a K p |
(I_|_/j2)2_4ft2£2 j |
или
|
|
twx2ln] c o s ß ( / i 2 + |
|
l ) t g ß |
|
|
|
|
|
|
|
я |
[(1 + |
- 4 / i a | » ] |
|
|
|
|
|
где t g a K p |
h2 - |
- |
tg |
ß = |
JSE . |
|
|
|
|
|
|
|
/г2 - |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
Ьир |
|
|
|
|
|
|
|
Ho так как |
1 4 |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s r, |
a |
cü0 sin 6 = |
w±, |
|
|
|
|
|
t |
g 2 ß |
|
|
|
|
|
|
|
s i |
n 2 |
ß |
|
|
|
TO |
|
|
|
|
2lw0 sin |
б/і (ft2 |
+ |
1) i] |
|
|
|
|
|
VAX |
= |
|
|
(237) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n s l n ß [ ( 1 4 - / i 8 ) * - 4 / i a | * i |
|
|
Циркуляционное |
обтекание |
решетки |
|
|
|
|
|
|
прямолинейных |
профилей |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим |
циркуляционный |
поток |
вокруг |
лопатки (рис. |
132). При этом |
wla |
= w2a |
= 0 и wlu |
= —w2u |
= а>г, а средняя |
скорость w0 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
изображенном |
В плоскости |
£ поток можно представить в виде, |
на рис. 132, а его комплексный потенциал запишется так: |
|
|
Wr= — -£2- In- |
( £ + f t ) 0 ; - / o |
|
ф кг - h »І'кГ , |
(238) |
|
1 |
4л |
|
|
|
|
|
|
|
откуда потенциальная функция скорости для контура окруж ности
|
|
ф к г = - 4 ^ - ( а 1 |
+ О з - а, |
причем |
значения а 1 , а,, |
а 3 |
и а 4 |
те же, что и раньше. |
Определим скорость |
в |
точке А при чисто циркуляционном |
потоке. Для |
этого найдем |
производную |
|
|
|
-da A - Ѵ А Ѵ |
- |
При |
этом |
|
|
|
|
|
|
d |
arctg |
|
|
|
£ (S + /0 + na |
|
da |
|
|
|
|
|
|
|
(Ê + Л)8 |
|
|
|
|
|
|
следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
da] |
|
1 +hl |
|
|
|
~dä |
+ |
2hl + |
W |
Аналогично
|
|
da2 |
|
1 — /і£ |
, |
da3 |
|
Л2 -j- /ig |
|
|
|
"da" — |
1 — 2/ig + |
Л2 |
' |
"döT — |
1 + |
2Л| + Л2 ' |
|
|
|
|
|
da4 = |
|
|
/г2 —/iS, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
da |
1 — 2/ig + /г2 " |
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 — /і2 |
|
, |
1 — /г2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 _|_2/г£-|-/і2 |
' 1— 2/!Îj-j-/(2 |
|
пли |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
., |
т - |
~ |
|
|
Гл (Л3 - |
l ) ( / ' s + 1) |
/ п о п , |
|
|
|
Ѵ л |
2л[(1 + |
Л 2 ) 2 |
- 4 / ^ 2 ] |
• |
^ У > |
|
Величина скорости иЛ г зависит |
от угла а , |
так как в |
выраже |
ние |
для |
ѴАГ ВХОДИТ |
\% = |
cos |
ct. |
|
|
|
|
|
Произвольное обтекание |
решетки |
|
|
|
|
|
из |
прямолинейных |
пластин |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выше было указано, что произвольное обтекание |
решетки |
можно представить как сумму трех потоков: параллельного пла |
стинкам, |
перпендикулярного |
к |
ним и |
чисто |
циркуляционного. |
При обтекании профиля в решетке, так же как и при обтека нии изолированного профиля, его задняя кромка служит местом схода потока. Это положение о конечной величине скорости схода с острия профиля называется постулатом Чаплыгина—Жуков ского.
Первый поток (параллельный) не противоречит постулату Чаплыгина—Жуковского, где точка А пластинки является точ кой схода, а точка А окружности служит критической точкой.
Ни второй, ни третий потоки в отдельности не дают критиче ских точек в точке А окружности, т. е. не удовлетворяют посту лату. Однако, если подобрать величину циркуляции Гл для третьего потока такой, чтобы суммарная скорость от второго и третьего потоков в точке А окружности стала равной нулю, то
будет |
выполнен постулат |
Чаплыгина—Жуковского. Следова |
тельно, |
полагаем |
|
|
|
|
|
ѵА± |
+ ѴАТ = |
0. |
Из выражений (237) и (239), имеющих одинаковые множители,, |
получим |
|
|
|
|
р |
д fa'p sin ô/t |
ц |
|
|
л |
/г2 — 1 |
sin й ' |
|
|
|
|
ß |
где т| = |
sin aK p ; |
|
|
|
