Файл: Бекнев В.С. Газовая динамика газотурбинных и комбинированных установок учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 161

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

для угла ß,

в бесконечности

после

решетки

 

 

 

ß3

= a| c = f t

= [ - A - c o s ß l n A ± | ]

+ С ,

(248)

откуда

угол

поворота

потока

 

 

 

 

 

 

 

 

 

е = ßi — ß2

== - | f cos ß In

 

.

(249)

Определим константу С в выражении (247) из граничных усло­

вий на передней и задней кромках дужки:

 

 

для

передней кромки

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а 1 =

J

E

K ^

+

C;

 

 

для

задней кромки

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а, =

— J&bL +

С,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

w„

г

 

 

 

 

 

но так

как срк В = —фк.4, тогда

С =

 

1 2

 

 

 

Согласно

рис.

137,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а 1

- $

=

±2

=

^

^

-

,

 

(250)

откуда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ß

 

Oi +

a 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно,

искомая

 

константа

равна

углу

установки

дужки

в решетке,

т. е.

 

C =

ß.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отношение действительного угла е поворота при безударном входе к углу Ѳ изгиба дужки найдем, заменив г в формуле (243) через Ѳ и b из выражения (249), тогда получим

S

 

 

2

t

QI

Л 2 + і

/„СП

- =

. и

=

1 Г — c o s ß l n - ^ .

(251)

Зависимость ц. от

параметров

решетки bit и ß

приведена на

рис. 138.

 

 

 

 

и а х

 

 

Соотношение между углами

ß x

можно получить из выра­

жения (251):

 

 

 

 

 

 

 

 

ßi — ß 2 =

l-i (oj — а 2 ) .

 

Заменив в этом выражении

ß 2

и а 2 из

формулы

 

ßl +

ßs

=

 

+ССа

= 2ß,

 

найдем

 

 

 

 

 

 

 

 

ßl

=

ß +

J* («! -

ß).

 

ю

ел

Рис. 139. Решетка из профилей произвольной формы

Поскольку а х

>

ß

и |і >• 0, то

ß x > ß.

 

В

то же

время

 

yia,

 

 

 

 

 

 

 

ß>

=

+ ß

(1 -

ц.),

(252)

но с

учетом

того,

что ocj >• ß,

будем

иметь

 

 

 

 

ßi < № i

+ « і (1 — = «1-

 

Следовательно,

при

безударном

обтекании тонкой

дужки

в

компрессорной решетке поток перед решеткой направлен так,

что угол

ß x лежит

между

углами а х

и

ß, т. е. ß < ß i

< a i -

 

Угол

атаки для

безударного

входа

в

компрессорную

решетку

с

учетом

выражений (250)

и

(252)

 

 

 

 

t6 = ß 1 - a 1

= ( l - n ) ( ß - a 1 ) =

 

- A - ( l - ^ ) 9 < 0 .

 

т. е. при безударном обтекании углы атаки всегда отрицательные.

Обтекание прямолинейной решетки из профилей произвольной формы. Метод Мелентьева—Уварова

Выше было рассмотрено обтекание решеток пластин и тонких слабо изогнутых дужек. Применяя подход, рассмотренный в тео­ рии изолированного профиля, к решеткам, можно получить ре­ шетку телесных профилей. Для этого смещают центр круга в пло­ скости £ и пользуются той же функ- у.

цией отображения

2

:

1 п | ± А + е2 <01 п С+-7Г

~2лГ

 

 

 

Полученные при таком отображе­ нии профили не всегда удовлетво­ ряют конструктивным требованиям, что характерно для обратной задачи

вгидрогазодинамике.

Поэтому были разработаны мето­ ды решения прямой задачи, когда задана форма профиля в решетке и параметры потока до нее. Требуется найти параметры потока после ре­ шетки. Одним из эффективных мето­

дов решения прямой задачи является метод П. В. Мелентьева, дополненный проф. В. В. Уваровым для расчета обтекания тон­ кого профиля с произвольным углом атаки.

Как и в предыдущих разделах, течение будем считать потен­ циальным и установившимся, а жидкость несжимаемой.

Рассмотрим решетку произвольных профилей в плоском потоке (рис. 139). Считая обтекание решетки безотрывным, положим для

17 В . С. Бзкиев

257

контура лопатки постоянное, но пока неизвестное, значение функ­ ции тока г|)л. Контур лопатки получим с помощью метода особен­ ностей, т. е. на равномерный поток наложим систему вихрей не­ известной пока интенсивности. Каждая лопатка заменяется вихре­

вым контуром (не путать с вихревой нитью), т. е. контуром,

через

точки

которого проходят перпендикулярные

потоку вихревые

нити

с интенсивностью у (s). Величина у (s)

называется

также

вихревой плотностью, которая является пределом отношения

циркуляции вокруг

отрезка контура ds к длине этого отрезка

при стягивании его

в точку, т. е.

 

АГ

Следовательно, вся бесконечная решетка заменяется беско­ нечным числом вихревых контуров, сдвинутых один относительно

другого

на шаг решетки

t.

 

 

 

Комплексный потенциал системы вихрей, расположенных на

контуре

Sj, одной

лопатки,

записывается

в виде

 

W»W

= --èr

b (s)ln(z - Ç)ds ,

 

 

 

 

 

5 л

 

 

где у (s) — значение

вихревой

плотности

в точке контура Ç;

z — координата в

плоскости

х,

у.

 

Комплексный потенциал системы вихревых контуров, располо­

женных

вдоль оси у

с шагом

t (всей решетки), имеет вид

 

 

 

 

со

 

 

 

 

Wp(z)

= -

£

- ^ - j Y ( s ) l n ( Z - Ç K ) d s ,

где t,K — %, + ikt — координата точки k-го контура, в которой вихревая плотность равна у (s).

Изменив порядок суммирования и интегрирования, а также заменив сумму логарифмов логарифмом произведения, получим

 

 

 

 

 

со

 

 

WpW

=

ér

Jv(s)ln

П

(u-ikt),

где введено

обозначение

и — z— £.

 

Преобразуем

подынтегральное

выражение:

 

со

 

 

со

 

 

In

j ~ [ (и — Ш) =

In u ]~j ^ 1

, 2 ^ 2 ^ - f const.

k= — со

 

 

k=l

 

 

Поскольку в теории функций комплексного переменного до­ казывается, что

« " " - " П О - ^ ) .

258

то в нашем случае получим с точностью до константы, что при

V = «-TT-

It

со

In П (и — ikt) = In sin -^- и A- const

/с = — со

и, следовательно, комплексный потенциал системы вихревых контуров

Wp

(z) = ср +

ілр = — -gL. j Y

(g) in sin ^

А

я rfs.

Выполняя

преобразования с

учетом

формул

sin iz

= i sh z;

cos iz = ch z,

получим,

что при

z =

X Ar іу, К,

= \ +

ni

In sin —г— я = In "j/ch2 -^- (x -

;)-

• COS"

<y-rù

+

 

 

A- i argsin

Z — L,

 

 

 

 

Следовательно, с точностью до константы выражение функции тока течения от системы вихревых контуров ярр запишется в виде

4я J

у In ch - ^ - (x — — cos 2я

(y —r\) ds.

(253)

 

 

 

Внося в невозмущенный равномерный поток с комплексным потенциалом W0 = ср0 + Л|)„ систему вихревых контуров, полу­ чим для произвольной точки суммарного потока

 

 

* Ѵ

= *l>W0 + 'Фр = y>N0

 

(254)

где

 

 

ch - ^ - (xN

— l M) — cos

( г/д, — т)м )

(255)

aNM

=

ln

— коэффициент,

подсчитываемый по координатам двух произволь­

ных точек

N

и М, взятых

на контуре

s„ лопатки, по

которому

ведется интегрирование.

 

 

 

Уравнение (254) содержит неизвестную пока вихревую плот­ ность у (s) под знаком интеграла и неизвестное значение функции тока tyN. Такое уравнение называют интегральным уравнением

Фредгольма

I рода относительно

у (s).

 

 

Для

решения уравнения

(254) контур ал

лопатки

разбивают

на m участков с длинами Asm

и точку M берут в середине каждого

участка

Asm.

Интегральное

уравнение (254)

заменяется систе­

мой п линейных алгебраических

уравнений

вида

 

 

 

 

1

'\

 

 

 

 

 

Уы = Ут

4"f

m = l

Ут<-ым--~т-

(256)

17*

 

S

 

 

 

 

 

 

259

Смотрите также файлы