Файл: Бекнев В.С. Газовая динамика газотурбинных и комбинированных установок учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 158

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

в плоскости £ будут изображаться линиями, не выходящими из

границы полукруга

А'С'В',

подобно линии

О'М'С.

Следовательно, задача отыскания линий тока в

плоскости тече­

ния z решается для плоскости годографа сопряженной

скорости £.

Определим каким-либо способом линии

тока

в

плоскости £

и найдем комплексный потенциал этого течения W (£).

Тогда, пользуясь выражениями (203) и

(261)

и,

помня, что

W (z) = W (Q -f- С,

получим

dW (z)ldz =

£.

Следовательно,

можно найти форму линий

тока

в плоскости потока z, т. е.

 

г=\™&-.

 

 

 

(262)

Итак, задача определения формы струи сведена к решению интеграла, содержащего комплексный потенциал в плоскости £.

Переіідем к решению задач.

Задача 1. Определить форму струи и коэффициент сужения струи при исте­ чении из щели в плоской стенке (рис. 141).

Перенесем линии тока из плоскости потока г в плоскость £ годографа. Если сосуд с жидкостью имеет неограниченную емкость, то можно считать, что доста­ точно далеко от щели жидкость находится в покое. Тогда это состояние жидкости в плоскости годографа изобразится точкой О'. Линии тока вблизи щели перейдут в кривые, выходящие из точки 0' и входящие в точку С , лежащую на окружности радиуса vi. В плоскости потока точке С соответствует то сечение струи, в котором скорости выровнялись и равны Vi.

Следовательно, в плоскости £, надо осуществить поток, у которого линиями тока служат указанные кривые, диаметр А'В' и дуга А'С'В'.

Очевидно, для-этого необходимо поместить в точку О' источник обильности 2Q (пока неизвестной), а в точку С и ей симметричную С" — стоки с обильностью 2Q каждый. В результате получим внутреннее обтекание круга радиусом vi с обте­ каемым диаметром А'В'.

Комплексный потенциал такого течения

^ ( 0 = - § - ш С — ü - l n ( S - ° i ) — і - 1 п ( 5 + °і)

или

W = [In £ - ln-(S - ѵЛ - In (£ + 0 l ) ] •

Определим дифференциал комплексного потенциала, входящего под знак интеграла в формуле (262):

dW(Ç) = ^л

-±-}dl.

Я .

 

Картину линий тока в плоскости потока найдем при решении интеграла

или

z=*

I'

f

d£

с dt,

 

 

 

 

Второй и третий интегралы находят разложением на рациональные дроби: 1 _ А В

— ~Г'Т,

265

или Л£ — A vi - j - Bt, = 1, откуда Л - f S = О и Л = — 1/і>і, тогда ß = 1/оі, а интеграл

С ( S - о і ) = - - M n £ + - M n ( £ - t ; 1 ) .

Аналогично получим для третьего интеграла

S(S + »i)

»,

Следовательно,

 

- { + A l n c _ J _ l n ( s _ , 1 ) _

J - I n g + - A in (5 + ^ ) 1 + С ,

 

 

_ i

+

_ L i n l ± 3

 

(263)

Для определения формы струи выделим в полученном выражении действи­

тельную и мнимую части.

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим

плоскость

годографа.

 

 

 

 

Пусть £ определяет скорость в какой-то точке на границе струи.

Найдем логарифмы в выражении (263):

 

 

 

In

(£ -J- Di) = In ri -f-

tor,

In (Ç — oi)

= In гг +

і«2,

где

 

 

 

 

 

 

 

' i = У (S + * i ) 2 + л2 ; r2 = y (g - ^ ) 2

+ л2 ;

 

a ^ a r c t g ^ j L - ;

a ^ a r c t g - ^ . .

 

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

Х + *У = 1Г — Iа , " I + — І П

+ — — « о )

2-

 

I 2 - f i f

1 t>!

 

/"a

u i

-

/ j i i i

 

 

 

 

 

 

 

(264)

Выделяя коэффициенты при мнимой единице і,

получим

 

 

У = "I [рф|г +

К

- «*)] + С2 .

 

Определим

коэффициент

сужения

струи

 

 

 

Поскольку величина Сг в выражении для у

неизвестна, то исключим ее, составив

разность

 

 

 

 

 

 

 

Q Г

il

^

i

1

i

чі

УА - Ус = т

[ ¥

Т

+ —

( * г -

<н)\А. -

0_ і ф р + ^ К - ^ ) ] , , .

266

или, подставляя координаты точек А' и С и значения углов a i и аг, получим

Ул~Ус = 1 Г

4}

1

4

« ) - - £ - ( - * ) .

 

 

 

 

ИЛИ УА—УС

=

Q/яоі .

 

 

2Q/nvi,

 

 

i'id, имеем h—d = 2d/n.

Откуда находим Л—d =

или, заменяя Q =

Следовательно,

ц = d/Л =

я / ( я -(- 2) = 0,611.

 

 

Это значение коэффициента сужения довольно хорошо совпадает с определен­

ным из опыта.

 

 

 

 

 

 

Расход

жидкости через

 

щель

подсчитывается

по

формуле

Q = v1d = v 1 h 1 ^ ,

где і>і находят по уравнению Бернулли. Форму струи определяют по выра­ жению (263), где g H г) берут с окружности радиуса t>i.

Рис. 142. Истечение через плоский насадок Борда

Задача 2. Определить коэффициент сужения струи при истечении из плоского насадка Борда с отрывом от стенок. Поступая по указанной методике, перенесем линии тока из плоскости z потока во вспомогательную плоскость £ годографа.

Очевидно, картина линий тока будет соответствовать указанной на рис. 142. Такое течение можно осуществить, помещая источник обильности Q в начало координат О' и двойной сток в точку С на окружности радиуса vi в плоскости

годографа £.

Комплексный потенциал этого течения имеет вид

W(0

2я

[In £ - 2 1 ^ - ^ ) ] .

Найдем дифференциал

этого

комплексного потенциала:

 

 

І _ 2 — L

dt,.

Картина линий тока определится при решении интеграла:

Используя решение предыдущей задачи, получим:

Q

1 I

2

,п

2л

+

—

ІП £ - » 1

267

Рассмотрим плоскость годографа. Для точки на поверхности свободной струп можно написать

 

 

Іп £ = ln/i - f - 'di;

In (£ — i^) =

In r 2

+

('a2 .

 

 

Выделим действительную и мнимую части в выражении

для г:

 

 

 

 

Q Г

 

£ — и і

,

2

 

г,

,

2 .

 

i - a 2 )

С.

2 = ^ + 1 « / = - ^ [ - ^ - ^

 

+ - 1 - 1 , ^ + — /

(

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(265)

Откуда

находим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У =

2л

U

aт т а + 7 г ( а і — а

г ) 1

 

- Н е ­

 

 

 

 

 

 

+

if

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

определим

коэффициент сужения

струи,

для

чего

найдем

разность

 

 

 

 

 

 

 

Q

Г 2

,

,

 

.

2

 

/

 

 

л

\

 

 

^

-

 

Ус =

-ШГ

[ 1 7

( + я

-

*> -

1Г,

( -

Т

)

 

или

 

 

 

 

 

 

_

 

Q

л

_

Q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

і/л —

Ус — "2л" —

-

•

 

 

 

 

 

 

Обозначим

2уд

=

Л; 2^/с =

d; тогда

Q =

vid.

Следовательно,

Л — d =

d.

Откуда находим коэффициент сужения струи

ц =

 

djh

=

0,5.

 

Форму

струи

находим

по уравнению

(265).

 

 

 

 

 

 

 

 

§ 31. ПЛОСКОЕ СВЕРХЗВУКОВОЕ ТЕЧЕНИЕ ГАЗА

Для анализа плоского течения газа воспользуемся уравнением движения идеальной жидкости в форме. Эйлера

dv

1

1

j

d7- =

 

f - - g r a ä >

Спроектировав

уравнение

Эйлера

на

оси

ординат,

пренебре­

гая силой тяжести

и считая

движение

установившимся,

получим

 

 

дѵх

 

î

dp .

 

 

 

дх '

 

p

dx

'

 

 

 

дѵу .

 

î

dp

 

 

 

1

дх

 

p

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уравнение неразрывности для рассматриваемого случая за­ пишем в виде

Выше было показано, что только для безвихревого, т. е. по­ тенциального течения газа справедливо уравнение адиабаты

-4- = const. р к

268

После этих предварительных рассуждений можно построить уравнение, которому должен удовлетворять потенциал скорости

ср {х, у).

В самом деле, в уравнения движения и расхода входят частные производные от давления и плотности по независимым перемен­

ным X и

у.

 

 

 

 

 

 

адиабаты р =

р (р), получим

Имея в виду,

что

по уравнению

 

 

 

dp

_

dp

dp

_

q 2

gp .

 

 

 

 

 

дх

 

dp

дх

 

 

дх

'

 

 

И

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dp

_

dp

др

 

2

др

 

 

 

 

 

 

~ду

~

~dp~dy ~

 

ду

'

 

 

где а—

скорость

звука в данной

точке потока.

 

 

Подставим эти значения

др/дх

и дріду

в уравнения движения:

 

 

 

дѴѵ

,

 

дѵх

 

 

о?

dp

 

,cicc\

 

 

v.. -~

+

v., -rr±- =

p

-J-

 

(266)

 

 

A

dx

1

y

dy

 

 

dx

v

;

 

 

 

dvy

 

 

dvy

_

_

ü l

І £ .

 

(267)

 

 

v*^7-rVy

'

"u

dy

 

 

 

 

dx

 

 

p

dy

 

 

Умножим уравнение (266) на vx, a (267) на vy и сложим их:

Заменим сумму справа из уравнения неразрывности, тогда, перенося все в левую часть и используя условие потенциальности, получим

(vi

-

а2 )

+ 2ѵхѵу *Ъ

+

(4 - а2 )

=

0.

(268)

Но для

потенциального

течения

 

 

 

 

 

 

-r

ô x

^

<3</

 

 

 

Следовательно, окончательный вид уравнения для потенциала

скорости примет вид

 

 

 

 

 

 

 

(<4 -

а*) g

+

&

 

+ (4 - «'> £

-

».

0»)

При выводе этого уравнения мы не делали никаких ограни­ чений по величине скорости потока, так что оно справедливо как для дозвукового установившегося адиабатического течения газа, так и для сверхзвукового.

Это уравнение нелинейно, так как его коэффициенты сами зависят от искомой функции ср (точнее, от ее частных производных

по X я у).

269

Смотрите также файлы