Файл: Бекнев В.С. Газовая динамика газотурбинных и комбинированных установок учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 162

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Система

(256) содержит п уравнений с (п -)- 1) неизвестными: п

величин ут

в серединах участков

и значение •фдг, причем точка N

взята

на контуре БЛ И \\>N =

const,

так как контур лопатки яв­

ляется

линией тока.

 

 

 

 

 

Для замыкания системы

(256) используют постулат Чаплы­

гина—Жуковского, согласно которому на задней

кромке А ло­

патки

вихревая плотность уА =

0.

Тогда

(п. -|-

уравнение

имеет

вид

 

 

 

 

 

 

 

 

= Ѣ\о - 1 7

S УтаАм

As,„.

(257)

m m=l

При практических расчетах функцию тока невозмущенного потока т|)0 удобно представить через функцию тока обычно задан­ ного потока "Фх перед решеткой и искомую циркуляцию Г вокруг лопатки. В самом деле, для равномерного потока комплексный потенциал

W0 = w0e~iaz — w0 (cos a — i sin a) (x - j - iy) = cp0 -(- i\\>0,

откуда функция тока равномерного потока я|)0 = wXoy — wUox или, пользуясь треугольником скоростей (рис. 139), согласно которому

- Г л

получим

причем знак плюс соответствует компрессорной решетке, а минус— турбинной.

Циркуляция скорости вокруг лопатки

 

Г я =

J V (s) ds =

2 Ут As„

 

 

л =

 

 

 

 

ш = 1

 

выражается

через те же значения ут

и As,,,, которые входят в си­

стему (256).

 

 

 

 

Рассмотрим поведение коэффициентов системы aNM

в отдель­

ных особых случаях, когда точки N и M или совпадают, или

сближаются. Совпадение точек имеет место п раз, когда

«бегущая»

по контуру

точка M попадает на фиксированную точку N. Сбли­

жение точек наблюдается в области задней кромки, когда вы­

числяются коэффициенты aQA

или аРА.

На участках

AsP

и AsQ

в этом

случае

распределение у (s)

можно

считать

линейным:

 

 

Y (s) = -fïE.s .

 

 

 

На

остальных

участках у,п

можно

считать

постоянной

и рав­

ной ее значению

в середине

участка

Asm .

 

 

 

260

Рассмотрим

коэффициент

амм

в выражении

 

 

VmßMMA s,„ =

lim

ymaNM ds =

 

 

M->N

J

 

 

2

 

 

 

= 2 у т 1 і т

Г ln [ch *N

. е м 2Я — c o s ^ . % ! 2n

ds. (258)

M-+N oj

Преобразуем подынтегральное выражение, пользуясь разло­

жением в ряды cos x

и ch x для малых

углов, получим

 

 

 

 

 

\2

ch » t

™ 2я = 1 +

w

, а « 2я

cos

2 я = 1 - 4 - (

^ 7

^ 2 я ) \

Следовательно, можно

записать,

что

 

ch ' Ѵ 7 І Л 1

2n - co s Х " ~ П м 2л =

= i(xN—i/Vj)2_f~(№v — 'Пм)2]

^

— ~ ( 2 ~ s2>

где s — расстояние по прямой между точками M я N. Вычислим правую часть выражения (258).

После выполнения необходимых расчетов получим

2ут J i n - ^ - s 2 d s = 2 y m A s m ( l n - ^ - + 1 п я — 1

g-In 2 ) ,

о

 

 

 

 

откуда

 

 

 

 

 

 

aMM = 2(\n^fL-

0,202).

(259)

Для

участка, прилегающего к задней кромке,

запишем

yPapAAsP=

J • ^ - 5 І п 2 ^ - з 2 й ( з = у р А 5 р ( 2 1 п - ^ - - | - 1 п 2 я 2 — l j ,

 

о

р

 

 

откуда

 

 

 

 

 

 

а Р А = 2 1 п - ^ - +

1,98.

(260)

Обычно на практике рассматривается обтекание решетки тон­ ких профилей произвольной формы. В этом случае при произволь-

261

ном угле ßi натекания на передней острой кромке лопатки воз­ никает бесконечно большая скорость и соответственно бесконечно большая вихревая плотность у .

Такой случай был впервые рассмотрен проф. В. В. Уваровым в виде дополнения к разобранному выше методу П . В. Мелентьева. Рассматривая участок лопатки, включающий переднюю

кромку (точка

О, рис. 1 4 0 ) , можно заметить,

несмотря на то, что

у0 стремится к

бесконечности, интеграл | у a

ds по участку Asx

As,

должен быть конечной величиной, так как он входит в качестве слагаемого в выражение для цирку­ ляции вокруг лопатки, которая тоже конечна, по самой сути дела.

Следовательно, указанное на рис. 140 распределение у (s) можно заме­ нить прямолинейной зависимостью вида

 

 

 

 

Y(s) =

Yo — (YO — Y I ) - Ц - S .

 

 

 

 

Вычисляя теперь для

участка Asx

 

 

 

интеграл

вида

 

 

 

 

 

 

 

 

J Уаым ds,

 

 

 

 

 

 

 

As,

 

 

 

 

 

получим

 

 

 

 

Рис.

140.

Распределение

вихре­

As,

 

 

 

 

вой

плотности в области

перед­

 

 

(Yo —Yi)

 

X

ней

кромки при произвольном

 

 

às.

 

угле

натекания потока

 

 

 

 

 

 

 

X In 2 -p-s2 ds = yi_ Asx

2 In

+

1,98 —Yo

ASJL-

Следовательно, в случае «ударного» входа на тонкую лопатку для участка Asx получим

y.La01 àSi = Yi Asx ( 2 l n - ^ - + 1,98) — y0 Asb

Причем величина y0 входит только в первое уравнение си­ стемы (256). Для замыкания системы (256) составляют дополни­ тельное уравнение для точки О (передняя кромка).

Таким образом, можно найти воздействие решетки тонких профилей на поток при произвольном угле натекания.

Циркуляция вокруг лопатки

262

Угол выхода ß 2

потока определяют по одной из рассмотрен­

ных выше формул,

например,

 

 

 

t g ß 2 = tgßi

Гл

 

 

wr

t '

 

 

где знак плюс для турбины, а минус для компрессора. Распределение скоростей по контуру лопатки в решетке,

а следовательно, и давлений, находят по известным соотношениям

 

 

 

до..

ду

 

11

тУ = -

дх

 

где ір =

wXly

— [wai

± -^)

 

Л

— ізг

J V l n

ch 2л •

— cos 2л. y

1 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполняя

дифференцирование,

получим

 

 

 

WxN

= W x ,

'

 

 

 

/Ѵ/ѴІ

 

 

 

wyN

 

 

 

 

 

 

 

 

где

 

 

 

2л

 

.

2л

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

°NM — •

- r

-

sin

—

(4f,v — т ) Л І )

 

 

 

XN

 

ем

• cos 2л уы — Ли

 

 

 

ch 2л

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

2л

,

2л

,

 

 

 

 

 

 

—

s h —

(х.,ѵ-

IM)

 

 

 

слгм

ch 2я

XN — i .

• cos

2л !/Л' — Члі

 

 

 

 

t

 

Л1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

Вихревая

плотность y

(s)

была

найдена

выше.

§ 30. МЕТОД ГОДОГРАФА СКОРОСТИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПОТЕНЦИАЛЬНОГО

ТЕЧЕНИЯ ЖИДКОСТИ С ОБРАЗОВАНИЕМ СТРУЙ

Рассмотрим плоское движение несжимаемой жидкости, огра­ ниченной частично стенками, частично поверхностями, на которых давление постоянно. Такие поверхности называют свободными поверхностями струй.

Примерами такого движения могут служить истечения через плоскую щель в стенке, щель в виде насадка Борда с отрывом струи от стенок, через золотниковую щель и т. п.

Во всех этих задачах форма струй заранее неизвестна, ее нужно определить в ходе решения. Зная форму струи, можно найти коэффициент сужения и, следовательно, расход жидкости через щель.

263

На поверхности струи, вытекающей в пространство с постоян­ ным давлением, давление также постоянно.

Считая движение установившимся и потенциальным и пре­ небрегая силами тяжести, можно применить к этой задаче урав­ нение Бернулли:

"Г + Т = c o n s t '

из которого следует, что на поверхности струи скорость также постоянна.

Для плоского течения несжимаемой жидкости существует ком-

IV/ / ч dw плексныи потенциал W (z), производная которого —^- дает так

называемую сопряженную

комплексную

скорость

[см.

выраже­

ние (203)].

число (ѵх—іѵу)

 

 

 

Обозначим комплексное

через

£,

тогда

ѵх— іѵу

= l = I + ni,

 

(261)

а плоскость комплексного переменного £ назовем плоскостью

годографа

сопряженной скорости.

В самом деле, каждому значению скорости в произвольной

точке M

в плоскости потока соответствует точка М' плоскости

годографа (рис. 141), причем в силу сопряженности скорости

получается зеркальное отображение относительно оси

так как

I = ѵх, т| = — ѵу.

 

Скоростям точек поверхности струи от А (В) до С, очевидно, будет соответствовать дуга окружности А'С В' радиуса ѵх.

Ранее было установлено, что проекции скорости ѵх и ѵу внутри жидкости не могут иметь экстремального значения. Максимум достигается только на границах. Следовательно, все линии тока

264

Смотрите также файлы