Д ля нелинейного уравнения сумма частных решений не дает
решения уравнения, т. е. мы не можем «накладывать» |
различные |
потоки или, другими словами, не можем расслоить |
сложный |
поток на простые составляющие. |
|
Поэтому были предложены различные способы линеаризации этого уравнения, т. е. способы сведения его к линейному диффе ренциальному уравнению второго порядка в частных производных, коэффициенты которого не зависели бы ни от ср, ни от его произ водных, а были бы постоянны или являлись функциями неза висимых переменных х и у.
В 1902 г. С. А. Чаплыгин дал оригинальный способ линеари зации уравнения (269). Он предложил ввести новые независимые переменные: величину вектора скорости.ѵ и его угол Ѳ с коор динатной осью. Таким образом, задача переводится во вспомога тельную плоскость годографа скорости, и решается в полярных координатах (ѵ, Ѳ).
Уравнение Чаплыгина имеет следующий вид:
Оно линейно, так как его коэффициенты зависят лишь от не зависимой переменной ѵ. Скорость звука а также является функ цией скорости потока в данной точке, что следует из уравнения Бернулли.
Метод характеристик
Одним из приближенных способов решения уравнения (269) является графо-аналитический метод характеристик. Решить это
уравнение графически — значит |
построить картину линий тока. |
Поставим |
себе такую |
задачу: |
|
|
Имея |
распределение |
скоростей |
на |
ли |
нии AB |
в плоскости потока газа, найти |
рас |
пределение скоростей в окрестности этой |
линии. |
|
|
|
|
|
Найдем скорость в точке M, близкой к |
AB. |
Поскольку скорости на AB |
заданы, |
то в точ- |
Тке M (рис. 143):
Рис. |
143. Произволь |
|
|
|
ная |
линия AB |
в плос |
|
JxM |
|
кости течения |
газа |
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
JxM |
VxD |
/VI |
Уо) |
или
VyM = VUD + { l f t - ) D (УМ — Уй),
т. е. задача сводится к нахождению частных производных в точках
кривой |
AB. |
С и D имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
Для |
точек |
|
|
|
|
|
|
|
|
V X C |
= VXD |
+ ( ^ - ) d |
{ X C - X D |
) + |
( ^ - ) о ( у с _ ^ ) ; |
|
|
VxD |
= у-ѵс + |
("^- )с (*о —Л'с) |
+ ( -flf- ) с («/о |
— Ус) • |
|
Следовательно, с точностью до бесконечно малых второго |
порядка |
можно |
написать |
|
|
|
|
|
|
|
(Ѵхс |
- |
vxD) |
= {^)d(XC-XD) |
|
+ |
{ ^ T )d |
(УС - |
У о), |
|
где С и D — бесконечно |
близкие |
точки |
кривой |
AB. |
|
|
Для |
кривой |
AB |
имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dvx=^dx-T-^dy; |
|
|
|
|
|
|
(270) |
|
|
|
|
|
düy |
= ^dx+°?jLdy, |
|
|
|
|
(271) |
где dx и dy взяты |
по кривой AB |
с |
соответствующими |
знаками. |
Входящие сюда частные производные нам не известны, так |
как |
нет зависимости |
ѵх |
и ѵу от х и у, |
но они должны |
удовлетворять |
уравнению |
(268). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, |
будем |
иметь три |
уравнения (268), |
(270), |
(271) |
с четырьмя |
неизвестными |
частными |
производными. |
Но |
так |
как |
в силу потенциальности течения дѵх!ду |
— дѵу!дх, |
|
получим |
си |
стему трех линейных алгебраических |
уравнений с тремя |
неизвест |
ными частными |
производными: |
|
|
|
|
|
|
|
Л |
i n |
|
|
\л„2\ |
|
|
О _ L cliiËEiL |
|
^dx^- |
ду |
=dv |
|
и , |
ay |
д у |
|
' |
У |
Решение этой |
системы |
запишется |
так: |
|
|
дѵх |
Д, . |
dvu |
А 2 |
_ дѵх |
Д 3 |
|
дх |
~~ До |
' |
~ду |
Д 0 |
' ду |
— Д 0 |
' |
где
|
|
|
0 |
о |
|
о |
2vxv y |
|
|
a2 |
0 |
2о*и„ |
|
|
|
V'y — |
сг |
|
|
|
Д1 |
= |
dvx |
|
0 |
|
|
dy |
; |
A2 |
|
dx |
dvx |
d// |
|
|
|
|
dvy |
|
dy |
|
dx |
|
|
|
0 |
dvy |
dx |
|
|
|
|
— or v-y — ar 0 |
|
Од — a" |
0 |
a2 |
2vxvy |
|
A3 = |
|
dx |
|
0 |
dut |
; A0 |
= |
d* |
0 |
|
dy |
|
|
|
0 |
|
dy |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
dx |
|
Имея уравнение кривой AB и распределение скоростей на ней, |
найдем определители |
Д 0 , |
Д ъ |
Д а , |
Д 3 . Затем определим частные |
производные в точках кривой и найдем скорость |
в точке M и ей |
подобных. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, можно построить поле скоростей вблизи кри |
вой |
AB. |
Но для |
сверхзвукового |
потока |
практически |
так не |
поступают. |
|
|
AB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ней |
Если |
на |
кривой |
Д х |
= |
Д 2 = Д 3 |
= |
Д 0 = |
0, |
то найти на |
частные |
производные |
нельзя, |
т. е. |
нельзя |
найти |
скорость |
в близлежащих точках потока ввиду неопределенности решения.
Кривая |
в |
плоскости |
потока, на которой |
Д 0 = Д х = |
Д 2 |
— |
= Д 3 = |
0, |
называется |
характеристикой. |
На |
характеристике |
ре |
шение |
дѵх |
' дѵу_ и |
дѵх |
неопределенно, |
но нам важно |
то, что |
дх |
' |
ду |
ду |
характеристики позволяют приближенно графически решать уравнение (269) при любых граничных условиях, т. е. находить картину линий тока. В дальнейшем будет показано, что при сверх звуковом течении скорость в данной точке потока всегда направ
лена по биссектриссе угла между характеристиками, |
проходящими |
через данную |
точку. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим |
подробнее |
эти линии. |
|
|
|
|
Раскроем условие |
Д 0 |
= |
0. |
|
|
|
|
|
|
До = |
— (ѵ2х — |
a2) |
(dy)2 |
— |
dx[(v2j |
— a2)2\ dx |
— 2vxvy |
dy] |
0 |
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(vi - |
a2) |
( * L ) 2 |
- |
2vxvy |
- f . + (vi |
- a2 ) |
= |
0. |
(272) |
В данном случае все величины относятся к |
характеристике. |
Из уравнения |
(272) следует, |
что через каждую |
точку |
плоскости |
проходят |
две |
характеристики. |
|
|
|
|
|
|
В самом деле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
V |
|
( ° Л ) а |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
( v |
242 |
|
|
|
|
И Л И |
|
|
|
|
|
x - a ~ ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v v„u ± |
a V~v- |
|
|
|
(273) |
|
|
|
|
|
"x |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx
При этом решение со знаком плюс обозначим цифрой I , а со знаком минус — I I .
Из уравнения (273) следует, что только при сверхзвуковом течении газа (и > а) существуют действительные характеристики. Поэтому будем рассматривать лишь сверхзвуковое течение газа.
Условие А о = |
0 дает |
Д-2 = {ѵх |
— a2) (dvx dx — dvy dy) -4- dx2vxvu dvy = 0 |
ил и |
v-. — a~ |
|
Рис. 144. Взаимное расположение характеристик в плоско стях потока и годографа
|
или, подставляя dyldx |
из уравнения (273), получим |
|
|
dvy |
vx — ar |
(274) |
|
dvx |
-vxVy ± aV~v" — a2 |
|
|
Уравнение (274) дает вид характеристик в плоскости годографа скорости. В данном случае также имеем два семейства характе ристик, которые обозначим аналогично.
Из уравнения (274) следует, что в плоскости годографа харак теристики для всех потоков одинаковы и могут быть построены заранее, так как скорость а звука и проекции скорости их и ѵу потока связаны уравнением Бернулли
Выясним взаимное расположение характеристик в плоскости потока и в плоскости годографа.
На основании выражений (273) и (274) можно заключить, что элемент характеристики семейства / (//) в плоскости потока пер
пендикулярен элементу |
характеристики семейства / / (/) в пло |
скости годографа (рис. |
144). |
