Файл: Щербинин Э.В. Струйные течения вязкой жидкости в магнитном поле.pdf

и

d_

позволит перейти от системы (2.17) — (2.22)

dQ

к системе (2.23) —(2.28).

Плоские и

осесимметричные течения, определяемые соответ­

ственно системами

(2.10) — (2.15) и

(2.17) — (2.22), имеют то об­

щее свойство,

что д л я их описания

можно привлечь некоторые

Обозначим

через Q=

§VndQ.

объемный расход жидкости, че­

рез J = SWndQ

а

— объемный

поток

количества

д в и ж е н и я

сквозь

а

замкнутую поверхность

Q, а

через

Г =

4>Wdr=

I rot VdQ

— цир­

куляцию

скорости по контуру

I, л е ж а щ е м у

а

поверхности Q

на

Размерности Q, J и Г есть

[Q] = L3T->,

[J] = L*T-2,

[ r ] =

L 2 7 ' - 1 .

П р и стягивании поверхности Q и контура I

к

полюсу

в точі у

получим,

что Q, / и Г могут

зависеть

лишь

от v

(либо от v m ) и

от постоянной

Л , размерность

которой

т а к ж е

в ы р а ж а е т с я через

сутствуют). Т а к к а к размерности

Q и v независимы, то очевидно,

что

расход

Q д о л ж е н равняться

либо нулю,

либо бесконечности.

В то ж е время размерности

/ и Г в ы р а ж а ю т с

я через размерность

v,

поэтому

эти величины

могут

з а д а в а т ь с я

конечными. Таким

ной образующей

и переменным

р а д и у с о м ) , т. е. dti = Ldl, то при

стягивании контура / в точку

получим,

что здесь

у ж е величина

Q

-j-

(расход на

единицу длины) будет

иметь

размерность v.

В

то ж е время

размерность -j-

станет независимой от v, а раз­

2.2. ПЛОСКИЕ ТЕЧЕНИЯ

Система

уравнений

(2.10) — (2.15)

может

быть

применена

д л я

анализа

течения в плоском диффузоре

(конфузоре),

образо ­

ванном

парой

расходящихся стенок

(рис. 2.5). Если принять, что

стенки непроницаемы, то из (2.15) сле­

дует а = 0. Кроме того,

давление

в

(2.10)

можно

исключить

интегралом

уравнения

(2.1.1)

g = 2f + Cu

а уравнения

(2.13)

и

(2.14) исключить из анализа в силу за­

мечания на стр. 36.

Тогда

течение

в

диффузоре будет описываться уравне ­

ниями

Рис.

2.5.

Схема

течения

f" + 4f+P

+ S(bF'-F*)

+ С 2 = 0 ;

(2.29)

в

плоском

диффузоре

(течение

Гамеля).

/ ?

, + р б / = 0 ,

(2.30)

где

C2

=

2 C , - S b 2 .

И з

(2.29)

и (2.30) следует, что наличие лишь радиальной

со­

ставляющей

внешнего магнитного поля

(Ь = 0)

не влияет на рас­

пределение

функции f и воздействие магнитного поля на

тече­

ние в диффузоре может иметь место лишь при наличии

азиму­

тального поля

Я ф = у й .

Последнее

можно

трактовать

как

поле,

плоского д и ф ф у з о р а . И з

в ы р а ж е н и я дл я Я ф

следует т а к ж е ,

что

постоянную Ъ можно положить равной единице без потери

общ­

ности решения.

Д л я решения системы

третьего порядка

(2.29), (2.30)

и

д л я

индукции

на границе между областями течения

( А , В)

и твер­

дого тела

(1,11) (рис. 2.6)

приводит к

соотношению

/ = / т

(2.31)

(индекс

«т» относится к

величинам,

определяемым

в

области

твердого

т е л а ) . Действительно, т а к ка к Я ф = — ,

то

р,/ = р , т / т , и

если

магнитные

проницаемости обеих

сред одинаковы

(ц. = |л т ) ,

то приходим

к (2.31). Кроме того, если

на стенках к а н а л а

отсут­

ствуют

поверхностные

токи,

то д о л ж н а

быть непрерывна и тан ­

генциальная

с о с т а в л я ю щ а я

магнитного

поля

I F (at)

=IvFTi(ai)

или

F(a,i)=Fn(ai)

.

Интегрирование

уравнения

(2.30)

приводит

к любопытной

связи

м е ж д у

Еті

и расходом

жидкости в канале :

ос.

1

Г

Q

— ( F T i - F T

2 ) =

/

fdy=— .

F

а,

а.2

а 2

Отсюда

следует,

что з а д а н и е расхода

Q = J Vrrdw=vSfdw

опре-

a,

a,

деляет

разность

значений функции F на стенках к а н а л а .

Спра­

ведливо

и обратное

утверждение .

В частности, если движение осу­

ществляется

по схеме

рис. 2.5, то

решением

в

области

I I

является

/ r T = c o n s t , следовательно,

FTi —

— FT2

= 0

И,

соответственно,

рас­

ход т а к ж е

равен

нулю.

Д л я

того

чтобы

получить ко ­

нечный

расход

в

интересующем

н а с к а н а л е

(например,

диффу ­

з о р е ) , необходимо

соответствую­

щ и м образом организовать под­

вод

жидкости

к источнику.

Ц е л ь

достигается, если движение орга­

низовать по двухканальной

(или

Рис.

2.6. Двухканальная схема те­

многоканальной)

схеме (см. рис .

чения,

реализующая

ненулевой

2.6, а)

[23]. Здесь

один

из ка ­

расход в диффузоре.

налов (А) выполняет роль д и ф ­

фузора, второй {В) — конфузора .

Учитывая

сказанное

выше., д л я схемы,

изображенной на

рис. 2.6, а, м о ж н о

записать

F(a2)

=F(a3)

=FT1;

F(a2)-F(a,)=p

/

/Лр;

а,

а,

f ( a 4 ) - / r ( a 3 ) = P

ffdy.

Комбинируя

аз

получаем

эти равенства,

a 2

а,

ai

аз

т. е. находим,

что

общий

расход через

оба

к а н а л а

равен нулю,

в то

время как

расход через

д и ф ф у з о р

А отличен от нуля.

Плотность

тока, индуцируемого движением жидкости попе­

рек

магнитного поля в направлении

оси z,

дается

в ы р а ж е н и е м

.

Г 1 д

1 дНг

1

/

/ р /

Полный

ток

через

канал

А м е ж д у

поверхностями

г — г{

и

г=г2

/ р /

/

^ М - г і ф с ^ / р і п І *

У

f(<p)dq>,

а,

г,

1

tti

а полный ток через оба к а н а л а

—

«2

а,

I i m / p i n — [

/"f(<p)d<p +

[ / ( < p ) d q > ] = 0 .

Так

как

точка

0 является

д л я

к а н а л а

А источником, а

для

ка­

нала В

— стоком, то токи в обоих к а н а л а х

противоположны

по

направлению, но равны по величине.

В предельном случае (сс4 ->-аз) канал В превращается в токо­

несущий

слой

(см. рис. 2.6,6). Слой поверхностных токов

(В),

поперек

которого

з а д а н расход

жидкости,

обеспечивает

необхо­

димый

разрыв тангенциальной составляющей магнитного поля,

что, в

свою очередь, обеспечивает существование радиального

течения

в д и ф ф у з о р е А. Нетрудно

убедиться, что в рассматри ­

ваемой

задаче электрическое поле

£ = 0 . Аналогично рассмат ­