Файл: Щербинин Э.В. Струйные течения вязкой жидкости в магнитном поле.pdf

ности кругового

конуса

(в

частном

случае —

плоскую

поверх­

ность, ортогональную линейному источнику) .

В т а к о м

случае

задача , схема которой показана

на

рис. 2.24, в, становится осе-

симметрпчной, а т а к как единственной размерной

характеристи ­

кой такого течения

является

расход на единицу

длины

источника

и размерность ее совпадает с

размерностью

кинематической

вязкости, то течение принадлежит к исследуемому классу

точных

решений

и

описывается

системой

уравнений

(2.70) — (2.74) [36].

Остановимся

вначал е

на

гидродинамических

аспектах

з а д а ч и

(L = W = 0);

кроме

того, положим

в (2.70) — (2.74)

/ = 0. Тогда

бу­

дем

иметь

( 1 + Л 2 ) И ' ' + Л ^ + ^,2= 2 6 м у і + л 2 - 2 а ( 1 + т і 2 ) + с ;

(2.123)

g = 2 i | / - 2 f t

Ц

+ 2а.

Граничными

условиями

д л я

(2.123)

будут

служить

условия

прилипания

на поверхности

конуса r| = a = tg0o

4>(a)=i|>'(a)=0 ,

(2.124)

з а д а н и е

мощности источника

(расхода Q на

единицу

длины)

—

2л

lim

/ /-l/,.de = Q = 2nvxp/ (oo) = 2jtvRe,

или

^ ' ( o o ) = R e ,

(2.125)

и условие

равенства

нулю

осевой

скорости

Vz

на оси

симмет­

рии —

l i m

l / 2 = l i m — ( т і ф ' - ф )

= l i m

—т^тДО' - ЧО

= 0 .

(2.126)

Условий

(2.124) — (2.126)

вполне

достаточно

д л я определе­

ния постоянных а, Ь, с

и постоянной

интегрирования

уравнения

(2.123). Действительно,

перейдем

к

функции

/ = г р — Re т | и пере­

менной

/ = — . Тогда

уравнение

(2.123)

и

условия

(2.125)

и

(2.126)

запишутся

к а к

-1*

(1 + Р) f

г + (1 + Re) tf+f2

= 2ЬУТ + І Ч - (с -

2а-

Re)

t2-

Re2

- 2 a - 2 R e - - ^ y - ;

(2.127)

f ( 0 ) = 0 ,

t-*0

(2-128)

l i m 4=0 .

Если, теперь строить решение уравнения

(2.127)

в

окрест­

ности точки

/ = 0 в виде

ряда

то с условиями

(2.128)

можно

получить Лі = 0, Л 2

= 0,

Re2

2 6 - 2 a = 2 R e + - ^ — ;

6 + c - 2 a - R e .

< 2 Л 2 9 >

Соотношения

(2.129)

д а ю т дв е

связи

м е ж д у постоянными а, b

и с. П о с л е д н я я

связь

получается

от применения

(2.124) к

у р а в н е ­

нию (2.123):

2 й а У 1 + а 2 - 2 а ( 1 + а 2

) + с = 0.

(2.130).

Коэффициенты уравнения

(2.123)

в ы р а ж а ю т с я

в

таком

слу­

чае через п а р а м е т р ы

Re и а следующим образом:

/

Re2

R e + ( 2 R e + — ) a 2

2 6 = -

— + а 2 - а У 1 + а 2

(2.131)

Re2

c = 6 - R e

Re2

2a = 2 6 - 2 R e - - ^ - ,

— .

Остановимся

теперь

на некоторых

особенностях

сформулиро ­

ванной задачи .

Согласно теореме К о ш и д л я обыкновенного

диф ­

правой

части

уравнения

(2.123)

обеспечивает возможность по­

строения единственного решения в окрестности точки

т) = а. Д л я

наших

ж е

целей необходимо,

чтобы решение вело себя вблизи

особой

точки

11 = оо в соответствии

с

(2.125)

и

(2.126). Условия

ж е (2.128)

и,

соответственно,

(2.129)

являются

л и ш ь необходи­

мыми

д л я

такого

поведения,

но

не достаточными.

Действи ­

тельно, пусть

выполняются

соотношения

(2.129). Тогда, пред­

ставив

решение в окрестности

точки

т] = оо,

к а к

и

выше,

в в и д е

ряда

тЬ = Ат)+Л,-г-

— +

^ | +

. . .

,

получим

из

(2.123)

Л , = 0

Re—k

(если

кф — 1), Л 2

= — £ — ,

а

д л я

определения

k— к в а д р а т н о е

k2

Re2

уравнение: 2k+

= 2 R e +

.

Отсюда

следует,

что

помимо

асимптотики

г(/(оо) = A t = Re

может

существовать

асимптотика

• ф Ч 0 0 )

=ko=

— Re — 4. Более

того, среди множества

пар

значений

а и Re существует бесконечное множество таких

пар, д л я ко­

торых

решение в промежутке а ^ г ) < о о претерпевает

разрыв .

П о к а ж е м это на нескольких частных

примерах .

гласно

в ы р а ж е н и ю

(2.130)

и

произведем

замену

\|) = Лг) +

+ 5ііУ1 + rf-t-f. Постоянные

Л

и

В

выберем

таким

образом,

чтобы

уравнение

(2.123) перешло

в

однородное уравнение, д л я

чего эти постоянные д о л ж н ы

подчиняться следующим

условиям:

5 ( 2 + Л ) = 2 & , 4 Л + Л 2 + 5 2 = - 4 а ,

'

А + — = - 2 6 а У 1 Ч - а 2 + 2 а а 2 ,

а дл я определения

f

будет служить

уравнение

( 1 + Л 2 ) / ' + [ ( 1 + Л ) Л - г - ЯУ1 + т 1 2 ] / +

J-

= 0 .

(2.133)

яр = Лг| + £ У 1 - | - л 2 + ( 1 + Л2 )

~

(л +

У 1 + л 2 ) - в х

г і

г

-—

х [ — J ( 1 + л 2 ) -

2

( л + У 1 + л 2 ) - в ^ л -

а

1+А

1 - І

- ( Л а

+ ВУ1 + а 2 ) - ' ( 1 + а 2 )

~ {а + Ц\ + а 2

) - в J .

совместности (2.132)

на выбор значений

а и Re.

В =

Пусть а = 0. Тогда

из (2.132)

можно

получить

Л = —4,

= =F2y2, R e = ± 2 y 2 , при этом положительные

значения чисел Re

•соответствуют з а д а ч е

о линейном

источнике,

отрицательные

—

о линейном стоке. В этом случае из решения

•ф = - 4 Л + 2 У 2 Л У

16 (1 + л 2 ) 3 / ' (Л + У Т + Л 2 " ) ± 2 ' 5 [

( т 1

+

+ у Т + л 2 ) 2 ± 2 ^ 2 ± У 2 ( л + у ї + л 2 ) ± 2 v 5 +

+ — ( л + у Т + ? ) ± 2 Я - 2 + У 2 Г '

+ У 2 — 1

J

следует, что д л я знака « + » асимптотическое

поведение

функции

определяется

выражением гр = 2у2т| + 0

|-^j2j

, а д л я знака « —» —

выражением

ij)= (2"|/2 —4)т) + 0 |—j .

Таким

образом,

при а = 0

ного 2У2.

П о л о ж и м

теперь

5 = 0.

Условия совместности дают

в т а к о м

2

случае Л = К е

и а 2 = — - — = - , отсюда

R e < — 4 . Выберем

дл я оп -

4 + Re

ределенности Re= — 7 , тогда

[

(\+а2)3

i

f

2 ,

ті5

7 а

2

I 1

3

5

межутке — ~ | / ' | < т 1 < 0 0 о н

о п о

меньшей

мере один

ра з

о б р а щ а ­

ется в нуль и, следовательно, функция

ijj претерпевает

р а з р ы в -

Этой ситуации соответствует значение ту« —0,397.

Анализ

условий существования

того

или иного типа

решения

оказывается

достаточно

сложным .

С

уверенностью

можно ут­

в е р ж д а т ь

лишь, что в квадранте а ^ О , Re^O на плоскости а—Re

решение во всех точках ограничено и ведет себя

в соответствии с

условиями

(2.124)—-(2.126). В

остальной части

плоскости

могут

существовать

все три типа

решения. М о ж н о у к а з а т ь

и

некоторые

точки кривой,

р а з д е л я ю щ е й область ограниченного

решения о т

области, где решение претерпевает

разрыв: д л я Re = 10 а

л е ж и т

в промежутке

— 0 , 7 3 < а < —0,71, д л я а = —1 значение

п а р а м е т р а

Re находится

в промежутке 6,8<Re<7,0.

ным здесь

является

немонотонность профиля радиальной ско­

рости во всех р е ж и м а х течения, причем дл я

каждого числа

Re

существует

такое значение а (оно совпадает с тангенсом

угла

отрыва а 0 Т р ,

см. н и ж е ) , что при а ^ а о т р в профиле имеется

один

экстремум,

при а < а 0

Т р — Два экстремума

(см. рис. 2.25),

а

к

асимптотическому

значению профиль

гр' всегда

подходит

сверху

( R e > 0 ) . Физическое объяснение последнего

явления

состоит,

по-видимому, в следующем: при а^О

линии тока

в пограничном

•слое вследствие

тормозящего влияния стенки

оттесняются от

которая

и соответствует

превышению

скорости на д значением

в потенциальном ядре. С увеличением

угла от а = 0

потенциаль­

ный клин

становится у ж е

(см. рис. 2.26, в ) , тем не

менее вели­

«механического» оттеснения стенкой линий тока.

П р и а < 0

с ростом абсолютных

значений

м величина

макси­

м у м а вначале

несколько

падает, а затем вновь увеличивается

(см. рис. 2.25). П а д е н и е

объясняется тем, что часть линий

тока

из области г | > 0 заходит

в область т]<0 . Последующее увели­

чение можно

объяснить

влиянием

вторичного течения,

сбиваю­

щ е г о потенциальный поток, которое тем

интенсивнее,

чем

больше | а | .