Файл: Щербинин Э.В. Струйные течения вязкой жидкости в магнитном поле.pdf

получаем

решение д л я Я ф (при отсутствии

внешнего или наве­

денного электрического п о л я ) :

Я 0

(2.138)

где R e m =

pRe.

Решение (2.138) показывает, что поток

жидкости сущест­

области, занятой жидкостью, з а счет

появления в

ней осевого

электрического

тока

І2

Re m #o

(2.139)

r2-Re„,

Отсюда ясно, что заданные

в виде

(2.138) и (2.139)

функции не

удовлетворяют

условиям

определения

класса

точных

решений

(2.9),

но построение

приближенного

решения

возможно .

Д а н н а я з а д а ч а

представляет

интерес,

с

одной

стороны,

поле линейного тока [22, 23], с другой

стороны,

она имеет

отно­

шение

к проблеме создания

гидромагнитов

и проблеме

самовоз­

буждения .

В

обоих

случаях

реше ­

ние ее позволяет

учесть влияние ог­

раниченности

области

течения, чт о

н е м а л о в а ж н о

при анализе

экспери­

ментальных результатов.

Некоторые

особенности

течения

при

наличии

ограничивающей по­

верхности

можно

у к а з а т ь

д о полу­

-77777777777777777777777777777777777Z

чения решения. Пусть поверхность

Рис. 2.32. Схема

растекания ин­

является непроводящей. Тогда осе­

вой на бесконечном

удалении

от по­

дуцированного

электрического

верхности

ток в

жидкости

(2.139)

тока в течении

с линейным ис­

точником радиальной

скорости.

будет

растекаться

в

радиальном

направлении

вблизи

поверхности

(рис.

2.32). П р и этом

будет

осуще­

ствляться поворот вектора электромагнитной силы

] Х Я ( ) . е ф , а ее

rot будет направлен так, ка к показано

на рис. 2.32. В соответст­

вии с этим возникнет вторичное течение, характер

которого про­

тивоположен

описанному в п. 2.3.5.

Д л я

построения приближенного решения примем, что Rem <#;l.

Тогда

в (2.138)

можно провести

разложение

в

ря д по

малым

или

— - Ї

= 1 + R e m l n r +

(2.140)

откуда

видно, что если

второй

член

р а з л о ж е н и я

(2.140)

принять

з а

индуцированное

магнитное

поле,

то

последнее будет

иметь

логарифмическую

особенность

на оси z

(г = 0) . Это обстоятель­

ство учтем при постановке граничных

условий д л я индуцирован ­

ного

поля.

W = 0, ЬФО. Кроме

П о л о ж и м

в (2.84) —(2.89)

/ = 0,

того, бу­

дем

искать решение

полученной

системы уравнений в виде ряда

по возрастающим

степеням Н а 2 :

•ф = ф о + Н а 2 ф , +

L i = L,o +

H a 2 L M +

а в качестве

L 0 используем решение

L 0 = l . Тогда

система

урав ­

нений

(2.84) — (2.89)

запишется

в виде

( l + - n 2

) ^ o + T ) i i ) o + Y V = 2 ^ y i + T l 2 - 2 c ( l + T i ^ ) + c ;

(2.141)

( 1 + ї ) 2 ) я | / і

+ ч ф і + г|>оФі =

- 2 ( 1 + 2 г | 2 )

[

TiL,0 dTi +

H-2-пУІЧ-ті2

J - £ ^ L l o

d r \ ;

( 2 . 1 4 2 )

( 1 + T , 2 ) L " 1 0 + 3 T I L ' 1 O = - 2 ^ O .

( 2 . 1 4 3 )

К а к и в предыдущем п а р а г р а ф е ,

граничными

условиями д л я

т|>о будут условия

(2 . 124) — ( 2 . 1 2 6 ) .

L i 0 имеем L | 0 ( 0 )

Д л я индуцированного магнитного

поля

(что

следует из непрерывности нормальной составляющей

магнит­

ного

поля

на поверхности г) = 0

и очевидного условия

равенства

нулю

индуцированного

поля

в

области

твердого

тела

2 ^ 0 ) и,

согласно

( 2 . 1 4 0 ) ,

l i m ( L 1 0 + l n r | ) = 0 .

(2 . 144)

Относительно

граничных

условий

д л я

-фі

заметим, что_ по­

мимо

постоянной

интегрирования

определению

п о д л е ж а т

еще

две постоянные в правой части

уравнения

(2 . 142) . Эти три по­

стоянные м о ж н о найти из двух условий прилипания

і р і ( 0 ) = 0

и

ij>'i(0)=0

(2. 145)

описанного в главе V I I I .

Относительно (2.147)

заметим еще, что вследствие

наличия

логарифмической особенности (2.144) в решении

д л я индуциро­

ванного поля оно не дает регулярного решения

д л я

поля ско­

метрии

(/"=0)

имеет ту ж е логарифмическую

особенность:

l i m Vz=

V

V /

1

\

l i m —

ц (т)о|/ — ф) = l i m — I

— — In т] 1,

Г-Н)

Т]->-оо ^

11~>-оо 2 *

Л

решения при

больших

значениях

числа

Реинольдса

(или

экви­

валентного ему

п а р а м е т р а ) . Впервые

на

эту возможность

обра ­

тил

внимание

Л а н д а у

[11] в з а д а ч е

об истечении

струи

из

конца

тонкой

трубки в

неограниченное

пространство. Л а н д а у

п о к а з а л ,

что

д л я

«сильной» струи,

т. е. при

импульсе /-voo,

параметр k

в

соотношении

(2.100)

стремится

к

единице,

к а к

k='-Jr~2>

32яр

где

а = — — -

, а решение

(2.99)

приобретает вид

=

—

a 2_|_Q2

Д л

я малых углов (8 ~

а)

и

/ = ~ 2 c t g —

д л я больших углов

( 0 ~ 1).

О д н а к о приближение пограничного слоя м о ж н о получить и

непосредственно

из

уравнений

(2.70) — (2.74).

Ограничиваясь

например, что, пользуясь

ф о р м а л ь н ы м и операциями, которые

применяются

при вывод е

уравнений

пограничного слоя

[37],

м о ж н о получить хорошо

известное

решение Шлихтинга д л я

круглой струи [20].

Уравнение (2.70) в

условиях з а д а ч и Я ц е е в а — С к в а й р а

(т. е.

а=Ь = с=А)

запишется

к а к

(1 + ту2) V + т т ф + ~ Т = А

(2пУ

1 + т ) 2 - 2 г ) 2 - 1 ) .

(2.148)

-(l + m ' t + ^ + ^ = A ( l y T + T * -

(2.149)

Согласно

представлениям

теории

пограничного

слоя, мас ­

штаб ы продольной (вдоль оси

струи)

и

поперечной

координат

соотносятся

ка к

yRe,

поэтому логично

перейти к

переменной

to = У Re t. -

(2.150)

К р о м е того, функцию тока при больших Re м о ж н о

предста­

вить в

виде

i|)=VRi"i|)o + * i + - 4 r r * 2

+ . - . •

(2.151)

yRe

П о д с т а в л я я

(2.150) и (2.151)

в

(2.149)

и переходя к пределу при

lb 2

Re-voo,

получим

уравнение

^уф'о —tyo— tQ~ = 0, которое

подста-

F

иовкой

гро =

г

переходит, наконец, в уравнение Шлихтинга [20]:

шения

з а д а ч и

о

круглой

струе,

справедливого при л ю б ы х

Re.

П о л ь з у я с ь аналогичным методом, найдем решение (при боль­

ших числах Re) з а д а ч и о течении

у плоской поверхности при на­

личии

линейного

источника (см.

п. 2.3.6).

П о л а г а я в

(2.131)

Re2

Re2

а = 0 ,

получим

6 = Re, а = — ——,

с=

а уравнение

(2.123)

t

после

замены

переменной

11 = ^ Щ : > подстановки (2.151)

и

при­

следующую систему

уравнений:

* 0 + 2

Т ;

( 2

Л 5

2

)

* ' , + W

i = 2f;

( 2

1 5

3

)