Файл: Щербинин Э.В. Струйные течения вязкой жидкости в магнитном поле.pdf

Рис. 2.26. Линии

тока при течении в

Рис,

2.28. Распределение осевой ско-

круговом конусе (Re=10), определяе-

рости

(Re=10):

мые уравнением

С

а — на линии r=const; б — на линии

r=-j~:

z=const.

Рост

максимального значения скорости

наблюдается и с уве­

личением числа

Re при фиксированном

а

(см. рис. 2.34, а ) . Об ­

р а щ а е т

на себя

внимание

тот факт, что д а ж е при безотрывном

течении,

как, например,

при

а = — 0 , 6

и

R e = l (см. рис. 2.30),

профиль

радиальной скорости

остается

немонотонным.

Рис.

2.29.

Распределение давле­

Рис. 2.30. Линии тока и радиальная

ния

при

различных углах а

скорость

при Re=l

и а =—0,6.

(Re=10).

Остальные характеристики

течения

показаны

на рис. 2.27—

линии 2=const, т)і|/—тр — осевой скорости на линии

/• = const,

г)(тцр'—-ф) — осевой скорости на линии 2 = const, g{r\)

— безраз ­

мерному

давлению .

Более

просто, чем в проблеме Гамеля, решается в данной за­

верхности

конуса. Д и ф ф е р е н ц и р у я

(2.123)

и полагая в получен­

ном уравнении

i p " ( a ) = 0 ,

получаем

с учетом

граничных условий

(2.124)

д л я критического

р е ж и м а

течения

следующее

соотноше­

ние м е ж д у

а и Re:

ex,-2 + а У 1 + а 2 =

2

R e + 4

или

2

(2.134)

И з

(2.134)

следует,

что при

любых

значениях

числа Рей -

нольдса

(Re>0 ) отрыв

возможен

лишь

при

отрицательных

а, причем

при Re-voo а - >0 , та й что при

больших

Re течение у

шее отклонение поверхности в сторону отрицательного

угла ве­

дет к возникновению отрыва. Этот вывод

имеет

в а ж н о е

значение

д л я экспериментальной

практики .

Несмотря на то что р а с с м а т р и в а е м а я

здесь

з а д а ч а

связыва ­

лась выше с анализом

диффузорных течений, обнаруженные при

скорости,

могут

возникнуть

и в других

аналогичных

ситуациях

в

гидродинамике .

В самом

деле,

з а д а ч а

о линейном

источнике

у

плоской

поверхности является

цилиндрическим

варианто м

нове

этого явления

л е ж а т те ж е причины, о

которых

говорится

выше .

2.3.7. МГД - течение у плоской поверхности

при наличии линей­

ного

источника. Здесь мы рассмотрим

магнитогидродинамичес -

кие

аспекты задачи,

поставленной в п.

2.3.6. И м е я в

виду кон­

чимся

случаем

а = 0, т. е. когда полуограннченный

линейный ис­

точник ортогонален плоской поверхности.

Пусть

имеется

чисто

радиально е

внешнее магнитное

поле,

т. е. в

решении

(2.90)

положим Л = 1, 5 = 0. Тогда з а д а ч а

описы­

вается

уравнением

(2.84), в котором

следует

положить

l = L = 0

и пренебречь членом,

пропорциональным

5, и уравнением

(2.87).

Граничные

условия для

скоростного поля

остаются

теми

же, что

в п. 2.3.6,

т. е.

(2.124) — (2.126). Что

касается

условий

для

поля

х¥и

то, поскольку

потенциальное течение

(на

большом

удалении

от

поверхности)

не

взаимодействует

с

внешним

р а д и а л ь н ы м

магнитным полем, индуцированное там поле д о л ж н о

равняться

нулю.

Будем

считать

далее, что в полуплоскости

2 < 0

имеется

система азимутальных электрических

токов,

которая компенси­

рует 2- составляющую магнитного поля на границе

р а з д е л а

г| = 0

(это м о ж н о осуществить, например, организацией

в

простран­

стве z < 0 течения

с линейным стоком

в радиальном

поле) . Тогда

условиями

д л я

4х

і

будут

служить

4^(0)

= 0

и Ч г , і ( о о ) = 0 .

При м а л ы х

числах Re

(положим д л я определенности R e = l ,

т. е. ар'(оо) = 1)

нелинейное уравнение (2.84) м о ж н о линеаризо ­

вать

введением

функции

ipі = ijj — і] и последующим пренебреже ­

нием

квадратичных по i^i

членов. Решение полученной таким об-

р а з о м системы

представим в

виде

р а з л о ж е н и я

в ряд

по степе­

ням малого параметра

Н а 2 :

гР 1 = г|)1о + Н а 2 г р „ + 4 ^ ,

= ' 4 F 1 o + H a 2

T 1 1 + . . . .

Тогда д л я определения функций

ори и WH будем

иметь

систему

(1 +Г|2 )ЧЛо + 2тгфіо = 2 Ц У 1 + п 2

- ( 2 а +

- | ) г , 2

- 2 а

+ с - 1 ;

. ( 1 + Л 2 ) ^ ' п + 2 і 1 г | ) 1 1 - г і ^ 1 о = 0 ;

(2.135)

<1 + T 1 2 ) ^ " 1 0 + ^ , I O - 1 F 1 O = ^ ' . O - ^ I O

с условиями

ір ! 0 (0) = 0 ,

г р , ю ( о о ) = 0 ,

гри(0) = 0 ,

¥ , 0 ( 0 ) = 0 ,

Ч " 1 0

( ° о ) = 0 .

(2.136)

Первое

уравнение

системы

(2.135)

является

лишь

линеари­

зованной

формой уравнения (2.123)

из п. 2.3.6,

поэтому

для вы­

числения постоянных а, і и с можно воспользоваться

соотноше­

ниями (2.129),

(2.130). Это дает

а=—

Ь = 1, с = —

а реше­

ние для тріо записывается

в виде (36]

1

2(1 + л 2

) э / 2 — З л - 2 —2т!3

іріо= -г-

1+Т| 2

П о д с т а в л я я

найденное

грю в уравнение

д л я ^ ю , получаем

ре­

шение

^ • 0 = ^

{

(5 + 4 In 2 - 2 я ) л - -

j f

^

+

^

+ 1/Т+^)[\п

(1 + г , 2 )

-

14

1

- 2 Arshr|] + 4ri a r c t g n - — У і + т ) 2

+ 4

f .

В свою очередь, решением второго уравнения

системы

(2.135)

будет функция

8

т]3

4

т)2

5

т]

1

arctgr)

^ п = 2І~

1 + т ) 2 +

~9 1 + т ] 2 +

Т

1 + т ) 2

~

У

1+Т12

+

4

т)3

А

1

In

(1+т) 2 )

, 1

г ,

3 ,

9 1 + т )

a r c t g r , + -

, \ _ '

;

+ -

—

2

ь

'

3

1 + т)2

9 1 + г , 2

ХІП

(1+Т]2) +

— У1+Г| 2 І П

( 1 + Г ] 2 ) - —

X

X У і + т ] 2

ArshT]-

• Arsh т) —

1

y i + r i 2 +

9

1+т):

9

/ 1 4

4

, «

2

\ ті3

14 ,-

и равна

С 3

=

-^у.

Н а

рис.

2.31

приведен

график

функции

t | / = 1 + г | / ю +

На 2 о|) /

1 ь

вычисленной

согласно

(2.137).

К а к

видно

из

приведенного

рас­

чета и рис. 2.31, радиальное

маг­

нитное поле оказывает сущест­

венное

влияние

на

течение

у

по­

верхности,

в

отличие

от

плос­

кого течения в диффузоре, рас­

смотренного в п. 2.2. Таким об­

разом,

пространственные

эф ­

фекты

в

реальном

д и ф ф у з о р е

с

Рис.

2.31.

Влияние радиального

ограничивающими

течение

па­

магнитного поля на течение в

р а л л е л ь н ы м и плоскими

стенками

круговом

конусе

с а = 0 :

могут

в

определенных

случаях

1 _

Наг =0;

2 — На! =0,1; 3 — Наг =0,2;

усиливаться

р а д и а л ь н ы м

магнит­

4 — На2 =0,5.

ным

полем.

Пусть

теперь

та

ж е

з а д а ч а

рассматривается в

азимутальном

магнитном

поле,

вызванном

протеканием

электрического

тока

по оси

симметрии (оси

z).

Строго

говоря, т а к а я

з а д а ч а не

опи­

сывается

исследуемым

классом точных решений, что легко по­

к а з а т ь

из

поведения

искомых функций в области потенциаль­

ного потока, т. е. вдали от твердой

поверхности.

Действительно,

полагая, что в потенциальном потоке Vz=0,

из

d i v V = 0

полу­

чаем

Vr=

-у-, и

л и

' согласно

(2.125),

Vr=

.

П о д с т а в л я я

теперь

это

решение

в уравнение

индукции

Vm

д*Нч

1

дНу

Я,

-

0>Г2

+

дг

Ї * Л

=

г 2

/

дг