Файл: Щербинин Э.В. Струйные течения вязкой жидкости в магнитном поле.pdf

Уравнение , (2.152)

при

условии

ор0

(0) = 0

дает

решение

по­

ставленной

задачи

в

приближении

пограничного

слоя,

уравне ­

ния

(2.153)

—

поправки

на

конечность

числа

Re. Різ

особен­

ностей

решения

уравнения

(2.152) отметим

отсутствие

трения

на

стенке

( i l ) " ( 0 ) = 0 ) ,

что

следует

непосредственно

из

продиффе ­

ренцированного

уравне ­

ния

(2.152)

и

согласуется

о)

с выводом,

полученным

в

п. 2.3.6 (формула (2.134)).

1.0

Н а

рис.

2.34

приве­

дены результаты

числен­

ного

расчета

уравнения

Л

(2.152)

(кривая,

соот­

1

ветствующая

Re = oo),

а

1

2

V J / "

т а к ж е

кривые

дл я

дру­

гих

чисел

Re,

полученные

"

1

2

3

4 if/Si-t

путем

решения

на

Э В М

уравнения

(2.123).

Т а м

Рис. 2.34. Профили радиальной скорости,

ж е

пунктиром

проведена

к р и в а я

д л я

R e = l 0 0 ,

рас ­

нормированной по числу Re, в течении у

плоской

поверхности

(а)

и

вид

функции

считанная

по

ф о р м у л е

первого приближения

(б):

I

,

кривые 1, 2, 3 — точные профили при Re=I,

10 и

Re

VRe• і|з и,

учи-

100

соответственно;

кривая 4

— по уравнению

(2.152); пунктирная — приближенный

профиль для

т ы в а ю щ е и лишь первое

Re=100 с

учетом первого

приближения.

приближение

по

Re

(функция

і|з'и

п о к а з а н а

на

рис.

2.34, б ) .

К а к

видно

из

данного

рисунка,

у ж е

при

Re=100

приближенное

решение достаточно хорошо

соответствует

точному,

полученному

из

полного уравнения (2.123),

особенно

на начальном участке, та к что приближение пограничного

слоя

достаточно

хорошо

работает

и

д л я

рассматриваемой

задачи .

наведенным магнитным

полем

по

сравнению

с

полем,

прило­

ж е н н ы м

извне, м о ж н о

пренебречь. П о д

точным

решением

будем

понимать такое

решение, которое

дает

локальное

соответствие

поля

скоростей

д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы м

уравнениям

пограничного

слоя,

в

то время

к а к от приближенного решения

(см. главу

I V )

обычно требуется л и ш ь интегральное соответствие.

Ограничимся

т а к ж е

плоской

и

осесимметричной

схемами

ис­

течения

струй в

покоящуюся жидкость, причем во всех з а д а ч а х ,

за исключением

рассмотренных

в

§ 6,

физические

свойства

среды (плотность,

вязкость,

электропроводность)

будем

считать

однородными к а к в области

смешения,

т а к

и вне

этой

области.

П р и а н а л и з е

плоских струй примем, что внешнее магнитное

поле

расположено

в

плоскости

течения

(в

конкретных

зада ­

чах

—

ортогонально

основному

направлению

распространения

с т р у и ) . В таком

случае

при

отсутствии

внешнего

электрического

поля

наведенное

электрическое

поле

Е = 0,

если схема

работает

нитное

поле

имеет

составляющие

Вх,

Ву,

а течение

плоское

—

V = V (Vx ,

Vy,

0),

то

д л я

любых значений

чисел R e m

из

j = r o t B

следует, что

вектор

j

имеет

л и ш ь

2 - составляющую, как и вектор

V x B .

И з

закона

О м а

(1.4)

тогда

заключаем, что и Е = Е ( 0 , 0 ,

Ех).

дЕ

дЕ

Д а л е е ,

в стационарных

процессах

rot Е = 0

или

= 0 ,

=

0.

Отсюда

Ez=const.

Р е ж и м

холостого

хода

генератора

означает, что

сопротивле­

ние внешней

нагрузки

R^=oo,

а индуцируемые токи

з а м ы к а -

ются

через о к р у ж а ю щ у ю

струю жидкость . Тогда

суммарный ток

в жидкости д о л ж е н быть равен нулю:

Ь

a

b

а

lim /

[

jzdxdy = o\\m

f

f {Ez+\Vxb\)dxdy

=

0.

0

0

Q ^ ° ° 0

0

намической струи необходимо з а д а т ь

некоторое интегральное

. условие «сохранения»,

связывающее параметры струи с заданной

характеристикой . К а к

мы увидим ниже,

эта необходимость дик­

венно, к а ж д а я

конкретная з а д а ч а

будет характеризоваться

своим условием сохранения.

Интегральные

соотношения могут

оказаться полезными и

граничного слоя связано с большими

з а т р а т а м и времени или

попросту

невозможно без применения

вычислительных

машин

и когда

приближенные методы расчета

представляются

более

Н а й д е м

интегральные соотношения,

в ы р а ж а ю щ и е теорему

импульсов

и теорему энергии, д л я двух

наиболее характерных

ной

струй.

В безындукционном приближении система уравнений струй­

ного пограничного

слоя

с л е д у ю щ а я :

ди

ди

д2и

аВ2

(3-1)

u—+v—=v-—

ду2

р

дх

ду

ди

dv

(3.2)

дх

ду

С

помощью

второго уравнения

первое

можно

переписать

к а к

ди2

duv

-V

д2и

аВ2

.(3.3)

дх

ду

ду2

Интегрируя

(3.3)

по

поперечному

сечению

струи

(рис.

3.1)

в

пределах от

г/= —со до

у=

+ оо;

получаем

д л я свободной

за­

топленной

струи

~

[

u2dy=

-

^—

f

udy

(3.4)

ах

J

Р

З д е с ь использованы

граничные

условия

и=

-ИЗ при у-+±оо.

П р и

= 0

соотношение (3.4) переходит в получен­

ное

Шлихтингом :[1] условие

постоянства

импульса

в

поперечных

сечениях струи:

р

J

u2dy =

JQ.

(3.5)

Рис.

3.1.

Схема

свобод­

ной затопленной

струи в

поперечном

магнитном

Так ка к интеграл в правой части

поле.

равенства

(3.4)

представляет

собой

расход

жидкости

через

поперечное

сечение

струи

и

является,

как

мы

увидим

далее,

величиной

положительной,

то

из

(3.4)

следует,

что

импульс

струи

в

присутствии

магнитного

поля не сохраняется

постоянным,

а уменьшается

от сечения к се-