Файл: Щербинин Э.В. Струйные течения вязкой жидкости в магнитном поле.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 164

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

чению при удалении

от источника струи. Физический смысл у р а в ­

нения

(3.4)

состоит

в

том, что оно показывает, к а к а я д о л я

им ­

пульса, п р и х о д я щ а я с я

на

единицу длины в направлении х,

тра­

тится

на

преодоление

электромагнитных

сил

т о р м о ж е н и я .

Строго говоря, и соотношение (3.5) справедливо

лишь в

при­

ближении пограничного слоя. Если в вязком члене в (3.1)

оста-

вить

2 , которым

мы пренебрегли согласно

требованиям

тео ­

рии пограничного слоя, то можно получить

 

 

 

- /

" 2 ^ = V ^ T

 

1и(іУ

 

 

 

(3-6)

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

П р а в а я

часть

тельно,

импульс в

вязкого

трения.

и-о

і

Рис. 3.2. Схема при­ стеночной струи.

(3.6) необходимо отрицательна, и, следова - реальной струе тратится на преодоление сил

В о з в р а щ а я с ь

к

теории

МГД - погранич -

ного

слоя,

заметим,

 

что соотношение

(3.4)

(а д л я непроводящей

жидкости

—

(3.5)) и

является

условием,

 

з а м ы к а ю щ и м

з а д а ч у .

Аналогично,

дл я

пристеночной'

струи

(рис.

3.2)

после

интегрирования

(3.1)

по у

в пределах

от 0 до оо с учетом

граничных

 

 

и 1^=0=0,

 

ди

-0

при

у^-оо

условий

и — ду

можно получить

соотношение

 

 

 

 

показывающее, что в пристеночной струе помимо потерь им ­ пульса на преодоление электромагнитных сил имеются дополни-, тельные потери импульса на преодоление сопротивления трения о поверхность стенки.

Вгидродинамике непроводящей жидкости это обстоятель ­

ство в ы н у ж д а е т ставить более

жесткое условие

сохранения, а

именно: в различных поперечных сечениях струи

д о л ж н о сохра ­

няться произведение импульса струи / и расхода

Q:

U = const JQ.

 

(3.8)

В этом случае удается замкнуть

задачу .

 

Условие (3.8)

впервые было получено Акатновым [2]. Мы по­

вторим

его выкладки в применении к уравнению

(3.1).

У м н о ж а я

(3.3) на

v

интегрируя

поперек слоя от 0

до оо,

получаем

Judy и

 

о

 

 

 

 

оо

у

со .

у

 

 

I

( ^ 7

/ u d y

) d y +

I

("^Г

$ u d y

) d

y =

 

о

 

 

о

 

о

&

о

 

 

 

 

 

 

оо

 

 

у

 

 

оо

у

 

 

 

=v/

(l&

Iudy)dy~^~I

 

("J

»dy)dy.

П е р в ы й

интеграл после

перестановки

порядка

интегрирования

по у

и дифференцирования по х

запишется

как

 

 

 

 

у

 

 

 

 

 

 

 

~т~-

I ( " 2 1 u d y

) d y +

 

jи2исіУ>

 

 

 

 

d x

 

о

о

 

 

о

 

 

 

 

а

второй после интегрирования по частям

— как

 

 

 

оо

 

 

 

 

 

 

 

 

—

J

u2vdy.

 

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Интегрируя по частям правую часть равенства, получаем окон­ чательно:

оо у оо у

±

J

(и2

f

u d y ) d y = - ^ -

J

(и

J

udy)dy.

 

 

(3.9)

и

х о

 

о

 

v

о

о

 

 

 

 

 

П р и

Р

= 0

(3.9)

переходит в условие

Акатнова:

 

 

 

оо

у

 

 

'

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/

( и 2 fudy)dy=L0.

 

 

 

 

 

 

 

 

(ЗЛО)

 

Условием

(3.9)

мы будем

пользоваться

при

решении

з а д а ч и

о

магнитогидродинамической

пристеночной струе, а

условием

(3.4)

— при решении з а д а ч и о свободной

струе.

 

 

 

 

О

соотношениях (3.4) и

(3.9)

имеет

смысл

говорить

как об

«условиях

сохранения» л и ш ь

 

аВ?

 

П

когда

они

переходят

п р и - — = 0 ,

Р

 

 

 

аВ2

 

соответственно в

(3.5)

и (3.10). П р и

ф0

ни величина / , ни

L не сохраняются

при переходе от сечения к

сечению. По-види­

мому, в этом случае

вообще нельзя

получить

условия сохране­

ния какой-либо характеристики струи, не зависящей от магнит­

ного поля и

в то

ж е время

совместимой с д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы м и

уравнениями

движения . В

противном

случае это означало

бы,

что д л я

задачи, например,

о свободной струе в отсутствие

поля

помимо

(3.5)

имело бы место еще одно условие сохранения. К а к

известно [3], вопрос о количестве таких условий

тесно связан с

существованием

подобных

решений:

последние

невозможны,

если имеются

д в а

или более условий

сохранения. Пока нет

дан ­

ных о том, что рассматриваемые задачи имеют какие-либо

дру­

гие условия кроме (3.5) и

(3.10), как нет и доказательств

того,

что (3.5) и (3.10) являются единственно возможными .

 

Остается

предположить

возможность существования характе ­

ристики, зависящей от магнитного поля, однако до сих пор та­ кого условия сохранения ещ е не найдено. Д л я одного частного случая, когда индукция магнитного поля убывает по степенному

закону

Вжх~т,

в работе

[4] a posteriori

показано,

что

в з а д а ч е

 

 

 

 

 

 

Л я ,

 

 

2 - З т

о затопленной

струе существует инвариант Ц"У, где /

г = ~ — р »

m ^ - g - ^ m = - g -

соответствует непроводящей с т р у е | ,

но

возмож ­

 

2

/

2

 

 

 

 

 

 

ность

его получения из уравнения (3.1)

остается

невыясненной.

К а к

будет показано ниже при решении конкретных задач, пра­

вые

части

соотношений

(3.4) и (3.9) стремятся к

нулю, когда

х-э-0,

и,

таким

образом,

характеристиками течения

в

присутст­

вии поля могут служить величины (3.5) или (3.10), заданные в начальном (х = 0) сечении струи. Это справедливо д л я таких магнитных полей, у которых порядок особенности в начале коор­

динат не выше некоторого, определенного

д л я к а ж д о й

конкрет­

ной

задачи .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выведем

теперь

уравнение

энергии д л я

сечения струи

попе­

рек

и

пограничного

слоя.

Д л я

этого у м н о ж и м уравнение

(3.1)

на

и проинтегрируем

по всему сечению. Проведя те

ж е

опе­

рации, что и при выводе

уравнения импульсов, получим

для з а ­

топленной струи

со

 

 

 

 

 

 

 

\±

оо

 

 

 

со

 

 

 

 

J иЧу=-,о

J (

| І Jdy-oB2

ju4y.

 

 

(3.11)

 

Первый

член

в правой

части

(3.11)

есть

не что

иное,

как

 

в я з к а я диссипация;

д л я

выяснения смысла

второго

члена

напомним,

что при протекании электрического тока плотности j

в

единице

объема

за

единицу

времени

выделяется

джоулево

 

І і 12

. Так как

в

нашем случае закон

Ома (1.4)

имеет вид

тепло

 

0

І і 12

 

 

 

 

 

 

=аиВ,

 

 

 

 

 

| j |

то - ш - = а В 2 и 2 . Таким

ообразом, второй член в (3.11)

представляет собой энергию поперек слоя, приходящуюся на

единицу длины в направлении х,

которая

преобразуется

в тепло

за счет джоулевой диссипации, а

уравнение (3.11) можно сфор­

мулировать следующим образом:

потери

кинетической

энергии

в струйном пограничном слое происходят за счет вязкой и джоу ­

левой диссипаций.

 

 

Д л я пристеночной

струи уравнение энергии будет отличаться

от (3.11) л и ш ь пределами

интегрирования:

оо

оо

оо

В заключение отметим, что при приближенном методе рас­

чета

часто пользуются представлением теории пограничного

слоя

конечной толщины . В этом случае в уравнениях (3.4), (3.7),

(3.9), (3.11), (3.12) следует заменить бесконечный предел конеч­

ным,

например б (если под б подразумевать толщину погранич­

ного

с л о я ) .

§ 2. А В Т О М О Д Е Л Ь Н Ы Е Р Е Ш Е Н И Я

Существование подобного, или автомодельного, решения фор­

м а л ь н о

предусматривает, что

н а д л е ж а щ и м

образом

обезразме -

репная

продольная

с о с т а в л я ю щ а я скорости

—

(где

ит

—

мак-

с и м а л ь н а я

скорость

в струе) является функцией

лишь

одной

пе­

ременной

т), скомбинированной

из физических

переменных

X и

у.Мы попытаемся здесь проанализировать условия, позволяю­

щие получить автомодельные решения, на некоторых

конкрет­

ных примерах МГД - струйных течений.

 

Пользуясь уравнением неразрывности (3.2), введем

функцию

тока -ф, определяемую следующими в ы р а ж е н и я м и :

 

П р е д с т а в л е н ие функции тока в виде

 

 

4> = vq>W/(il)

 

 

 

 

(3.14)

позволяет записать

безразмерную продольную

с о с т а в л я ю щ у ю

СКОРОСТИ —

—f

ка к фуНКЦИЮ ОДНОЙ

ПеремеШЮЙ Т]= ^

Um

'

 

ч ^ — —

—

б ( х )

Здесь ит=

 

, а

б (л:) обозначает «ширину»

зоны переме­

шивания . Вычислив и, v и соответствующие производные по (3.13) и подставив результаты вычислений в (3.1), получим уравнение движения в виде

r ' + c t / / " - p / ' 2 - N 6 2 f ' = 0,

 

 

(3.15)

где

 

 

 

 

 

 

 

 

а = 6<р',

Р = б 2 ( ^ ) ,

аВ2

 

 

(3.16)

N = -

 

 

 

 

 

 

pv

 

 

 

 

(штрихи

у f означают

дифференцирование

по т], штрихи

у ос­

тальных функций — дифференцирование по х).

 

 

 

Первые попытки решения уравнения (3.15) (5—8],

естест­

венно,

следовали

методам, р а з р а б о т а н н ы м

в теории

струй

не­

проводящей жидкости,

а именно: д л я получения подобного

ре ­

шения

коэффициенты

уравнения (3.15) принимались постоян­

ными

величинами

(для пристеночного пограничного

слоя

э т о

положение д о к а з а н о Гейсом [9]), а величины <р(х) и 6(х)

пред ­

ставлялись степенными

функциями:

 

 

 

 

<р(х)=хт,

И з

— п)хп+т-1 т и п:

8(x)=kxn.

 

(3.17)

требования

постоянства a = kmxn+m~l

и p =fe(m—

вытекает

условие, с в я з ы в а ю щ е е показатели степени

га + т - 1 = 0

(3.18)

и физически означающее равенство по х порядков величин

инер­

ционных и вязких сил. Кроме того, коэффициент при магнитном

члене

в (3.15) т а к ж е д о л ж е н быть величиной

постоянной:

N 6 2 =

аВъ

k2x2n=y = const.

 

 

pv

 

 

Последнее возможно в двух случаях: п = 0 или

В = В0х-п.

 

(3.19)

Смотрите также файлы