Файл: Щербинин Э.В. Струйные течения вязкой жидкости в магнитном поле.pdf

Скачать файл (11,81Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 163

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

В первом случае, ка к будет показано ниже, решения уравнения (3.15) при соответствующих граничных условиях не существует.

Второе	условие показывает, что д л я получения подобного	реше
ния в	магнитной гидродинамике (при предположениях	(3.17))

необходимо иметь особым образом организованное внешнее маг

нитное поле Ву = Ву(х).	Физически		условие (3.19) (при л > 0 ) оз
начает, что во всех сечениях		струи х = const		инерционные,	вяз
кие и электромагнитные	силы	в	(3.1) имеют	одинаковый	поря

док. Естественно, профиль скорости перестает быть подобным (при условиях (3.17)), если порядки этих сил отличаются или, другими словами, если скорости убывания этих сил с увеличе нием расстояния от источника х различны .

Электромагнитная сила в (3.1) является величиной «управ ляемой», т. е. ее порядок в отличие от инерционных и вязких сил не определяется внутренними условиями течения (на языке тео рии подобия это означает, что в магнитной гидродинамике появ ляется дополнительный размерный параметр аВ2). Таким обра зом, первая особенность получения подобного решения в маг нитной гидродинамике состоит в том, что' электромагнитную силу необходимо привести (в указанном выше смысле) в соот ветствие с остальными силами .

П р о ф и л и р о в а н и е

магнитного

поля, однако,

не может

быть

полностью

произвольным . Т а к к а к в безындукционном

прибли

жении предполагается, что магнитное поле

создается внешними

источниками и не возмущается течением,

т. е.

индуцируемые

движением

жидкости

токи

не вносят в к л а д

в его создание

и де

формацию, то приложенное

поле в зоне течения д о л ж н о

отвечать

уравнениям

div В = 0 и rot В = 0, или

дВх

дВу

дВх

дВу

(3.20)

— — + — ^ = 0

—

= 0.

дх

ду

дх

нашем

анализе магнитное поле д о л ж н о иметь

вид

Вх

= 0,

Ву = В0х~п.

Такое

поле

допускается

уравнением

неразрывности

(первое

из

(3.20)). Ч т о касается второго

уравнения

(3.20),

то,

строго говоря, ему отвечает л и ш ь однородное поле

( л = 0 ) .

Од

нако нетрудно убедиться, что при достаточно больших

вто

рой

член

(3.20)

будет сколь угодно м а л ( п > 0 ) , та к

что

ра

венство

(3.20)

приближенно имеет

место

д л я указанного

поля .

Тем

не

менее

следует

помнить, что вид

поля

(3.19) является

все

ж е

не

более

чем

формальностью, облегчающей

получение

подобных решений.

т и п

Мы

получили

пока

л и ш ь одно

условие связи м е ж д у

(3.18).

Второе

условие,

к а к это принято в

теории

струй,

следует

из некоторого интегрального соотношения, соответствующего конкретно рассматриваемой задаче . Если рассматривается

а)

плоская затопленная струя,

в ы т е к а ю щ а я

из бесконечно

тон

кой

щели

(см. рис. 3.1), то искомым

соотношением

может

слу

жит ь уравнение

(3.4).

П о д с т а в л я я

(3.4) вместо и ее в ы р а ж е

ние через функцию тока, получим

/ Ф* V

2Nf(oo)

2у/(оо)

ф =

( 3 " 2 1 )

где

а-

Введем

(3.21)

соотношения

(3.17).

Воспользовавшись

(3.18), м о ж н о

получить

затем

второе

соотношение, связывающее

и п:

2 m - n =

2vf(oo)

(3.22

Величины

у. а и k в

(3.22), по определению,

положительны . Если

теперь п о к а з а т ь 1 , что f{°°) > 0 , то из (3.22) следует

2т — п<0,

т<—,

п>—

д л я

у > 0 ;

(3-2 3 >

2т

— п = 0,

т——,

п=—

д л я

у = 0.

Действительно,

та к ка к / ' ( 0 ) > 0

и f(0) = 0 , то из предположения

f(oo ) < 0

следовало

бы, что существует по

крайней

мере

одно

значение

r| = rii, где f

(гц) = 0 . В точке r|i имеем

/ ( ч . ) > 0 ;

Г ( л . ) = 0 ;

Г ( ч . ) < 0 .

(3.24)

С другой

стороны,

интегрируя

(3.15)

от 0 до г\\ и от 0 до оо и

имея в виду (3.24),

получаем

•л

Г ( ч . ) - ( «

+ Р)

Ґсіц-Y/(MI)=0;

(3.25)

со

- ( а Ч - р )

fr2dy]-yf(оо)=0.

(3.26)

1 Это доказательство принадлежит Юнгклаусу [7].

И с к л ю ч е н ие ( а + р ) из (3.25) с помощью (3.26) приводит к

И з предположения	f ( o o ) < 0	следует, что	f"(r[i)>0,	но это
противоречит условиям	(3.24).	Таким образом,	вторым	необхо

димым условием существования автомодельного решения при

предположениях (3.17) является				зависимость			показателей сте
пени т и п от характеристики у, связанной с магнитным											полем:
т=~-											(3.27)
В свою очередь,		магнитное поле, к а к видно					из		(3.19),		(3.27)
и определения у:
											(3.28)
д л я обеспечения автомодельное™				решения		д о л ж н о			быть		таким,
чтобы с ростом «индукции» В0				степень		убывания				его	ПО X
увеличивалась согласно (3.28).
П а й	[5], который	положил н а ч а л о дискуссии						об	МГД - струях,
						1				2
р а с с м а т р и в а л уравнение			(3.15), считая / п = - ^ - и					n =	_ g"- Естест
венно,	при таких	условиях решения			уравнения			не		существует,
на что было у к а з а н о Юнгклаусом [7] и Тоба [8].
В работах [7, 10] были			приведены		решения		уравнения				(3.15)
д л я безразмерного		профиля скорости,			однако		отсутствие				интег

рального условия не позволило авторам довести решение до ко

нечных	формул .	Д е л о	в том,	что интегральное соотношение
(3.4) показывает		л и ш ь	х а р а к т е р	изменения импульса, но не	оп
ределяет	конкретного		значения	импульса (или иную х а р а	к т е

ристику течения в одном из сечений струи), позволяющего вы разить через него все характеристики течения и, таким образом, довести з а д а ч у до конца.

Попытки в этом направлении были сделаны Стаховичем и

Соковишиным	[11], Д ж а у г а ш т и н ы м		[12], Цинобером и	Щерби
ниным [4]. М ы д а д и м		полное решение	поставленной здесь	з а д а ч и
в следующем	п а р а г р	а ф е .

Если рассматривается б) струя,

распространяющаяся

вдоль

плоской твердой

поверхности

(см. рис. 3.2),

то

второе

соотноше

ние м е ж д у т и п можно

получить из уравнения

(3.9).

П о д с т а в л я я

(3.9)

в ы р а ж е н и е

дл я

и по (3.13)

(3.14)

и при

нимая во внимание (3.17), получаем

(3m -

n) =

/ j

; — ,

(3.29)

ff'4r)

уравнение

д в и ж е н и я

(3.1)

граничные

условия

—

в виде

/'"

+ km\\"— k(m

— n)f/2—yf'

= 0;

(3.30)

/(0)=0 ,

/ ' ( 0 ) = 0 ,

/ ' ( о о ) = 0 .

(3.31)

Т а к ж е ,

ка к

это

сделал

Юнгклаус

д л я

свободной

струи,

м о ж н о показать,

что д л я получения

автомодельного

решения

за

дачи о пристеночной

струе необходимо,

чтобы

коэффициенты

и п удовлетворяли

условиям

З т — п < 0 ,

д л я

у = 0;

т<—,

п>—-

(3.32)

Зт — п = 0,

т = ~ £ >

п = = " 4 ~

л и ш ь

д л я

7 = 0

(условия

(3.32)

получены т а к ж е Моро [13]).

Действительно,

правой

части

равенства

(3.29)

все вели-

со

чины,

за

исключением,

м о ж е т

быть,

Sff'2dt],

положительны .

оо

П р е д п о л о ж и м ,

Это

возможно,

если

на

каком -

что

Sff'2dy\<0.

либо

участке

полуоси

г|

/ < 0 . , Н о

тогда д о л ж е н

существовать

хотя бы одно значение г|=т)ь

при котором

/ Ы > о ,

Пг].)=о,

Г Ы < о

(з.зз)

(из физических

соображений

f " ( 0 ) > 0 ) .

Умножим

(3.30)

на

проинтегрируем

от

до

r | i . И м е я

в виду

(3.33),

получим

•Пі

f М

= ^ / 2 ( r i i )

+Ц3т-п)

ff'2d4.

Смотрите также файлы

Акатьева С. И., Елисеева Л. А., Загидулина О. Н., Козлова Г. А., Попова С. В., Поротова С. В., Смердова Н. В., Сухорукова М. Р., Фанина О. Б.docx

3тосан бойынша айталау тест.docx

Целью данной работы является рассмотрение теорий среднего уровня и определение их места в структуре социальных знаний.docx

Вашего выступления Продукт проектной деятельности в начальной школе. Вопросы Приведите примеры разнообразных видов конечного продукта в проектной деятельности.doc

Курсовой проект 46 л., 4 рис., 12 табл., 15 источников, 1 прил.docx

Файл: Щербинин Э.В. Струйные течения вязкой жидкости в магнитном поле.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно