Файл: Щербинин Э.В. Струйные течения вязкой жидкости в магнитном поле.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 167

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

З а м е н и м в последнем равенстве Зт — п в ы р а ж е н и е м (3.29), после чего будем иметь

iii

Г-(оо) I ff'-Щ

/ М П л і ) =

у

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.34)

 

 

 

 

 

 

I

ff'dr]

 

 

 

 

 

 

 

Т а к

ка к r|i есть

первый

корень

д л я f,

то в

интервале 0—rji f > 0 ,

следовательно,

iii

 

К а к

вытекает

 

из

 

предположения

Sff'2dr\>0.

 

 

оо

 

 

 

О

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Sff/2dr\<0,

п р а в а я часть

(3.34) положительна

и

f"(r\i)>0,

что

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

противоречит последнему

из условий

(3.33).

 

 

 

 

 

И т а к , суммируя (3.18)

и (3.29),

получаем

 

 

 

 

т

 

i f ,

у / » ( о ° ) 1

„

з

г

^ ( о о )

і

 

 

 

(3.35)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а=

f

ЇЇЩ-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

О д н а к о

ограничения,

н а к л а д ы в а е м ы е

на

т

и п, этим еще не

исчерпываются . Д л я изложенного

выше

доказательства сущест­

венным является предположение

 

 

 

 

 

 

 

 

Г ( 0 ) > 0 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.36)

которое означает, что профиль скорости

д о л ж е н

быть безотрыв ­

ным

(момент отрыва определяется

равенством

f " ( 0 ) = 0 ) .

П о к а ­

ж е м ,

что, если

оставаться

в р а м к а х

расчета

безотрывного

тече­

ния, на коэффициенты т и п следует н а л о ж и т ь

ещ е ограничение

m > 0

, n <

1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.37)

Введем

преобразование

f—-

Ті

— г Ф .

т 1 = Zrt

Тогда

(3.30)

перейдет

в

 

 

 

k(m

— n)

 

 

уу

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т

ф ф " + ф ' 2 - ф ' = 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.38)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т — п

S — 2274

 

 

\ l f 2 ( o o)

 

= 2, т. е. т = 0, получим

 

 

 

 

П о л а г а я

^

 

 

уравнение

 

ф " ' + ф ' 2 _ ф ' = 0 ,

 

 

 

 

 

 

 

которое легко интегрируется при условиях

 

 

 

Ф ( 0 ) = Ф ' ( 0 ) = 0 ,

 

Ф ' ( о о ) = Ф " ( о о )

= . . .

= 0 .

 

(3.39)

Первый

интеграл

 

этого

уравнения

записывается в

виде

 

Ф"2 = ф'2

.ф'3+С

,

 

 

 

 

 

(3.40)

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

И з

условий

(3.39)

на бесконечности

следует,

что в

(3.40)

нужно положить

С = 0. Если при этом принять во внимание

усло ­

вия (3.39)

на нуле, то

о к а ж е т с я ,

что этот

случай

соответствует

нулевому

трению

на стенке Ф " ( 0 ) = 0 .

Интегрируя (3.40)

е щ е

раз, нетрудно убедиться, что условиям (3.39) отвечает триви­

альное решение

Ф = з 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т а к и м образом,

если р а с с м а т р и в а т ь безотрывные течения, т о

коэффициенты

 

т и п м о ж н о варьировать

лишь

в пределах

 

 

1

з

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.41)

0 < т < — , — < п < 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Соковишин

 

[14] получил

на Э В М решение

уравнения

 

 

№"+kxF'*+FF"=F',

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в котором функция F и переменная £ связаны

с Ф

и £ из

(3.38)

соотношениями

F,=

2т

 

Ф,

1 = 21,

а А, = -

'т — п

Р е з у л ь т а т ы

 

 

 

 

 

т — п

'

~

 

 

'

 

т

 

 

 

 

 

 

 

 

этого расчета приведены на рис. 3.3.

 

 

 

 

 

 

Вулис

и Д ж а у г а ш т и н

[15]

т а к ж е

пред­

 

 

 

 

 

ставили

численное

решение

уравнения

 

 

 

 

 

(3.30), но ограничились значениями пара ­

 

 

 

 

 

метров, при которых расход в поперечных

 

 

 

 

 

сечениях

струи

возрастает

с удалением от

 

 

 

 

 

щели. В примененном ими методе последо­

 

 

 

 

 

вательных приближений в качестве первого

 

 

 

 

 

приближения

в

(3.35) были

использованы

Рис. 3.3. Профили ско­

значения f(oo) и а, известные

из

решения

гидродинамической з а д а ч и

( N = 0);

найден ­

рости

в

пристеночной

ные

после интегрирования новые значения

струе

по

данным

ра­

/(оо)

и а

вновь

подставлялись

в (3.35) и т. д .

боты [14].

 

 

 

Следует, однако, заметить, что знание распределения функ­ ции F (или, что то ж е , / ) ещ е не решает ни одной из поставлен­

ных задач . Полное решение может быть

получено, если

будет

найдена

р а з м е р н а я постоянная k в (3.17)

по заданной характе ­

ристике

потока. К этому мы и перейдем в § 3 настоящей

главы,

где будет приведено решение в общем случае (в том числе и дл я практически важного случая однородного поперечного магнит­ ного поля) и д а н а физическая интерпретация полученных ре­ зультатов .

§ 3, О Б Щ И Й СЛУЧАЙ А В Т О М О Д Е Л Ь Н О Г О Р Е Ш Е Н И Я .

ПЛОСКАЯ СВОБОДНАЯ СТРУЯ

Е щ е Юнгклаусом [7] было высказано предположение, что степенное представление функций (р(х) и б(х) по (3.17) и коэф­ фициентов а, р и у в (3.15) в виде постоянных является, воз­ можно, не единственным, ведущим к подобным решениям. Моро 116] первым показал, что к этой цели приводит и представление а и р в виде суммы постоянного слагаемого и функции от х, про­ порциональной у. Однако такое представление вводилось сугубо •формально, а кроме того, из-за отсутствия условия сохранения Моро не удалось довести задачу д о конца. Полное решение указанной проблемы, а т а к ж е обоснование предположения М о р о было проведено в работе [4] и позднее в [17].

В настоящем п а р а г р а ф е мы приведем автомодельное реше­ ние з а д а ч и о плоской свободной струе при более общих предпо­

л о ж е н и я х

о х а р а к т е р е магнитного

поля, чем это

было

сделано

выше

(3.28). З а д а ч а

описывается

уравнениями

(3.1), (3.2), ус­

л о в и я м и

(3.4)

и v=

— = 0

при у = 0, и-+0

при z/ - v±oo .

 

К а к

и ранее, после введения функции тока будем

иметь урав ­

нение

(3.15) с

граничными

условиями д л я функции

/

 

/ ( 0 ) = / " ( 0 ) = 0 ;

П ° ° ) = 0 .

 

 

 

 

 

 

(3.42)

Используя

интегральное

соотношение

(3.4)

в

форме

(3.21),

м о ж н о

представить коэффициенты

а и р в

(3.15)

в

виде

 

б 2 ,

а*

после чего уравнение (3.15) переписывается к а к

3

. L

о

с

3

a

J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.43)

Функции ср и б пока связаны лишь одним

соотношением

(3.21). Второе

соотношение

вытекает

из требования

автомодель ­

ное™

решения,

д л я чего

в (3.43) д о л ж н о быть ( о ф ) ' = const (эту

постоянную

можно

выбрать

равной единице) . Т а к и м

о б р а з о м ,

д л я

определения

ф(лг), 8(х)

имеем систему уравнений

 

/ Ф 2

V

 

 

2Nf(oo)

 

 

 

 

 

 

Ы

 

 

=

 

 

а—

ф ;

 

 

 

 

 

(3.44)

( 6 Ф ) ' = 1 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

которая после исключения ф переходит в уравнение

д л я опреде­

ления

 

6(х):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х8'

 

 

2

 

2Nf(oo)

 

 

 

 

 

 

 

T - T

 

+

- W

±

V

-

 

 

 

 

 

( 3 ' 4 5 )

О б щ и м решением

(3.45)

является

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Dx^

 

 

 

 

 

 

6 = т

 

 

 

A t t „ \

г

 

 

™ •

 

 

 

(3-46)

В

 

уравнении

(3.43)

N6 2

является

произвольной

 

функцией х,

поэтому подобное

решение,

если оно существует,

либо

д о л ж н о

о б р а щ а т ь

в

нуль

обе части

равенства

(3.43), либо

 

д л я автомо­

дельное™

следует считать N5 2 = const.

 

 

 

 

Впервом случае имеем

Г+ 4 - Ш " + П = 0 ;

З а

З

а

и условия

(3.42).

 

Ясно, что в общем

случае одна функция не може т удовлетво-

рить двум д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы м уравнениям, однако в данной конкретной з а д а ч е это можно сделать, если

/ = f ( o

o ) t h ^ ,

 

 

 

 

 

 

(3.47).

а коэффициенты

/ ( о о ) и а

связаны

соотношением

 

2

а = - » - / 3 ( о о ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

У

Л е г к о

проверить,

что функция

(3.47)

обеспечивает

эту

необхо-1

димую

связь. Н е ограничивая

общности,

м о ж н о положить а = 1,

 

з .

 

 

 

 

 

 

 

т. е. / ( о о ) ="|/4,5.

 

 

 

 

 

 

 

Решение задачи примет

законченный

характер,

если

у д а с т с я

определить единственную постоянную D в (3.46) через заданную' характеристику струи. Выбор конкретной характеристики зави­

сит

от вида магнитного поля к а к функции х. Если магнитное

поле

однородно, т. е. 5 ( x ) = c o n s t ( N ( x ) =const) , в качестве та­

кой характеристики будет фигурировать импульс в начальном

сечении струи

(х=0):

l i m p J

 

u2dy = J0,

x-*-Q

 

 

 

ИЛИ

 

фО

 

о

г

l i m pv 2

a — = У 0 .

х-+0

 

о

 

Учитывая второе соотношение (3.44), которое м о ж н о записать и

как

ф=-^г , а т а к ж е

(3.46), которое

д л я N(x)

= const

дает

 

6 °

/

Н

Х

"

W

 

 

&

М }

 

у

1 -

LL-L ND2x'i= J

 

 

 

 

получаем

А

3

•

 

 

 

 

D=

 

 

 

 

 

 

Таким

образом,

окончательно

решение

д л я функции

тока

имеет вид

 

 

 

 

 

 

 

^ t e ^ t h

( k | ) ,

 

 

( 3 , 9 >

где б определяется

выражением (3.48).

 

 

 

 

И з

формулы (3.48) следует, что д л я к а ж д о г о

из заданных

значений магнитного поля и начального импульса существует точка на оси струи, при приближении к которой толщина струи

Смотрите также файлы