Файл: Щербинин Э.В. Струйные течения вязкой жидкости в магнитном поле.pdf

Q - p / « * - a

( « i ^ n . - N ( ^ ) V

— со

с ростом

х

возрастает

от

нуля до

максимального

значения в

/

V

\'/ (

точке А'= (3N) ~3''* I , _ ,

-

и затем

вновь убывает

до

нуля.

\4,5v 4 p 2 /

Если

проследить

за

поведением

поперечной составляющей

~о= —

dip

скорости

то окажется, что волизи сечения

торможения

струя разделяется на две струи, повернутые на

90°

относи­

тельно первоначального направления . Течение здесь

напоминает

струйное обтекание поперечно поставленной твердой

стенки.

Такое поведение струи в однородном магнитном поле объяс­

няется тем, что в р а м к а х

теории пограничного слоя на начальном

участке порядок величины вязкігх сил больше порядка

электро­

магнитных,

поэтому

струя

пока еще обладает э ж е к т п р у ю щ и м и

-свойствами. З а т е м порядки этих сил выравниваются,

э ж е к ц и я

прекращается и при дальнейшем удалении от щели

преобладаю ­

щ у ю роль начинают

играть электромагнитные силы

торможения .

уравнений (3.15), (3.16) и (3.48). Дополнительным

подтвержде­

нием могут служить результаты работ [18,

19], в которых

качест­

венно то ж е

явление — размыв струи на

конечном

расстоянии

от источника — было получено в полном

пренебрежении вяз­

кими силами .

•

Следует отметить

т а к ж е ,

что з а д а ч а

об истечении

струи

в

пространство с однородным магнитным полем

исследовалась

и

иными методами . Так,

Пескин

[20] предложил

искать

решение

д л я функции тока в виде ряда

ip =

2v'/=co:'/3 ^

(тхЦррр(г\)

,

(3.50)

р

где

•*)=-^ryv-'l*ax--b;

т =

ЗаВ02/ра2

О

| в наших

обозначениях а= ~(4,5)4>J0lbp-4iV-4t|

,. и д л я последо ­

вательных приближений получил систему уравнений

F% + F0F"0+

- ^ ' " о = 0 ;

(аналогичная

система приведена т а к ж е в [20]).

Решение

д л я

нулевого приближения совпадает

с решением

д л я непроводящей

струи, решение д л я следующего

приближения

нашли

решение д л я F{

в аналитическом виде:

Fi = - - j t h r ] ~

11

S c h 2 y ] '

а Соковишин — д л я функций F b

F2, F3,

F 4 [23].

Нетрудно,

однако,

показать

(это

было

проделано

в р а б о т е

[24]), что решения

ка к д л я

Fu

т а к

и

д л я всех

последующих

легко получаются из более общего

решения (3.49). Действи ­

тельно,

решение

(3.48),

(3.49)

в обозначениях

(3.50)

предста ­

вимо в виде

ф = 2av%'/3 ( 1 - -j

mxV* ) * th [ TJ ( 1 -

тхЪ

) А ] .

(3.51 >

Р а з л а г а я это

решение

в

р я д

по

тх'1',

получаем

в нулевом

при ­

ближении

( т х < / з = 0 )

\p = ^ / 2 a v ' % V 3 = th ц ,

в первом приближении —•

. з

д{тхЦ

тх

Чз

=

— —

(th ї) + г| sch2 ті)

и т. д .

=0

Таким

образом,

р я д

(3.50)

сходится

к

(3.51)

при

всех:

4

тхА1*<—^-.

О

Вильсон

[25] пришел

к качественно

тем ж е результатам,

чис­

ленно

решая

уравнение

в

частных

производных д л я

функции

оо

ж а ю щ е е условие

сохранения

характеристики

Su8dy

во

всех

се-

чениях

струи,

является

следствием

-00

уравне ­

д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х

ний

д в и ж е н и я

(оно

получено умножением уравнения

(3.1)

на

и 6 - 2

и

последующим

сложением с (3.2), умноженным

на

и 6

- 1 ) .

Условием

(3.53)

имеет

смысл

пользоваться,

если

1 < б ^ 2

(6 = 2

соответствует

немагнитной струе) . П р и

6 ^ 1

необходимо

з а д а в а т ь с я иной

характеристикой .

Т а к

или

иначе,

рассмотренное

решение

показывает,

что

посредством

н а л о ж е н и я

магнитного

поля

можно

у п р а в л я т ь

«формой» р а с ш и р я ю щ е й с я

струи. Н а п р и м е р ,

д л я

получения

па­

раболического

расширения

б = kxn

| / г > —|-| необходимо

прило­

ж и т ь

поле

вида

(3.19),

а

в

качестве

заданной

характеристики

можно

пользоваться

величиной QJP

|

р =

В

частности,

д л я

линейно

р а с ш и р я ю щ е й с я

струи

(п—1)

расход

Q

сохраня ­

ется

постоянным

по

всей длине струи (случай, рассмотренный

Страховичем и Соковишиным [11]).

Различные,

на первый

взгляд, формы решения

(3.46)

и

(3.17)

ется

в виде В = В0х~п

|

- | - j . П о к а ж е м

это на примере ли­

нейно

р а с ш и р я ю щ е й с я

струи. Т а к

к а к

д л я

такой

струи

расход

сохраняется

постоянным, то, подставляя

в

оо

р J

udy = Q = const

,

(3.54)

u=v

ГС") = v ~ g 2

V

и б из в ы р а ж е н и я (3.46),

переписанного

в виде

e = ,,,(C -i^)/,„N^)-"-

r « c _ ^ . i N , _ ^,

получаем, что д л я выполнения условия

(3.54) необходимо

поло­

ж и т ь

С — О. Тогда f(°o)

и а оказываются связанными соотноше-

нием

Р ( о о )

Q 2

„

— - — - = „ „ „ . . , а 8 = х, ка к и следовало ожидать .

Пола -

г ая

а

8 v 2 p 2

N 0

задачи . К тем ж е результа­

а = 1 , получаем

полное решение

т а м

приходим и при использовании

равенств

(3.17), (3.27), (3.54)