Файл: Щербинин Э.В. Струйные течения вязкой жидкости в магнитном поле.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 172

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

| 4. Н Е А В Т О М О Д Е Л Ь Н Ы Е Р Е Ш Е Н И Я .

СТРУЯ У ПЛОСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ

 

 

К сожалению, описанный в предыдущем

п а р а г р а ф е

метод по­

лучения

автомодельного

решения

путем разделения

уравнения

на два,

имеющих одно

и то ж е

решение

при любых

В = В(х),

применим к сравнительно узкому классу задач . Так, в при­ стеночных струях метод оказывается неэффективен, а. подобное

решение возможно лишь при степенном задании

магнитного

поля (3.19) с ограничениями (3.41).

 

К а к обычно в таких случаях, удовлетворительные

результаты

можно получить путем отыскания неавтомодельных решений в

виде

р а з л о ж е н и я

в р я д искомых

функций. Д л я степенного

зада ­

ния магнитного поля (3.19) с произвольным показателем

сте­

пени Акатнов

и

Е р м о л а е в а [26] предложили

(ка к и Пескин [20]

д л я

свободной струи, см. решение

(3.50))

представить

решение

в виде р а з л о ж е н и я

функции тока в р я д

 

 

 

 

 

Ир=уТ^^x»fp[i\)

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

(3.55)

 

 

 

р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y L 0

-

 

o B 0

2 l / v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х = —

У ц х Ь * я ' ' -

 

 

 

 

 

 

СО

СО

 

 

 

X

 

оо

 

оо

 

 

L 0 =

/

" ( /

иЧу)

dy +

j

х-*п

[ /

«(

/

udy) dy\

dx

 

0

 

. у

 

 

 

Р 0

 

0

 

у

 

 

 

(L0

—

интеграл

(3.9), а

запись подынтегральных в ы р а ж е н и й в

(3.55)

и

(3.9)

эквивалентна, к а к показано

в

монографии

Л о й -

цянского [3]).

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П р и

 

значениях

п < —

решение

(3.55)

представляется

рядом

по в о з р а с т а ю щ и м

степеням расстояния х,

и, следовательно,

пер­

вый член ряда дает поле скоростей вблизи источника, где влия­ ние магнитных сил ещ е мало, а последующие члены учитывают т о р м о з я щ е е влияние магнитного поля, увеличивающееся с уда -

лением от источника. П р и п > ~ характер р а з л о ж е н и я меня­ ется — решение у ж е представляется рядом по отрицательным степеням. В этом случае вблизи источника действие поля ве-

лико, но с удалением от него быстро падает, причем быстрее, чем кинетическая энергия струи. Вероятно, в этом случае на дос­ таточном удалении от источника устанавливается течение, близ­

кое

к течению в

отсутствие поля. Соответственно меняется и

роль

членов

ряда

(3.55): первый член описывает течение при

больших х,

последующие д а ю т поправки к профилю скорости

при приближении

к источнику.

Подстановка (3.55) в (3.1), (3.2), (3.13) приводит к необхо­ димости разрешения системы дифференциальных уравнений:

/ ' " і +

У " і - ( ~ - 2 п )

ГоГ. + ( " f -

2п ) Г ofІ =

Го\

.(3-56)

Г"2+

\hf"2-(2-4п)№

+ ( ~ - 4 п )

Го/2 =

 

 

 

= f\+{\-2n)f'\-[l--2n)fxf"x

и т.

д.

 

при граничных условиях {р = 0, 1,2 ... )

fp = f'p = 0 при г| = 0 ;

/ ' р = 0

при

Т) =

о о .

 

 

 

 

Кроме

того, решение д о л ж н о

подчиняться

системе интеграль ­

ных

соотношений

 

 

 

 

 

со

 

 

со

 

 

 

 

 

/ f o f ' 2 o ^

= l ,

/

( M'2 o + 2/ofo/'i+

з А ^ о Г о

Ц

= 0 ;

О

 

 

О

 

 

 

 

 

со

 

 

 

 

 

 

 

 

/ [

f2// 2 o + 2// o/,f/ 1 +

2 / ' 0 y ' 2 + / o / ' 2

i +

(Гofi +їоГі)

] * i = 0 .

Первое уравнение системы (3.56) есть хорошо известное урав ­ нение Акатнова [2], полученное им д л я немагнитной пристеноч­ ной струи. Решения д л я fi и / 2 были найдены в работе [26] д л я случая однородного магнитного поля (п = 0) путем численного

интегрирования. Г р а ф и к и функций

/'і(л)

и

/'2(11).

посредством

которых определяется скорость и = "

| /

_

^

(х) pf'p

(т|),

пред­

ставлены на рис. 3.4, заимствованном

из

той ж е

работы.

Впо­

следствии расчеты по приведенной схеме были продолжены в ра­

боте [27], где с учетом

членов до fi

включительно найдено

выра­

жение д л я н а п р я ж е н и я

трения:

 

 

т и = xwLQ-WW<p

-1 = 0,221 - 0,6243х% + 0,2547х 3 +

 

+ 0,0887*»'»+0.0703*6 ; T10

ди

(3.57)

= vp .

 

 

 

ду у=о

 

Рис.

3.4. Вид функций f\, f'2 в решении для продоль­

ной

скорости в пристеночной струе (по дан­

ным [26]).

Однако,

ка к у к а з а н о

в работе [27], если представление реше­

ния в виде

р я д а (3.55)

дает удовлетворительные результаты

д л я расчета трения на стенке (суммирование слабо сходящегося

ряда

(3.57)

д а е т

почти полное

совпадение

с точным

значением,

полученным

при

прямом интегрировании

исходных

уравнений

д в и ж е н и я (см. рис. 3.6, кривая

9)),

то

расчет

профиля

скорости

не представляется

возможным

из-за

того,

что функции f'p(r\)

при

больших р

не

обеспечивают

сходимости

ряда

в

в ы р а ж е ­

нии д л я и.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В

связи

с этим

предпринимались попытки

прямого

интегри­

рования уравнений (3.1), (3.2) на вычислительной машине после предварительных преобразований, приводящих уравнения дви­

жения к

виду,

удобному

д л я

машинного счета. Д л я этого в ра­

боте [27]

была

введена

функция тока, отличающаяся от (3.14)

тем, что / считается функцией

у ж е не только переменной

т), ском­

бинированной из у и х,

но и функцией непосредственно

коорди­

наты х:

 

 

 

 

 

Ч» (*. У) = fvlo*/ (х, г|) ;

т) = у

] / - ^ - .

 

Если теперь дополнительно ввести безразмерную координату

х по (3.55) и положить магнитное поле однородным (>г = 0) то уравнения (3.1), (3.2) перейдут в уравнение

дцз ^ 2 1 дц2

дц дхдц

дух. дпц2 І

г?пдц

 

 

 

(3.58)

которое предельным переходом х - Я ) преобразуется в уравнение

Акатнова д л я непроводящей

струи [2].

 

 

Р е з у л ь т а т ы

расчета

уравнения

(3.58)

на Э В М д л я профиля

 

 

 

 

 

і

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(U

\ ~7

 

 

 

 

трения xw в зависимости

скорости

и = «

1 —

1 -

и н а п р я ж е н и я

от

п а р а м е т р а х

приведены

на рис. 3.5 и

3.6. К а к следует из ри­

сунков, увеличение х приводит к

 

размыву

профиля

скорости,

росту

 

толщины

пограничного

слоя

и

 

уменьшению

трения

на

 

стенке,

 

причем

трение

становится

 

равным

 

нулю

при х т р = 0 , 6 .

Таким

образом,

 

к а к

и

в

з а д а ч е

о свободной

струе

 

(§

3) ,

решение

задачи

о пристеноч-

 

Рис. 3.5. Профили скорости в пристеночной струе согласно точному решению [27].

Пунктиром показаны прибли­ женные профили (см. гл. IV, п. 2.2).

Рис. 3.6. Распределение напря­ жения трения на стенке. Кривая 9 — точное решение [27]. Обозначения остальных кривых — в гл. IV, §• 3.

ной струе обнаруживает наличие сечения торможения,

в кото­

ром

продольное течение полностью прекращается . Те ж е

числен­

ные

расчеты [27] показали,

что вблизи

этого сечения резко воз-

 

 

д2и

 

 

 

 

 

растает

величина -д^, в

связи

с чем

результаты,

полученные

вблизи

сечения т о р м о ж е н и я на

основе

уравнений

пограничного

слоя, теряют силу.

 

 

 

 

 

§5. ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ТЕЧЕНИЯ.

РА Д И А Л Ь Н О - Щ Е Л Е В А Я ЗАКРУЧЕННАЯ СТРУЯ

Метод,

примененный

в

§ 3

к задаче

о

плоской

свободной

струе, с успехом может быть

применен и д л я

радиально - щелевой

струи (рис. 3.7), имеющей в общем

случае все три

 

составляющие

 

 

 

скорости (закрученная

 

струя) [4,28].

 

 

 

И з

системы

 

уравнений,

описываю ­

 

 

 

щей

в цилиндрических

 

координатах

 

 

 

такого

рода

струйные

течения,

 

 

 

ди

 

ди

 

w°~ _

 

дЧ

аВ2

 

 

 

дх

 

ду

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dw

 

dw

+

uw

 

 

 

d2w

 

 

 

 

дх

+ v—

х

— V-

Jy~*~

 

 

 

 

ду

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<sB2

 

 

 

 

 

(3.59)

Рис. 3.7. Схема радиально-ще­

 

 

 

 

• до;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

левой закрученной струи.

 

дхи

 

dxv

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

=

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дх

ду

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

„

ди

 

dw

 

 

 

 

І/ = 0, и =

с помощью

граничных

условии

^ - = у = — = 0

 

П

Р И

= w = 0 при у-*-±оо м о ж н о получить следующие интегральные соотношения, в ы р а ж а ю щ и е соответственно изменение количе­ ства движения и момента количества д в и ж е н и я в проекции на радиальное направление струи:

—— / xu2dy=

/

w2dy

 

/

xudy ;

(3.60)

dxJ

J

 

 

о ->

 

 

 

uwdy= —

oB2

j

x2wdy.

 

(3.61)

~difx:

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Наличие

двух

интегральных

соотношений (3.60),

(3.61),

от­

р а ж а ю щ и х

наличие

двух

характерных параметров

струи,

вы­

нуждает искать решение задачи в виде ряда по степеням некоторого малого параметра . В качестве п а р а м е т р а выберем

Смотрите также файлы