Файл: Щербинин Э.В. Струйные течения вязкой жидкости в магнитном поле.pdf

связи

м е ж д у

gi.

(gi +

g2)a=g3b-N62c;

(g2+gj

+ gs)d=-N82k

;

N6 2

(3.64)

л

'

{g\+gb)m = g6n

—Р

'

{g9+gu

+ gi2)l+{g2

+ g8 +

g\o)q=-N8Vi.

Здесь

ся

СО

CO

а= / / ' V r , ,

b = / Ф , 2 й ( г ] ,

с= j

f \ d 4 ,

—со

—со

—со

ОО

ОО

ОО

00

d= J

/'іфігіт) , k= J

фігіт],

m=

j

f'if'2dy],

n=

J ф і ф 2 Л п ,

p= ff'2dr),

9= J

/']ф2 гіт|,

/ =

f

р2Ч>\Лч],

li=

f <p2df).

—CO

—OO

—CO

—CO

В р я д а х

(3.62)

пять

неизвестных функций

арі, г|)2, wu

w2

и б

связаны лишь д в у м я интегродифференциальными

связями

(3.60),

(3.61). Таким образом,

для

их определения мы

д о л ж н ы

ные, но

приводящие (3.63)

к обыкновенным

д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы м

уравнениям . После

этого

уравнения (3.64) позволят найти две

оставшиеся

функции

и

соотношения

м е ж д у

постоянными

а,

Ь, ...

, п.

З а п и ш е м g,

и g2 в виде g{ =

1 - Н

-g&

— —

и g2 =

=

1 - М

— g& l - g -

— I I

и

примем д л я автомодельности

решения

obi

1. П о л а г а я ,

кроме

того,

g 3 =

= 1 ,

получим

1p!=X2,

Wi=X.

(3.65)

З а м е т и м

далее,

что с учетом

(3.65) можно

получить £ є= —— •

gl2

Т а к как

д л я приведения

(3.63)

к обыкновенным

уравнениям

функции

gi д о л ж н ы иметь

форму

g i = a i + | 3 i N 6 2 (a,,

Pi — const),

то последнее Означает, что g6 и gi2

могут быть

лишь

констан­

тами. П о л а г а я g6 = g i 2 = l ,

получаем

гр2 = х ш 2 .

В

итоге

имеем

gl=g7

= g9=\

— ,

g 2

= 2

—,

gs = gs =

о

о

,

x83(w2Y

б 2

ixw2\

Первое

из условий (3.64)

дает

4 - l - k

+

- k w

:

:

( 3 - 6 6 )

Если

теперь

воспользуемся

соотношением

(3.66) во втором ус­

ловии

(3.64), то придем к

выводу, что д о л ж н ы выполняться

ра­

венства

(l

+ &)d = 0,

cd=k.

Т а к как, по

определению,

Ь^О,

то

последние

равенства

удовлетворяются

при d = 0 и k — Q.

П р е ж д е

чем переходить

к решению системы (3.63), покажем,

что <рі =

0.

С

этой целью

подставим

(3.66)

в третье

уравнение

(3.63): 26

(

Ь \

1

2

с

Ф / і / і - 2 / / і ф 1 + - ^ - Ф і = 0 .

. . .

/

За

/"

dn\

Решением

этого

уравнения является

ф і = Л р і ехр ^— —

J

т. е. <pi всюду имеет постоянный

знак. Поскольку,

однако,

при

со

этом

/г= Тфігіт) = 0, приходим к заключению, что ф ^ О .

Отсюда

—со

Ь = п = 1 = 0.

В

результате

интегральные

соотношения

(3.64)

перейдут

в уравнения д л я определения 8(х)

и

ш2(х):

^ = 1

+ J L N 6 2

;

6

6

а

(3.67)

w2

4

За

q і

а уравнения

(3.63) д л я функций ft

и <рг — в

/ " ' i + / ' 2 i + / i r i = N 6 2 ( / ' , - j^f'2i+

;

(3.68)

<p"2 + fi(p'2 +

ri92 = N 6 2 [

- Ф 2 +

- ^ ) / ' i < P 2 -

- ^ - ^ Ф ' а ] .

Р е ш е н и я м и (3.68)

при произвольных N 6 2

являются выра ­

жения

(3.69)

» гъ

h

12

(3.70)

a J '

-

q

= — •

;12

с2

Л е г к о

проверить, что

функции

(3.69)

обеспечивают

необхо-

(3.70). П о л о ж и м a—l,

q=l,

з

з

д и м у ю

связь

тогда

с = у і 2 ,

/г="|/12,

3

1

,

а

общие

решения (3.67)

при N = const

запишутся к а к

£

с

х

6 =

і

л 2

3

(3.71)

w2--

А2х

Поставленная з а д а ч а будет решена, если постоянные

интег­

рирования

Л] и Лг в (3.71) выразить

через з а д а н н ы е характе ­

ристики

течения.

Если

ограничиться

первым приближением в