Файл: Щербинин Э.В. Струйные течения вязкой жидкости в магнитном поле.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 175
Скачиваний: 0
учете второго |
и |
третьего |
приближений |
(/2 и / з ) , то в качестве |
|
характеристик |
течения можно выбрать |
з а д а н н ы е в начале коор |
|||
динат радиальный |
импульс |
|
|||
/ о = l i m 2прх |
J |
u2dy |
|
|
|
и момент количества д в и ж е н и я |
|
||||
|
оо |
|
|
|
|
£ о = П т 2ярл:2 |
/ |
|
uwdy, |
|
|
.т->-0 |
|
|
|
|
|
откуда следует А,= |
( ^ 2 ) |
, А 3 - £ . |
|
||
Таким образом, окончательно в первом приближении ско рости определяются в ы р а ж е н и я м и :
vc2 |
х |
1 |
8 |
б 2 |
СП . |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
ch2 |
П р и ш = 0 ( L o = 0) получаем решение д л я незакрученной радиальио - щелевой струи. Анализ решения показывает, что теория пограничного слоя предсказывает полный р а з м ы в струи в сече
нии |
х= |
В |
заключение отметим, что з а д а ч а о закрученной радиально - |
щелевой струе п р и н а д л е ж и т к классу точных решений, рассмот
ренному в главе |
I I , однако при том условии, что магнитное |
поле |
||
определяется одним из в ы р а ж е н и й |
(2.90), |
(2.91); при однород |
||
ном поперечном |
магнитном поле |
з а д а ч а |
не описывается |
этим |
классом решений. |
|
|
|
|
§ 6. СТРУИ С ПЕРЕМЕННОЙ |
ПРОВОДИМОСТЬЮ |
|
|||
П р и в е д е н н ые выше результаты легко |
поддаются |
обобщению |
|||
в случае произвольно |
заданного |
комплекса N как функции |
от х. |
||
П р и этом, поскольку |
в безындукционном |
приближении проводи |
|||
мость а и магнитное |
поле В входят в уравнения движения |
лишь |
|||
|
|
|
аВ2 |
|
|
в комбинации аВ2, задачу с переменным |
N(x) = |
можно |
трак |
||
товать и как описывающую движение жидкости с постоянной проводимостью в неоднородном магнитном поле (именно, так и трактовались задачи в предыдущих п а р а г р а ф а х ) , и как описы в а ю щ у ю движение жидкости с проводимостью, зависящей от х, в однородном магнитном поле. Конечно, возможна и трактовка комбинированного варианта, а именно с неоднородной проводи мостью в неоднородном поле.
Таким образом, мы у ж е имели примеры струй с переменной
проводимостью. В связи с проблемами |
истечения в |
пространство |
|||||||||||
с низкой температурой сильно нагретых струй |
(так |
что |
они |
ста |
|||||||||
новятся |
проводящими) |
и, наоборот, холодных |
струй |
в |
проводя |
||||||||
щую среду представляет интерес рассмотрение |
возможности |
||||||||||||
расчета |
струй |
с существенно |
неоднородной |
(по |
обеим |
координа |
|||||||
там) |
проводимостью. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Проводимость |
среды |
может зависеть |
от |
многих |
факторов . |
||||||||
Не в д а в а я с ь |
в подробности |
этого вопроса, отметим |
лишь, |
что |
|||||||||
если |
проводимость |
является |
функцией |
только |
температуры, |
то |
|||||||
з а д а ч а |
существенно усложняется, т а к |
как |
уравнения |
|
движения |
||||||||
и теплообмена |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ди |
|
ди |
д2и |
а(Т)В2 |
|
|
|
|
|
|
/ 0 |
|
|
£ • |
+ £ • - |
0 ; |
|
|
|
|
(3.73) |
дх |
ду |
|
|
|
|
|
|
/ |
дТ |
дТ \ |
X д*Т |
I ди \ 2 |
vma2B2 |
„ |
/ о _ ч |
оказываются существенно связанными, в отличие, например, от
случая |
однородной |
проводимости, |
когда поле |
скоростей (урав |
|
нения |
(3.72), (3.73)) |
определяется |
независимо |
от поля темпера |
|
тур (уравнение |
(3.74)). Однако д а ж е в этом случае необходимо |
||||
знание функции |
а(Т). |
|
|
||
В целях упрощения а н а л и з а примем, что проводимость струи линейно связана с продольной составляющей скорости [29, 30]:
0 = о ь " ; |
|
|
|
|
(3.75) |
0 = o o ( l - — |
)• |
|
|
(3.76) |
|
Тогда поле скоростей в (3.72) все еще будет определяться не |
|||||
зависимо от поля температур . В то ж е |
время в ы р а ж е н и я |
(3.75) |
|||
и (3.76) |
качественно правильно характеризуют поведение про |
||||
водимости по мере развития струи. |
|
|
|||
Рассмотри м |
д л я примера |
истечение |
плоской свободной про |
||
водящей |
струи |
в непроводящую среду. |
Ясно, что проводимость |
||
д о л ж н а |
иметь |
максимальное |
значение |
на оси струи и |
умень |
шаться до нуля по мере удаления от нее. К р о м е того, по мере развития струи происходит перемешивание ее с о к р у ж а ю щ е й непроводящей средой, т а к что с ростом х проводимость д о л ж н а уменьшаться . И м е н н о таким образом и ведет себя продольная компонента скорости; соответственно проводимость м о ж н о опи
сать приближенным равенством (3.75). Аналогично |
и в ы р а ж е |
|||||
ние (3.76) м о ж н о трактовать ка к изменение проводимости |
в зоне |
|||||
перемешивания |
непроводящей струи |
с проводящей |
средой. |
|||
С использованием (3.75) уравнения движения и неразрыв |
||||||
ности запишутся |
к а к |
|
|
|
|
|
ди |
да |
д^и |
ооВ2 . |
|
|
|
и — + v — = v — |
и2; |
|
|
|
||
ох |
ду |
ду2 |
р |
|
|
(3.77) |
|
|
|
|
|
|
|
дх |
ду |
|
|
|
|
|
Д л я |
плоской |
свободной затопленной струи уравнения |
(3.77) |
|||
д о л ж н ы |
быть решены при граничных |
условиях |
|
|
||
—— = и = 0 при |
у = 0 ; |
|
|
|
|
|
д у |
|
|
- |
|
|
(3.78) |
и-+0 |
при |
г / - > ± о о |
|
|
|
|
и интегральном |
условии |
о0В? |
|
|
|
|
у N= |
|
|
|
|||
оо |
|
оо |
|
|
|
|
dx j u2dy=-N(x) |
j u2dy, |
полученном после |
интегрирования (3.77) по |
поперечному сече |
нию струи, которое можно еще записать ка к |
|
|
оо |
х |
|
7 = р f u*dy = J0exp |
( - / N(jt)djc) . |
(3.79) |
В (3.79) J0 играет роль импульса, заданного в начальном се чении струи х = 0. Если теперь, ка к обычно, ввести, согласно уравнению неразрывности, функцию тока
гр = |
v V (х) f ( — | — |
) = л>Ф (А') / ( п ) , |
|
|
|
|
б(х) |
|
|
то |
(3.77) и |
(3.79) |
д л я N(x) = const = N перейдут |
в |
Г + ф Ж - |
( ф ' в - ф б ' + Ы Ф б ) Г 2 = 0 ; |
(3.80) |
||
|
e x p ( - N * ) , |
(3.81) |
||
бр
а граничные условия |
(3.78) — в f ( 0 ) = 0 , |
Г ( 0 ) = 0 , f ( ± o o ) = 0 . |
||||||
Д л я |
получения автомодельного решения в (3.80) следует по |
|||||||
л о ж и т ь |
(а, В — const) |
|
|
|
|
|
||
ф'6 = а; |
ф ' б - ф б ' + И ф б - р . |
|
|
|
(3.82) |
|||
Решение |
д л я функций |
ф и б легко получить из |
(3.81) |
и |
первого |
|||
уравнения системы |
(3.82): |
|
|
|
|
|||
- ( С - £ ' Г = - Т ( С - Т И " ' |
|
|
|
( 3 ' 8 3 > |
||||
где характеристика |
/ |
определена в ы ш е |
(см. (3.79)). |
Подста |
||||
новка в ы р а ж е н и й |
(3.83) во второе уравнение |
(3.82) |
приводит |
|||||
к следующей связи между а и р: а = — (5. |
|
|
|
|
||||
Н е ограничивая |
общности, м о ж н о положить а = ^ |
. Тогда з а |
||||||
дача сводится к решению уравнения |
|
|
|
|
||||
совпадающего с |
уравнением д л я струи с |
однородной |
|
проводи |
||||
мостью |
(см. § 3) |
и имеющему то ж е решение (3.47). |
|
|
||||
"5 2 3 4 J
Рис. 3.8. Характеристики свободной затопленной струи с проводимостью, заданной в виде ст=0о":
Рис. 3.9. Зависимость безразмерного расхода в струе (ст=сГо«) от комп лекса х при различных N0 .
Д л я окончательного |
решения |
з а д а ч и |
|
остается |
определить |
||
постоянную интегрирования С в |
(3.83). |
Ее можно |
определить |
||||
из очевидного |
условия: «толщина струи» 6 = |
0 при х->-0. Это |
д а е т |
||||
Г — |
|
|
|
|
|
|
|
С р а в н и в а я |
полученное |
решение |
(3.83) |
с |
(3.46), |
можно |
заме |
тить, что толщина зоны перемешивания струи с переменной про
водимостью экспоненциально растет |
с увеличением |
расстояния |
х от источника (рис. 3.8), в то время |
ка к в струе с |
однородной |
проводимостью толщина струи стремится к бесконечности на ко нечном расстоянии от источника.
оо
Секундный объемный расход Q = J udy через сечение струи
р а в е н
•л
Np
= 2 (4,5) 'AvNo-'A(1 - e-N^) '/з=2 (4,5) 'AvQ,
где |
. . . |
_ x |
, |
l=- |
pv2 |
N0 = Nl, |
x=—, |
|
Jo |
||
|
|
l |
|
|
Отсюда следует, что с ростом х расход растет, асимптоти чески п р и б л и ж а я с ь к постоянному значению, тем меньшему, чем больше N 0 (рис. 3.9). Это означает, что магнитное поле является э ф ф е к т и в н ы м инструментом д л я управления расходом в струе.
