Файл: Щербинин Э.В. Струйные течения вязкой жидкости в магнитном поле.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 174
Скачиваний: 0
П ри представлении проводимости в виде (3.76) в работе [30] получено решение для 6, неявно зависящее от i n N :
Сх = |
18- f Г In |
(72 — А,) % + У2 А.1'- (72 — 7.) V* + |
X * |
|
|||
|
. |
. |
І2(72-К)^ |
І |
|
|
|
|
+ 2 a r c t g |
I > - ( |
7 2 - , ) * I ' |
|
|
||
|
N5 2 |
/ |
8У2~" У'"- |
N 3 V V ! |
|
|
|
г д е Я = — , |
С = ( - ^ | - ) |
= № < С , . |
|
||||
|
V |
» о |
' |
Jo' 2 |
|
|
|
На рис. 3.10 представлен |
характер изменения осевой ско |
||||||
рости |
« = « m C i / ' / ! v ~ ' / j = N0 '/ t A,""'/ 4 (72 — л-)1'» и «толщины струи» |
б по |
|||||
мере |
развития |
струи |
при |
различных значениях |
No = N / 2 v _ 1 . |
К а к |
видно из рисунка, рост магнитного поля приводит к уменьшению
эффективной |
зоны |
перемешивания |
и |
осевой скорости |
в |
струе, |
|||
причем у ж е |
на конечном |
расстоянии |
от |
источника струя |
прекра |
||||
щает |
свое существование |
( u m = 0 ) . Уменьшение зоны перемеши |
|||||||
вания |
.объясняется |
электромагнитным |
торможением |
у |
краев |
||||
струи (максимум электромагнитной силы имеет место в точке |
г\т, |
||||||||
где У (тіш) = 0 , 5 ) . З а м е т и м |
т а к ж е , что |
в точке Х = 36 изменяется |
и |
направление поперечной составляющей скорости и, т. е. за этой точ кой начинается процесс вытеснения жидкости из зоны перемеши вания, соответственно начинает падать и расход в струе (рис. 3.11).
Аналогичный подход был применен в работе [31] д л я анализа распространения струи с переменной проводимостью вдоль плос
кой поверхности и радиально - щелевой закрученной |
струи. |
|
|||||||||
Е р м о л а е в а и Соковишин |
[32] представили |
численное |
решение |
||||||||
задачи |
о |
плоской |
струе |
у |
твердой стенки, |
полагая, что имеет |
|||||
место |
степенная |
зависимость |
проводимости |
от температуры: |
|||||||
о |
|
|
А=10-г-13. |
|
|
|
|
|
|
||
а, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так |
ж е |
ка к и в работе |
[31] при задании |
а |
в виде |
(3.76), |
чис |
||||
ленное |
решение полной системы (3.72), (3.74) |
с указанным |
выше |
||||||||
степенным |
законом показывает |
наличие |
сечения |
торможения, |
|||||||
в котором струя полностью смешивается с о к р у ж а ю щ е й |
средой, |
||||||||||
причем |
смешение происходит тем быстрее, чем выше |
темпера |
|||||||||
тура стенки и чем больше |
показатель k в степенном |
законе. |
|
IV. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА
ПЛОСКОГО СТРУЙНОГО МГД-ПОГРАНИЧНОГО
с л о я
М а т е р и а л предыдущих глав является иллюстрацией того по ложения, что в,магнитной гидродинамике возможности изучения явлений путем представления .их в автомодельной форме весьма ограничены. Объясняется это тем, что вместе с появлением но вого члена в уравнении д в и ж е н и я появляется и новый харак -
оВ2
терныи параметр |
, величина которого определяет порядок |
величины электромагнитной силы и, вообще говоря, является произвольной. Таким образом, чтобы перейти к автомодельному решению, мы вынуждены либо привести в соответствие порядок электромагнитной силы с вязкими и инерционными силами, что достигается обычно путем введения особым образом организо ванного магнитного поля (часто нереализуемого), либо ограни читься констатацией того факта, что в реальных полях подоб ного решения не существует.
Численное |
ж |
е |
интегрирование дифференциальных |
уравнений |
|
движения очень |
|
трудоемко |
и требует значительных |
з а т р а т вре |
|
мени. П р а в д а , |
|
с |
развитием |
вычислительной техники |
последняя |
трудность постепенно снимается, но на настоящем этапе мы еще
далеки |
от |
возможности получения |
на Э В М любого интересую |
|
щего нас |
решения. |
|
|
|
В этой связи особый интерес приобретают приближенные ме |
||||
тоды |
расчета, позволяющие сравнительно быстро, хотя и не |
|||
всегда |
достаточно |
точно, получать |
те или иные закономерности |
|
рассматриваемого |
явления . |
|
Гидродинамика непроводящей жидкости располагает сейчас мощным аппаратом приближенных методов расчета уравнений
пограничного |
слоя, основой |
которых послужили |
работы |
К а р м а н а и |
Польгаузена [ 1 , 2]. |
Не останавливаясь |
детально |
на описании |
этих методов, обзоры которых можно найти в |
||
монографиях |
Лойцянского [3, 4] и |
Шлихтинга [5], у к а ж е м |
лишь, |
что в основном они относятся к |
расчету пограничных |
слоев, |
в о з н и к а ю щ их |
при обтекании |
тел. |
Л и ш ь сравнительно |
недавно |
|
в работах Клиентова |
[6, 7] |
интегральный метод был |
применен |
||
д л я расчета струйных |
пограничных |
слоев. |
|
||
Несмотря |
на общность идейных |
посылок, применение интег |
рального метода для анализа струй имеет свои особенности в
сравнении с з а д |
а ч а м и обтекания. |
Д л я |
выявления |
этих особен |
ностей напомним |
в общих чертах |
суть |
метода К а р м а н а — П о л ь - |
|
гаузена в з а д а ч а х обтекания. Идея |
метода состоит |
в замене точ |
ного распределения скорости в пограничном слое некоторым приближенным . Приближенной функцией может служить много член, где в качестве переменной взято отношение поперечной ко ординаты у к условной толщине пограничного слоя б, коэф
фициенты |
которого |
находятся |
из |
соответствия |
приближенного |
|||||||
распределения |
скорости граничным |
условиям, |
в том |
числе |
и вы |
|||||||
т е к а ю щ и м |
из |
уравнения |
движения . Д а л е е |
в |
расчет |
вводится |
||||||
ф о р м п а р а м е т р |
л = |
, |
куда |
входит |
и з в е с т н а я |
из |
потен- |
|||||
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
циального обтекания величина - ^ — |
(и |
— скорость |
на |
внешней |
||||||||
границе пограничного с л о я ) , после |
чего |
К определяется |
из |
урав |
||||||||
нения импульсов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Д а л ь н е й ш е е |
развитие |
однопараметрического |
метода |
(замена |
неопределенной величины б более определенной б** — толщи ной потери импульса) позволило свести к минимуму влияние выбора того или иного конкретного профиля скорости на точ
ность расчета. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
В з а д а ч а х |
струйного |
|
пограничного |
слоя |
в приближенный |
||||||||||||
профиль |
скорости |
т а к ж е |
можно |
ввести |
|
производную |
скорости |
||||||||||
dUm |
|
|
|
|
|
і |
|
|
|
|
» |
|
w ' m 6 2 |
, |
|
|
|
н о |
н |
а э т о т |
Р а з |
в |
ф о р м п а р а м е т р е Х= |
—— |
и т |
— |
принци |
||||||||
пиально |
|
н е и з в е с т н а я |
|
функция, |
имеющая, |
например, |
для |
||||||||||
свободной |
затопленной |
струи |
смысл |
максимальной |
скорости |
на |
|||||||||||
оси струи. |
Таким образом, |
здесь |
мы |
имеем две |
п о д л е ж а щ и е |
оп |
|||||||||||
ределению |
функции |
8(х) |
|
и |
ит{х), |
для нахождения |
которых |
не |
|||||||||
обходимо |
привлечь два уравнения. Одним из них м о ж е т |
служить |
|||||||||||||||
уравнение |
импульсов, |
вторым |
(в |
принципе) — |
соотношение |
К = |
|||||||||||
•= |
. Поясним это |
на |
примере |
плоской |
затопленной |
непрово- |
|||||||||||
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д я щ е й струи. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пусть |
профиль |
|
скорости |
|
в |
струе |
з а д а н |
выражением |
|||||||||
u — umf(r\), |
где Ї І = щ - , |
а функция f(r\) |
удовлетворяет |
условиям |
|||||||||||||
/ ( ± 1 ) = 0 , |
П ± 1 ) = 0 , |
П 0 ) = 0 , |
/(0) |
= 1, |
Г ( 0 ) = А , |
Эти |
условия |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д |
и |
а |
|
|
, с |
ди |
. |
|
|
следуют |
из граничных |
условии |
ы = -щ^ = 0 при |
(/= ± 6 , |
~щ=^ |
|
П Р И |
|||||||||||||
у = 0 |
и |
« = u m (;t ) |
при |
у = 0 |
соответственно. |
Последнее |
условие |
|||||||||||||
вытекает из рассмотрения уравнения д в и ж е н и я |
(3.1) |
на |
|
оси |
||||||||||||||||
струи у = 0. К р о м е того, необходимо |
привлечь |
|
уравнение |
импуль- |
||||||||||||||||
|
|
+б |
u2dy = J, которое дает |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
сов р J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
ра(К) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.1) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- і |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Соотношение |
(4.1) |
вместе |
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
6 2 ^ L = |
v |
K |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 4 . 2 ) |
|||
|
ах |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
решает |
поставленную |
задачу, |
если |
известно |
значение |
К. |
|
П р и |
||||||||||||
A = const |
(а это |
предположение |
оправдывается |
тем, |
что точное |
|||||||||||||||
решение |
Шлихтинга |
дает постоянную кривизну профиля f"(0) =к |
||||||||||||||||||
в |
точке |
у — О) система |
(4.1), |
(4.2) |
легко |
разрешима, |
а |
величину |
||||||||||||
К |
можно |
найти |
затем |
из |
соответствия |
полученного |
в ы р а ж е н и я |
|||||||||||||
(например, д л я иш) |
точному |
значению. Если |
|
ж е |
точное |
решение |
||||||||||||||
неизвестно, но все еще A.=const, то количественные |
результаты |
|||||||||||||||||||
будут существенно зависеть от выбора приближенного |
профиля |
|||||||||||||||||||
скорости, |
точнее |
— |
|
от кривизны этого профиля в |
точке |
г/ = 0. |
||||||||||||||
В |
этом |
случае, как |
и |
при |
A ^ c o n s t , необходимо привлечь |
|
еще |
|||||||||||||
одно уравнение, связывающе е |
б и |
ит. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
П р и б л и ж е н н ы е методы расчета МГД - пограничного слоя пока |
|||||||||||||||||||
еще |
не |
достигли |
той |
степени |
|
совершенства, |
которая |
характерн а |
||||||||||||
д л я |
гидродинамики, |
тем |
не |
|
менее |
предмет |
|
обсуждения |
имеет |
|||||||||||
у ж е достаточно обширную литературу |
(см. работу [8] |
и приве |
||||||||||||||||||
денную в ней б и б л и о г р а ф и ю ) , в основном посвященную |
исследо |
|||||||||||||||||||
ваниям |
течений в МГД - пограничном |
слое на |
пластине |
и на |
входе |
в трубу. М ы не будем останавливаться на этих вопросах, а пе рейдем к рассмотрению приближенных методов расчета струй ного М Г Д - с л о я .
К а к обычно, в приближенном расчете мы д о л ж н ы отказаться от локального соответствия приближенного решения уравнениям движения . Однако при этом интегральные характеристики тече
ния (например, |
трение) д о л ж н ы , во-первых, |
удовлетворительно |
совпадать с |
экспериментальными данными |
(если т а к о в ы е |