Файл: Щербинин Э.В. Струйные течения вязкой жидкости в магнитном поле.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 178

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

имеются) или с характеристиками, полученными из. точного ана­ литического или численного решения, либо, когда последних не существует, из решений для некоторых предельных случаев; вовторых, использование различных, но физически разумных рас­

пределений скоростей

д о л ж н о приводить

к качественно подоб­

ным

результатам .

 

 

В

качестве примера

будут рассмотрены

плоская затопленная

струя и струя у плоской непроницаемой поверхности в безындук­ ционном приближении . Д л я этих двух случаев течения имеются точные решения (см. главу I I I ) , что позволяет провести срав ­ нение с ними результатов, получаемых при приближенном за ­ дании профилей скорости.

К а к и при расчете немагнитного пограничного слоя, расчет МГД - пограничного слоя можно вести, пользуясь либо представ­ лением о конечной толщине слоя, либо представлением об асим­

птотическом х а р а к т е р е

слоя.

В последнем случае появляется

возможность выбирать в качестве профиля скорости

профиль,

известный

из решения

соответствующей немагнитной

задачи,

что, в свою очередь, позволяет

удовлетворительно описать (при

некоторых

ограничениях)

и локальное распределение

скоростей

в слое. Эта возможность, однако, ограничена теми случаями, когда точное аналитическое решение немагнитной задачи из­ вестно, что само по себе случается весьма редко.

§ 1. М Е Т О Д К О Н Е Ч Н О Й Т О Л Щ И Н Ы

1.1. ПЛОСКАЯ З А Т О П Л Е Н Н А Я СТРУЯ

Представим профиль скорости в плоской затопленной струе

(см. рис. 3.2) в виде конечного ряда по степеням ц = ~ , где

8(х) — условная толщина пограничного слоя (ширина струи):

71

(4.3)

а величину ит(х) определим ка к максимальную скорость на оси струи. Та к к а к профиль скорости д о л ж е н быть симметричным, в ряде (4.3) следует ограничиться четными степенями т|. Коэф ­ фициенты р я д а найдем, подчинив функцию f ( 4 ) условиям

/ = 1 при г| = 0; f = 0 , ——=0 при г | = ± 1 .

(4.4')

К р о ме этих очевидных условий можно т а к ж е привлечь допол­ нительные условия, следующие из уравнения движения (3.1):

d2f =

0

при

т) =

± 1 ;

d2f

v

 

pv

 

 

при

т| = 0.

(4.4")

dyf

 

 

'

'

 

 

ац"dr\2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Первое

из этих

условий означает

плавность

сопряжения

 

второго

порядка

профиля

скорости на внешней

границе

слоя

с

течением

и = 0,

а

второе учитывает влияние электромагнитных сил на про­

филь

скорости.

 

 

 

 

 

 

 

 

у,

 

 

 

 

 

 

 

 

П р и

 

желании,

дифференцируя

(3.1)

по

можно

получить

значения более высоких производных на

внешней

границе

слоя

(г) =

±

1)

и на оси

струи (г) =

0).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С введением п а р а м е т р а % функцию

/ ( л )

можно

разделить

на

две составляющие (табл. 4.1):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f(n)=F(rl)+XG(r]).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(4.5)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Первое

в ы р а ж е н и е

д л я

F.(rj)

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G(r|)

В

табл .

 

4.1

получено

с

Т а б л и ц а

4.1

 

 

 

 

использованием

 

первых

двух

№

 

 

 

 

 

 

 

 

условий

(4.4),

второе

 

—

трех

 

 

 

 

 

 

О(П)

 

условий

(4.4)

и

т. д.

 

 

 

 

про­

 

 

 

 

 

 

 

 

Так

к а к в

задачу

 

входят

филя

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1 - л 2

 

 

 

 

 

две

п о д л е ж а щ и е

определению

 

 

 

 

0

 

функции

и,п(х)

 

и

б ( х ) ,

то

д л я

2

 

(I - л 2

) 2

 

 

0

 

их

нахождения

 

необходимо,

3

 

(1 - и 2

) 3

 

 

0

 

к а к

у ж е

упоминалось,

при­

4

 

(1 - Л 2 ) 2 ( 1 + 2 ^ )

Т " ( 1 - П 2 ) 2

 

влечь

два

уравнения .

Одним

5

 

(1 - г| 2 ) 3 (1+3г) 2 )

I I 2

 

из них будет служить уравне ­

 

2 ( 1 - і ] 2

) 3

ние импульсов (3.4),

 

в

каче­

 

 

 

 

 

 

 

 

 

стве второго выберем уравне ­

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ние

энергии

 

 

(3.11).

Эти

уравнения не являются единственными, которые могут использо­ ваться в приближенном методе. Таких уравнений можно соста­

вить

бесчисленное

множество,

в чем легко убедиться, у м н о ж и в

обе

части равенства

(3.1)

на ип,

где п — произвольное число, и

проинтегрировав

его

по

поперечному сечению струйного слоя.

Остановимся, однако, на

(3.4) и

(3.11), в которых, согласно пред­

ставлению о конечной толщине слоя, заменим бесконечные пре­

делы

интегрирования конечными

± 6 .

П

о д с т а в л я я в уравнения (3.4)

и (3.11) распределение (4.3) и

принимая во внимание (4.5), получаем следующую систему оп­

ределяющих уравнений:

 

-Г [«m2

6 (а, + Ьік+с№) ] = -

^— ит8 (cii + m , I ) ;

ах

 

р

^^{um4{a2

 

+ b2X+c2X2+d2}?)}=

 

-

v^f

(т2

+

п2Х+12Х2)-

£ Сіл

 

 

 

 

 

 

 

О

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(4.6)

 

 

 

оВ2

 

 

 

 

 

 

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

1

 

1

а , =

jF2dr\,

6, = 2 JFGdr\,

с{=

J

G2dr\,

d , = j

Fdr\,

 

- і

 

 

- і

 

•

—і

 

 

- і

 

 

 

ї

ї

 

 

 

 

і

 

 

і

m{=

J

Gdy\,

a2=

J

F4T\,

b2 = 3 J

F2Gdr\,

c 2 = 3

JFG2dr\,

 

- і

 

 

- і

 

 

- і

 

 

 

- і

 

i

 

l

 

l

 

 

 

 

 

і

d 2 =

j

G4T\,

m2=

j

F'2dr\,

n2=

j

F'G'dr\,

/2 =

/ G'4r\

 

- і

 

 

- і

 

 

- і

 

 

 

- і

и, по определению,

( 4 J )

vpv

Пр и использовании полиномов не выше шестой степени, обо­ значенных в табл . 4.1 номерами 1, 2, 3, значения /"(0 ) и тем са­

мым К будут

определены. Следовательно, д л я н а х о ж д е н и я

функ­

ций ит

и б можно ограничиться

соотношением (4.7) и, например,

первым из уравнений

(4.6). Если привлекать

и второе

уравнение

(4.6),

 

то, естественно,

система будет переопределена.

Необходи ­

мость

 

во втором

уравнении (4.6) возникает

л и ш ь при использо­

вании

полиномов выше

шестой

степени. П р и этом,

однако, су­

щественно повышается трудоемкость расчета, в

первую

оче­

редь из-за увеличения

 

порядка

нелинейной

системы

уравнений .

В

 

случае

профилей

1, 2, 3

из табл . 4.1

систему

уравнений

 

2* = —

oB2

d,

;

 

 

 

 

 

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

P

ai

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(4.8)

dum

 

 

oB2

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

"б2 "

 

P

 

 

 

 

 

 

 

путем несложных преобразований удается свести к уравнению второго порядка относительно функции Г = б2 :

решение которого имеет вид

 

 

 

- С * .

(4.9,

 

8-Згіі/а,

 

[ ^ ( > - > - Ч

S-4rf,/a,

 

где С — постоянная интегрирования.

 

Следствия, вытекающие

из решения (4.9),

обсуждаются в

§ 2. Здесь мы остановимся лишь на следующем . Если при 6->-со

интеграл

в

(4.9)

сходится, то это означает, что

6 = оо

достигается

при

конечном

х. Н а й д е м

поэтому

условие

сходн­

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о е 2

 

 

 

 

 

 

мости интеграла

при

6—>~оо. Учитывая, что

 

> 0 ,

Х < 0

(про­

филь скорости в струе д о л ж е н быть выпуклым,

т. е. f " ( 0 ) < 0 ) ,

и

полагая

 

2 — — > 0

(это

предположение

будет

оправдано

после-

дующим

результатом) ,

получаем для а > 0

оценку [9]:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8-3d,/a,

 

 

 

 

 

 

 

 

[

0

R 2

/

 

И. \

 

 

18-4d,/a,

 

 

 

 

 

 

 

 

2

^ - ( 2

- ^ ) s

! - 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8-3rf,/a,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8-4di/a,

 

 

 

 

 

 

 

откуда

следует,

что

интеграл сходится

при

у с л о в и и —

< 2 . Это

условие

 

выполняется

д л я

широкого класса

профилей

скорости.

В частности, д л я

профиля

 

d

5

Для

профиля

2

1 из табл . 4 . 1 — - = — г ,

d

 

 

 

 

 

 

fli

 

 

4

 

 

 

 

 

 

-ТІ = 448/353 и т. д.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Смотрите также файлы