Файл: Щербинин Э.В. Струйные течения вязкой жидкости в магнитном поле.pdf

Т а к им

образом, при сравнительно общем предположении о

х а р а к т е р е

приближенного з а д а н и я профиля скорости

основным

результатом решения является полный р а з м ы в струи

на конеч­

ном расстоянии от источника.

функцию

-^j = / ( г | )

следующим условиям:

и = 0

при у=0;

и = 0

при у=8;

ди

при у = 8;

= 0

(4.10')

д2и

= 0

при

у = б ;

•

д2и

= 0

при у =

0.

ду2

ду2

r

J

Последнее

условие

получено

непосредственно

из

уравнения

д в и ж е н и я

(3.1) с использованием

условия

непроницаемости

по­

верхности

V = 0 . К а к видно из (4.10'), электромагнитный член

не

входит

в граничные

условия вплоть до вторых производных ско­

рости по поперечной

координате.

Влияние электромагнитных сил на профиль скорости учиты­

вается

при использовании

производных более высокого порядка .

Е р м о л а е в а и Соковишин

[10] ввели та к называемое

условие сов­

местности:

д*и

аВ2 ди

•

п

4.10"

- г — =

—

при 0 = 0,

ду3

pv

ду

получающееся

путем дифференцирования

(3.1) по у

и использо­

вания

(4.10'), связывающее третью и первую производные на

стенке.

Условие совместности

приводит к

появлению

параметра

аВ2

„

pv

б 2 .

(4.11)

П о м и м о (4.10)

можно

з а д а т ь

еще

дЧі

при у=6,

— = 0

(4.10'")

а т а к ж е значения

производных

порядка выше третьего

на внеш­

ней и внутренней

границах слоя.

Последовательно

привлекая

все новые и новые

условия и з

серии (4.10), получим д л я F(r| ) и С7(г|) из /(т)) =F(r\)

+XG(r\)

в ы р а ж е н и я , приведенные

в табл . 4.2. П р и построении

f(n,) один

из коэффициентов

ряда

(4.3) Л,-, вообще говоря,

я в л я ю щ и й с я

Однако

в х о д я щ а я в эт о уравнение

величина

пр и при -

ближенном з а д а н и и профиля м о ж е т привести

°У

v=ym

неточ­

к большим

ностям

[10]. Так , при применении полинома

третьей степени чис­

ленный

коэффициент

в в ы р а ж е н и и

н а п р я ж е н и я

трения

(3.57)

становится равным 0,556 (вместо точного значения 0,221).

Подставив

(4.3)

в (3.7) и

(3.9),

получим

систему нелиней­

ных уравнений:

d

U4a{X)~-

U

аВ2

dx

-V—8

Ubb(X)

;

d

оВ2

(4.12)

U42c(l)

U282ab2(X)

,

dx

2 Р

в

которой

1

I

1

11

а=

J

P(r\)di\,

Ь = J

f(n)dn,

с=

j

( f2(y\)

J

fd4)

dr\,

0

0

0

0

2.2. СТРУЯ У ПЛОСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ 1121

Д л я

решения задачи, сформулированной

в § 1 главы

I I I , вве­

дем функцию тока из уравнения

неразрывности

(3.2)

и

опреде­

лим ее следующим

образом:

и=—^',

и = - — І ,

ср = г|)т Дг,),

(4.19)

оу

ох

где, ка к

и

прежде, r

l=

"^"> а

б (л;)

имеет смысл поперечной ши­

рины струи. С введением функции тока по (4.19)

уравнения (3.7)

и

(3.9)

перепишутся

к а к

оо

оо

/ ^ • ^ ( ^ )

= - v ^ r ( 0 ) - N ^ / № ;

(4.20)

со

со

v

'

Д л я

определения

интегралов,

входящих

в уравнение

(4.20) f

зададимся

функцией

/(т)),

определяемой

решением

А к а т н о в а

[13] д л я непроводящей

струи:

/ ' = - ! - ( w = - f 2 ) ,

и, соответственно,

ar\=

^ 3/а^|/а

^2 .

Если при этом воспользоваться еще

значениями

функции

тока на

бесконечности

/\>о = 2,515

и второй производной в нуле

/"(0) =0,221, то после вычисления интегралов система

(4.20)

пе­

рейдет в

( - ^ У = - 0 ^ - ^ - 2 , 8 6 г ^ т

;

V

6

'

6

(4.21>

{ ^ y

= - 3 , 1 8 N ^ .

В

целях

упрощения

выражений

(4.21) перейдем

к функции

Г =

= i p m 6 . Тогда из

7-6'=2,22N 63 + 0,756v6;

^