Файл: Щербинин Э.В. Струйные течения вязкой жидкости в магнитном поле.pdf

м о ж н о

получить уравнение второго порядка

д л я

Т,

не

содержа ­

щее явно параметр а N :

7 7 " = 2 , 3 3 5 ( Г - 1 , 0 0 8 У ) ( F - 0 , 3 5 8 v ) .

(4.23)

Уравнение

(4.23)

имеет первый

интеграл

( Г -

l , 0 0 8 v ) 1

д а ( Г -

0 , 3 5 8 v ) - ° ' 3

5 8 = С П ™ .

(4.24)

Воспользовавшись

в ы р а ж е н и я м и д л я

Т

и

Т'

из

(4.22),"

запи­

шем

(4.24)

к а к

_

( N a 2 + 0 , 3 4 1 v ) ' ^

интегрирование которого приводит

к искомой

связи

м е ж д у

6 и х:

0I

S " " №

С

' х .

(4.25,

(N6 2 + 0,34b) 1 - 2 3 6

NVi

Здесь

мы

воспользовались

условием

6(0) = 0 .

Оставшуюся

постоянную

С?! определим,

исходя

из соображения,

что при N->-0

в ы р а ж е н и е

(4.25) д о л ж н о

перейти

в известное

гидродинамичес­

кое

в ы р а ж е н и е [13]

6V,=

- L - x .

(4.26)

3

v

Это

дает

С\ =N~h

—г-т-й-

(0,341 v ) - 1 - 2 3

6 .

Величина

L 0 , сохра-

4 Ь,0'3

н я ю щ а я с я

постоянной

(в

гидродинамическом

случае)

во

всех

поперечных

слою сечениях,

играет роль

заданной

в

начальном

сечении

(х — 0) характеристики

струи, если

последняя

развива ­

ется в однородном поперечном магнитном поле.

Д л я

удобства вычисления

интеграла

в

уравнении

(4.25)

пе-

рейдем

к переменной t 2 =

N 6 2

Тогда

будем

иметь

-п-гггт~

•

t

U,o41v

Г

РШ

I N 2 v

\' / з

/

1Л

=1,54

1 — )

х=х.

(4.27)

J

(p+l)

1.236

\

Ц

/

\

'

Вид функции t в зависимости от комплекса х

показан

на рис. 4.1.

И з

(4.24)

нетрудно получить в ы р а ж е н и е

д л я

максимальной

•скорости

ит

в сечении

струи:

. „

=

*

H

= (

J

^ y "

f

± i f

( f

)

,

(4.28)

б

V 0,341v

/

t

К

'

где F(t)

— подынтегральная

функция в

(4.27).

Х а р а к т ер

зависимости

ве-

/0,341v\

'/ з

ЛИЧИНЫ

UM =

UM\

^

І

ОТ X

т а к ж е показан

на рис. 4.1.

И з

остальных

характери ­

стик

течения можно найти та­

кие,

например,

как

расход

Q

и количество

д в и ж е н и я К,

оп­

ределяемые

соотношениями

'

t.%,,u„

(XI

сю

О

0.?

0,1

Ofi OS 1,0 1,2

1,1

G,K.L

Q=$udy

и

K=$u2dy.

Д л я

Рис.

4.1.

Характеристики

плоской

о

о

этих

пристеночной струн в поперечном маг­

отыскания

величин

вос­ нитном

поле.

пользуемся

представлением

скорости в

виде

u = umf,

тогда

со

у

Аналогично

найдем

характеристику

L = Ды2 ]udy]dy и

величину

du

о

о

трения на стенке

r № = v p

dy

[ /2 _L 1

ПЗ

/

N

у/.

t2+ 1

т ю = 0 , 2 2 Ь р *

0,341v

/

Найденные зависимости Q, К, L

и xw в безразмерном

виде по­

к а з а н ы на рис. 4.1.

О б а

рассмотренных

выше метода приводят к

качественно'

тем ж е

результатам, что

и точные решения уравнений М Г Д - п о -

граничного слоя. Н и ж е

на примере пристеночной струи сумми ­

руются

качественные особенности поведения плоских

струй в о д -

ние результатов расчета по приближенной схеме

с точными

ре­

шениями .

К а к

следует

из расчетов, магнитное поле оказывает

сущест­

венное

влияние

на характер

струйного течения. С ростом

напря ­

женности магнитного поля

толщина

зоны перемешивания

струн

с о к р у ж а ю щ е й

жидкостью

резко возрастает

и,

ка к видно

из

рис.

4.1, дл я

к а ж д о г о конкретного

значения

напряженности

можно

найти

такое расстояние х от источника, на котором

струя

полностью

смешивается

с о к р у ж а ю щ е й

жидкостью,

точ­

нее,

на

котором

прекращается

продольное

движение

в

струе.

Вместе с тем резко падают значения

максимальной скорости, ко­

личества движения, величины трения на стенке,

и только

поведе­

ние

кривой расхода показывает,

что всю область

течения

можно

разбить

на дв е части: первую,

примыкающую

к

источнику, где

подсасывающее

действие струи

преобладает

на д торможением

обратный процесс

вытекания

жидкости за пределы струи, в

связи с чем расход

начинает

падать . П о л о ж е н и е границы раз­

приближенно значением £—0,56

(см. рис. 4.1), т. е. вся

область

течения разделяется примерно

на дв е равные

зоны, если

учесть,

/ N 2 v \

Ч г

что предельное значение

комплекса

1,54

\

^ -

J

x=xTV,

при ко­

тором

наступает

полный

размыв

струи,

определяется

значением

-Л^тр — 1,15.

Ермолаевой

и

Соковишиным

[10] проведен

расчет

сечения

торможения

хтр

по различным

методам.

Н и ж е

под

номерами

1—6 даются значения xTV,

полученные

при расчете

по методу ко­

нечной

толщины

по профилям

1—5 и 7 из табл . 4.2; по д номе­

ром 7 — значение,

рассчитанное

в работе

[11]; под номером 8 —

значение, полученное

по асимптотическому

методу,

изложен­

ному в п. 2.2; наконец, под номером 9 — значение,

следующее из

точного решения

на Э В М {10].

№

1

2

3

4

5

6

7

8

9

*тр

1,08

0,992

0,955

1,162

1,112

10

0,794

1,15

0,925

Впрочем, по значениям Зст р трудно судить о достоинствах и

недостатках

того

или

иного метода,

того

или иного

используе­

мого профиля . Резкий рост толщины струи во второй

области

течения (см. рис. 4.1) говорит

о том, что в этой

области

допуще­

мерного трения

xw=

от п а р а м е т р а х с

= у - ^ , приве­

денная на рис. 3.6, показывает,

что расхождение д л я полиномов

всех порядков

(за

исключением

третьего и

четвертого)

не

пре­

вышает 5% от точного значения;

наилучшее

ж е совпадение

по­

лучается при использовании полиномов

пятого и шестого поряд­

ков. Д а л ь н е й ш е е

повышение

порядка

полиномов

не

приводит

шений

в профиле скорости. Д л я сравнения

приближенного ре­

шения

с точным (3.58)

отнесем

скорость

u = umf'[-j

)

к величине

I

I , а координату у

—

к \

1

. И м е я

\

vx'

\

V3X'3 '

в виду

(4.28), а т а к ж е

N.62

соотношение ^'2 = -?г-0,-,— из § 2 и введенный

выше параметр ~х — \,Ыхс,

0,o41v

получим

й .

и

_

(0,341)*

1

f t

\

)

(4 29)

'А

f / 3 ( ^ +

1)0.236 '

0,34Г'»*

(

- ) /

*

VX

VX і

где

З а д а в а я с ь

некоторым значением хс,

можно найти х и соот­

ветствующее ему значение t по графику

(см. рис. 4.1) или из со­

отношения

(4.27) и затем

у ж е построить график йс=йс{1.).

П р о ­

фили

скорости

(4.29)

показаны

пунктиром

на

рис. 3.5.

Т а м ж е

ленным расчетом

[10]. К а к видно из

рисунка,

в той области те­

чения, где расход возрастает с удалением от

источника, совпа­

дение профилей

достаточно хорошее. Значительные отклонения

от точного решения н а б л ю д а ю т с я

в области

уменьшения рас­

хода.