Файл: Щербинин Э.В. Струйные течения вязкой жидкости в магнитном поле.pdf

удачном выборе

полинома д а е т удовлетворительные

результаты

по

н а п р я ж е н и ю

трения. Если ж е

выдвинуть подобное требова­

ние

и д л я

описания поля скоростей, то, вероятно,

понадобится

применение

полиномов

более высоких порядков . П р и

этом

сис­

тема уравнений

(4.12)

существенно усложнится,

т а к

ка к

коэф­

фициенты а,

Ь и с становятся функциями

"к.

Подводя

итоги результатам,

изложенным в

предыдущей и

граничного

слоя теряют

силу

на достаточно большом, завися ­

щем

от величины магнитного

поля

расстоянии

от источника.

Это

связано

с наличием

критического

сечения, при

приближении

рии, д о л ж н ы быть

меньше расстояния

от источника

и продоль­

ной компоненты скорости соответственно.

К а к п о к а з а л и

численные

расчеты

Ермолаевой

и

Сокови-

шина [10], при приближении

к критическому сечению

роль

вяз -

слоя, резко возрастает по сравнению с

.

§ 4 . НЕКОТОРЫЕ Д О П О Л Н Е Н И Я К ТЕОРИИ

СТРУЙНОГО ПОГРАНИЧНОГО

с л о я

В связи со сказанным выше представляют интерес попытки

построения

решения, пригодного д л я описания струи вблизи

кри­

тического

течения. ' Весьма

грубое

приближение

можно

по­

строить, например, если принять во внимание последнее

замеча ­

ние из предыдущего п а р а г р а ф а

и при этом пренебречь

инерци­

вследствие

электромагнитного

торможения

незначительна

вблизи критического сечения. П о л о ж и м т а к ж е ,

что подобие про­

филя скорости все еще сохраняется, т. е. u = umf

(-— . Тогда из

уравнения

(4.30)

м о ж но

получить д л я свободной затопленной

струи

N

и"т

ит

= 0

(4.31)

и

(Wm6)"

N ит8 = 0.

(4.32)

V

Первое из

уравнений

получено из вида

(4.30)

на

оси

струи

(г/ = 0) ,

второе

—

после

интегрирования (4.30)

по

поперечному

сечению от

—оо ДО + 0 О .

Ограниченное при х-^-оо решение

(4.31)

есть

ит=Аехр(-]/

~

х ) ,

(4.33')

аналогично

(4.32)

дае т

б = 5 + С е х р

( 2 ] / ^ - х ) .

(4.33")

Постоянные

А, В,

С м о ж н о найти,

с р а щ и в а я

(4.33)

с (4.16) и

(4.15).

ит(х)

Таким образом,

уменьшение

и соответствующее

увели­

чение 8{х)

хотя и происходят

достаточно

интенсивно

в магнит­

н ы

ном поле, тем не менее учет вязкого члена

v ^ 2 дае т

асимптоти­

ческое

затухани е течения

в струе [9], тогда

к а к теория

погранич­

стоянии

от

источника.

З а м е т и м

т а к ж е ,

что

исходные

предположения,

выдвинутые

д л я

получения

(4.33), удовлетворяются решением (4.33). Дейст­

вительно,

инерционные

члены

имеют порядок

убывани я

/

o l / N

\

д2и

/ л / N

\

ехр

^ —2 у

~

х j

, а

вязкий член

-щ^ — ехр

| — 5 у

~

х

J, т. е.

.

д2и

они

меньше, чем электромагнитный и вязкий

члены,

имею­

щие порядок ехр

(

-

т

того,

д л я

целого

ряда

задач

(например,

д л я

течения

Г а м е л я ,

см. п. 2.2

г л а в ы I I , а

т а к ж е

д л я

течения

м е ж д у

в р а щ а ю щ и м с я іг

неподвижным

дисками,

для

течения в

полуплоскости)

удалось

показать,

что

решение

нелинейной з а д а ч и

стремится

при доста-

Н а

точно

большом

числе

Г а р т м а н а

(точнее,

при

§>1)

к

решению

Стокса.

Ке

Эти результаты, а

т а к ж е

анализ некоторых

эксперименталь ­

ных данных [1] показывают,

что границы применимости прибли­

жения

Стокса,

а

тем

более

приближения

Озеена в

магнитной

ренных

числах Н а .

Сказанное относится т а к ж е и к

линеаризо ­

ванным уравнениям пограничного слоя.

К а к

известно из

общей гидродинамики, в р а м к а х

теории по­

типа

следа за

телом п р и н а д л е ж а т

к одному классу задач . Сле­

дует ожидать, что в магнитной гидродинамике это

соотношение

не нарушится . Однако ввиду того что к настоящему

времени наи­

более

полно

р а з р а б о т а н а теория

М Г Д - с л е д о в на

базе линеа­

Чтобы

убедиться

в этом, запишем определяющую систему

уравнений

в виде

( V V ) V = - — V p m + v V 2 V + - ^ - ( H V ) H ;

Р

Р

( V V ) H - ( H V ) V = v m V 2 H ,

( 5 Л )

где рт

=

р + ^ Н 2 + ~ Е 2 ;

V 2

— двумерный оператор

Л а п л а с а .

Л и н е а р и з у я

по

Озеену систему

(5.1),

т. е. вводя . V =

Uev+v,

H = # e H + h

(е„

и

Є н — единичные

векторы, направленные

соот­

ветственно

по невозмущенной

однородной

скорости

и такому ж е

магнитному

полю)

и пренебрегая

произведениями

и к в а д р а т а м и

м а л ы х добавок v и h,

получаем

£ / ( e 0 V ) v =

- — V p m + v V 2 v + - ^ - ( e H V ) h ;

(5.2)

Р

Р

U (evV)h-H

(eHV)v=vmV2h.

(5.3)

v V2 (o =

U (е„V ) со -

( е н

V ) j ;

U (евV)j - Я

Р

vm V 2 j =

( e H V ) (О,

которая после исключения j либо

со перейдет в одно и то ж е

уравнение и д л я со и

j :

Г У 4 - ( у ( — + 1 ) ( e , V ) V 2

+ - ^ - [ ( e u V ) 2 - A l ( e H - V ) 2 ] } c o ( j ) = 0 ,

4 \'т V '

VVm

>

(5.4)