Файл: Щербинин Э.В. Струйные течения вязкой жидкости в магнитном поле.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 179

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

или

 

1

1

\

 

 

 

Г

/

V2

—

V]X

VІ-U

[

Vm

+ —

1 (e„V)

V 2 +

[(е„ + УА1ен )

 

V

V

'

V V m

 

 

 

X [ ( e „ - y A i e H ) V ] } < D ( j ) = 0 .

 

(5.5)

Здесь A l =

— число Альфвена .

 

 

Т а к

как на больших расстояниях от

тела градиенты

всех ве­

личин

становятся достаточно малыми,

то роль членов

низшего

порядка малости в уравнении (5.5) возрастает . Отсюда немед­

ленно следует, что возмущения о

и j, или, что то же,

возмуще ­

ния скорости и магнитного поля,

распространяются в

основном

в двух направлениях: е„+УА1ен

и е„—УА1ен. И н ы м и

словами,

тело, обтекаемое проводящей жидкостью, порождает, вообще го­

воря, два

следа. И з уравнения

(5.5) т а к ж е

следует, что при за­

мене направления ен на —ен

направления

следов

сохраняются.

И з других

особенностей сформулированной

задачи

отметим еще,

что если магнитное поле ортогонально плоскости течения, т. е. eHV = 0, то оно не оказывает воздействия на поле скоростей (уравнение (5.2)), но само возмущается полем скоростей со­ гласно уравнению (5.3).

В некоторых частных случаях оператор четвертого порядка в (5.4) м о ж е т быть представлен двумя коммутативными опера­

торами, к а ж д ы й

из которых описывает один

след:

 

 

L(<B) = L I L 2 [ ( O ] = 0 .

•

 

 

 

 

 

Э то позволяет

записать

решение в

виде

ю = (о1

+ (02,

причем

£i.2[fi>i,2] = 0, что

существенно упрощает

построение

решения. К а к

отметил Хасимото [2, 3], к

таким случаям относятся следующие:

течение Стокса,

случай параллельности

невозмущенной

скорости

и невозмущенного магнитного поля и случай равенства

единице

магнитного числа

П р а н д т л я I (3 = — =

1) •

 

 

 

2.1.ТЕЧЕНИЕ СТОКСА

Если

конвективная скорость

U м а л а

по сравнению со ско­

ростью

волны Альфвена UA —

~^-^-Н, то

членами, пропорцио­

нальными U в уравнении (5.4), можно пренебречь и записать

(5.4)

в виде

 

[V2 +

Ha(eH V)][V2-Ha(eH V)](fl(j)=0; L 1 L 2 ( ( o ) = 0 ,

(5.6)

где Н а = / -

число Гартмана , вычисленное по единичному

\P'VVm

размеру .

 

 

 

 

 

 

 

Пусть

направление

магнитного

поля совпадает с направле ­

нием

оси

х. Тогда

C H V = — .

Та к

ка к

операторы L R и L 2

раз ­

личны,

то

решение

д л я

со (j)

можно представить в виде суммы

со= ( w i + co2 )ez , где к а ж д а я из

функций

coi,2 удовлетворяет

урав ­

нению

 

 

 

 

 

 

 

 

( V 2 ± H a ^ - ) ( c o , , 2 ) = 0 .

 

 

 

 

(5.7)

На

+V

Подстановка соі,2 = е " /і, 2 в (5.7) приводит его к уравнению Гельмгольца

( * - ^ ) < Ы - о .

из решения которого, ка к показано в работах [4,5], следует, что

 

 

На

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

На

 

 

На

 

 

 

/ Н а \

 

1 + — r c o s '

 

+—-х "

X

 

 

+K0(—r)cost\e

 

 

2

 

dt + 2e

2

 

 

со

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X ^

Kn(^Yr

) ( Л » 1 , 2

c o s n O + B ^ 2

sinn,0),

 

 

71 = 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

Кп —

функция М а к д о н а л ь д а ; г, 0 —• цилиндрические коор­

динаты .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ограничимся - свойствами

решения

 

на больших расстояниях

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Н а

от

тела. Д л я к а ж д о г о

номера

п

можно

подобрать

т а к о е - ^ - г » 1 ,

что

будет

иметь

место

асимптотическое

представление

 

 

 

 

 

На

 

 

 

 

 

 

2

т ак что завихренность

 

На

(01,2' (—У

-(г±х)

 

\Н а г /

ок а ж е т с я у б ы в а ю щ е й экспоненциально везде, за исключением областей

rdrA'=const = C1 > 2

,

где она убывает

лишь, к а к г~1,\ Таким образом, завихренность,

к а к и возмущения прочих величин, ощутима лишь в двух пара ­

болических следах у2

= С\,22Ч12Сі,2Х, открытых в положительную

и отрицательную стороны оси х, т. е. вдоль направления

магнит­

ного поля (рис. 5.1).

 

 

Экспоненциальное

убывание возмущений вне следа

приводит

к возможности построения решения, соответствующего на беско­

нечности однородному потоку, что сви­

 

 

детельствует об отсутствии в магнит­

 

 

ной гидродинамике

парадокса

Стокса.

 

 

Физической основой этого формального

 

 

математического вывода служит при­

 

 

сутствие

дополнительного

механизма

 

 

передачи возмущений волнами Альф -

 

 

вена, суть которого состоит в том, что

 

 

возмущение,

появившееся

в

какой -

 

 

либо

точке

пространства,

порождает

Рис.

5.1. Схема образования

возмущения

в соседних точках,

л е ж а ­

двух

следов при стоксовом

щих

на

силовой

линии

магнитного

МГД-обтекании тел.

поля,

а

скорость

распространения

 

 

возмущений вдоль силовой линии совпадает со скоростью волны Альфвена V a .

М о ж н о провести следующую аналогию м е ж д у классическим течением Озеена и МГД - течением Стокса: если в первом случае возмущения, п о р о ж д а е м ы е телом, сносятся конвективным пото­ ком, образуя след, то во втором с л у ч а е след образуется к а к ре­ зультат передачи возмущений механизмом волн Альфвена, при этом, однако, частицы жидкости могут и не перемещаться вдоль

следа.

П о п а д а я в М Г Д - с л е д ,

частица

жидкости возмущается, пе­

редает

возмущение

соседним

частицам

и покидает

пределы

следа

 

(если

конвективная

скорость

V

направлена

под углом

к магнитному

полю

Н ) . Имеется

т а к ж е

аналогия в

структуре

следов.

 

 

 

 

 

 

 

 

В

классическом ж е стоксовом

течении

возмущения

рассеива ­

ются

л и ш ь б л а г о д а р я

вязкости

и слабо сносятся основным пото-

11 — 2274

ком. Магнитное поле, таким образом, к а к бы выполняет в стоксовом течении роль конвективного переноса возмущений в клас ­ сическом течении Озеена, причем гораздо эффективнее (экспо­ ненциальное убывание возмущений вне следа в МГД - стоксовом

течении

и алгебраическое —

в гидродинамическом течении

Озе­

е н а ) . К

этому еще следует добавить, что при наличии

магнит­

ного поля помимо вязкой присутствует еще

и д ж о у л е в а

дисси­

пация .

 

 

 

 

 

 

З а м е т и м , что к уравнению

(5.6) можно прийти и иным

путем,

не

предполагая малости U. Д л я этого следует положить

в

(5.4)

evV

= 0.

Последнее означает,

что градиенты

всех величин

вдоль

направления невозмущенной

скорости равны

нулю. Такой

слу-

•чай м о ж е т иметь место, например, при продольном обтекании тела неизменного поперечного сечения в произвольно ориентиро­ ванном магнитном поле [7, 8].

2.2. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ПАРАЛЛЕЛЬНО НЕВОЗМУЩЕННОИ СКОРОСТИ

В

этом случае

e „ V = e H V

и

оператор

четвертого

порядка

м о ж н о представить

произведением операторов

второго порядка:

[ V 2 + f e i ( e „ V ) ] [ V 2 + M e u V ) ] ( o ( j ) = 0 .

 

 

 

 

( 5 - 8 )

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2Ai.2= -

(Re + Re m ) ± У ( R e + R e m ) 2

- 4 Re R e m ( l - A l ) ,

 

 

a R e = — и R e m = —

числа

Рейнольдса,

вычисленные

по еди-

 

V

V m

 

 

 

 

 

 

 

 

ничному

размеру .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уравнение (5.8) отличается от (5.6)

л и ш ь

тем, что в

первом

вместо

п а р а м е т р а

± Н а

присутствует

& i | 2 . Поэтому

и

выводы,

следующие из а н а л и з а решения,

в целом

аналогичны

приведен­

ным ранее, т. е., вообще говоря,

и здесь образуются дв а следа,

причем один из них располагается

вниз, а второй — вверх по по­

току,

вдоль направления магнитного

поля.

Отличие

м е ж д у

следами

состоит в следующем . П о сравнению со стоксовым тече­

нием, где возмущения передаются посредством вязкости и вол­ нами Альфвена, в течении Озеена в переносе возмущений участ­ вует и конвективный механизм . Т а к к а к е„ = ен-, то в следе за те­ лом конвективный и альфвеновский переносы действуют в одном направлении, в переднем ж е следе — во встречном направлении .

Смотрите также файлы