Файл: Щербинин Э.В. Струйные течения вязкой жидкости в магнитном поле.pdf

Если U>UA(A\<1),

то передний след вообще не развивается

(имеется лиш ь

один

обычный след з а

т е л о м ) ; при

U<UA{AI>1)

образуется второй след, в котором

возмущения

распространя ­

ются

вверх

по

потоку. Если

ж е

U=UA

(А1 = 1),

то оба

меха­

низма

компенсируют

друг друга

и д л я

переднего следа

имеет

место

ситуация

классического стоксова течения [5]: возмущения

в этой

области

рассеиваются л и ш ь вязкостью, что в плоском

слу­

чае приводит

к

невозможности

соблюсти

условие

однородности

набегающего

потока,

т. е. к парадокс у

Стокса.

[V2-Re(e1JV)+Ha(eHV)][V2-Re(el,V)-Ha(eHV)],

'

(5.9)

тогда

направлени я

следов будут

определяться

векторами

( R e e „ ± H a e H ) .

В частном

случае

параллельности

магнитного

и скоростного полей

коммутативные операторы (5.9)

и (5.8)

сов­

падают .

2.4. ПРОСТРАНСТВЕННЫЙ СЛЕД ЗА ТЕЛОМ

След за телом в пространственном случае принципиально

не

отличается от плоского следа и описывается' тем

ж е

уравнением

(5.4)

[9], где под V 2

следует

понимать

трехмерный

оператор Л а п ­

л а с а .

Особенностью

пространственного случая являетс я возмож ­

ность

построения

удовлетворительного решения и д л я А1 = 1

при

магнитного поля

[10]. В

этом

случае д л я переднего

следа

имеет

место ситуация,

аналогичная

стоксовому

обтеканию

пространст­

венного тела, т. е. отсутствие п а р а д о к с а

Стокса.

Следы на больших расстояниях от тела в пространственном

случае имеют вид параболоидо в f/2 +;z2

= Ci,22 : : F2Ci,2X.

Исследо ­

вание структуры следа, основанное на

а н а л и з е фундаменталь ­

ных

решений, приведено

в р а б о т а х [ 1 , I I , 12]. Подробные

сведе­

ния

о влиянии

поля

на

сопротивление

м о ж н о найти в

работах

[1, 3] и в цитированной

там литературе .

В целом

результаты, аналогичные вышеприведенным,

м о ж н о

получить и

в приближении пограничного слоя [13]. О д н а

к о при­

Д л я

плоского

следа,

рассматриваемого

к а к пограничный

слой в магнитном поле, о п р е д е л я ю щ а я

система

уравнений (1.13),

(1.14)

в

предположении

= —

—

— = 0

имеет вид

ди

ди

д2и

ц /

дНх

, „ дНх\

/ г і л х

B u + 4 e v ¥ +

? f t i r + i f ' T l ;

{5Л0)

д

д2Нх

;

(5.11)

— (vHx-uHy)=Vm

^

^ - + ^ - = 0 ;

^ +

-

^ -

=

0 .

(5.12)

дх

ду

дх

ду

Если выполнены условия симметрии течения по у, то гранич­

ными условиями д л я

поля скоростей будут

ди

= 0 ,

и = 0

при

г/ =

0;

(5.13)

д у

u-+U0

при

г / - ь ± ° ° -

Лх-+Н0

при г / - > ± о о .

.(5.14)

Д л я

отыскания

нетривиального

решения

присоединим

к ус­

ловиям

(5.13) и

(5.14)

интегральное условие

сохранения,

а д л я

получения последнего перепишем (5.10) в виде

д

д

д2и

—

[ u { V 0 - u ) ] + — [ v ( U 0 - u ) ) = - v — +

(

д

д

Л

( 5 Л 5 )

+ 7 ш [

Н х ( Я о ~ Н х ) ] + 1 у ~ [ Н у { Н ° ~ Н х ) ]

I •

Интегрируя

(5.15)

по у

в пределах

от — оо до + с о и

принимая

во внимание условия (5.13) и (5.14), получаем

со

f[u{Uo-u)--±Hx(H0-Hx)

]

=

const = HP,

(5.16)

— оо

P

где

постоянная

W, по аналогии

с обычной гидродинамикой, свя­

зана

с сопротивлением

тела.

Л и н е а р и з у е м

и

приведем

к безразмерному виду

уравнения

(5.10),

(5.11), д л я чего

введем

u=U0(l-u'),

v = U0v',

HX

= HQ{\-H'X),

Hy =

HQH'y,

V

,

V

,

Пренебрегая,

ка к обычно,

к в а д р а т а м и и произведениями ма­

л ы х

добавок, получаем

(здесь

д л я удобства

штрихи

опущены)

ди

д2и

, ,

дНх

дх

ду2

- + А 1 -

дх

JHx=±d4U

ди_

/ 6 = _ R e m \

( 5 Л 7 )

дх

р ду2

дх

\ Р

Re

/

с условиями

а - » - 0 ,

Нх-+0

при

£/->- + с о ;

ди

„

—

= 0 ,

- т - = 0

при

у = 0.

ду

ду

Последнее условие следует из антисимметричности тока отно­

сительно

оси у,

что приводит к симметричности Нх

и к антисим­

метричности

Ну.

Постоянные A J и

А2

(при

A l ^ l ) определяются согласно

(5.21)

как

А -

1

і /

^ K 2 - k i ( l - 4 a 2 )

д _

1 - | / a 2 ^ i ( l — 4 G C I ) - / г 2 A l

1

4 ' я

а2 — а\

'

2

4 » я

а2 — а\

т. е. через &i и k2,

которые сами, вообще говоря, подлежат

опре­

делению, например посредством эксперимента.

1 "t" 3

Если A l = 1, то ссі = —4 — , а 2 = О, Б[ = — рЛ і и

Ах=

W

_

Л 2 = £ 2 = 0 .

2 ( 7 o V y n y i + p

При А 1 > 1 дл я удовлетворения

условиям

(5.18)

необходимо

положить

Л 2 = 5 2

= 0.

Пр и

этом выражения

(5.21)

дают

А \ =

— ki

\

—,

B\

— k2

/ — , a k\ и k2

оказываются

связанными

соот-

\

я

\ я

Н о ш е н и е м

,

1—4о0|,

„

СВОЮ

n

А1 — 1 + 4 а і ™

k2

=

г г - 1 ^ ! - В

О Ч е р е Д Ь , D=

-r-r-.

w.

A l

4А1аі

Н х ^ - 0 ,

Hv-^-H0

при г / ~ > ± о о .

Интегральное условие отличается от (5.16) лишь видом вто­

рого слагаемого в подынтегральном выражении:

со

f

[u(U0-u)

+ ±Hx*]dy=W,

(5.24)

а

линеаризованная

с учетом НХ = Н0Н'Х и Ну—Но{1—Н'у)

сис­

щены

штрихи)

ди _ д2и

дНх

~дх~~ду^~

~ду~'

д Н , = = ± д Ч 1 х _ д и

{ Ь - 2 Ь )

дх

р ду2

ду

'