Файл: Щербинин Э.В. Струйные течения вязкой жидкости в магнитном поле.pdf

и=

ехр[

-

|

І

(у+уМхУ

] + ехр [ -

(у-УА\ху

] } ;

Л , = - ^ { е х

р

[

-

З і

{ у +

уАІху]-

УАІл к

1

4х

л

а

постоянная

С

определяется

из

интегрального

условия (5.24),

со

приближенной

формой

которого

является

в ы р а ж е н и е

J u'dyf =

—со

с _

^ У й і _

3.3. БЕЗЫНДУКЦИОННОЕ

ПРИБЛИЖЕНИЕ

Особый интерес

представляет

наиболее

часто

встречающийся

в

л а б о р а т о р н о й практике случай, описываемый безындукцион­

ным приближением .

Решение

д л я этого случая

легко

получить

из

у ж е приведенного

выше решения (5.27), если р

устремить

к нулю, но при этом

считать A l p = N

конечной

величиной. Дейст­

вительно, при таких

предположениях

имеем

Аі-+0,

Л 2 - > - - С ,

c t i - > - о о ,

a 2 - > - a 2 - - N .

Отсюда

а = 4 = е х р ( - N * - - ^ - ) ,

Я Я = 0 ( Р ) .

Ух

4

4х1

Рассмотрим,

однако,

подробнее

вопрос

о структуре

следа

в поперечном

поле

при

м а л ы х р. П р и этом

возьмем

более об­

щ у ю

задачу,

когда

имеется внешний поток с градиентом

давле ­

ния,

точнее,

когда

внешний

поток характеризуется

продольной

составляющей скорости

и(у=±оо)

= U(x).

Первое

уравнение

(1.25) в

плоском

случае

и в

предположении,

что имеется

л и ш ь

одна

с о с т а в л я ю щ а я

поля НУ = Н0,

запишется

следующим

об­

разом:

ди

ди

1

др

д2и

аоН

/

дц> \

28)

дх

ду

ро

дх

диу2

о

^

dz

I

4

Если считать, что внешняя по отношению к полю течения

электрическая

цепь

разомкнута,

то

в

спутном

потоке

/ z = 0

и

^

= \.\,Нйи{х);

если

ж е

цепь

замкнута

накоротко,

то

~ ^ ~ = 0 -

&

первом

случае

д л я

реализации

внешнего

потока

V(x)

следует

приложить, согласно

/ с о о \

градиент давления

*

dp

T1dU

(5.28),

— р ~ ~ д х ~

~dx

1

dp

TrdU

, (.іЯо2 т

,

_ ак

или

иначе,

уравне -

во

втором

= U-:

1- - — - U.

Т

р

ox

ах

pVm.

ниє (5.28) запишется в виде

и Я 0 2

, . .

ди

ди

Т 1 т и

д2и ,

ч

.

(5.29)

и ——|-v

—— = UU' + v—

+

-——

(U-u)

дх

ду

ду2

PVm

Линеаризуем

последнее

уравнение,

положив

u=U(x)—

ии

v=~U'y-

ди{

+ v1

f~-^-dy=-U'y

(в

соответствии

с

уравнением

неразрывности) .

Тогда

будем

иметь

д2щ

диі

диі

( № + и

\

„1=

0 .

"(5.30)

v —г— -

U —— + U'y •

ду

'

ду2

дх

х

PVm

Если

сделать

замену «i = exp

( — JN(x)dx)u2,

где N{x)

=—

т

п

\'

рТтС (X)

и, в свою очередь, перейти к обыкновенному

дифференциальному

уравнению,

положив

и2- -Umf

(m >

ТО

ПОЛУЧИМ

СЛЄДУЮЩЄЄ

уравнение:

U82

+

U'82

f=0

(5.31)

=

~E{x)J'

а и а л

° г и ч н о е

полученному М е л л о р о м [14] при анализе 1

немагнитного

следа с

градиентом

д а в л е н и я ,

причем

в ы р а ж е н и я

в к в а д р а т н ы х

скобках д о л ж н ы быть постоянными:

Т а к к а к м а с ш т а б

8(х),

вообще говоря, произволен, то выбе­

рем его таким образом,

чтобы

J * ± t E £ . _

, .

-

(5.32)

Тогда з а д а ч а

сводится

к

отысканию собственных функций Д и

собственных значений % д л я уравнения

Г

+ т ) / Ч Я / = 0

(5.33)

с

условиями

f ( 0 ) = 0 ,

f ( o o ) = 0 ,

т. е. к з а д а ч е Ш т у р м а — Л и у в и л л я .

К а к

было

показано

М е л л о р о м

[15], Стейгером

и

Б л у м о м [16],.

существует бесконечный

дискретный р я д

собственных

функций,

удовлетворяющих

условию

/ ' ( 0 ) = 0

и. экспоненциально

убы-.

в а ю щ и х при

т}-*~оо.

\=п+1,

где п

Действительно, если

—

натуральное

число,

то

решением (5.33) является

в ы р а ж е н и е

•п

причем

условие

/ ' ( 0 ) = 0

удовлетворяется

к а к

при

четных

71

( в к л ю ч а я п = 0),

если

С 2

= 0,

т а к

и при нечетных

п,

если

CY=0.

П р и

прочих п

подстановка f — e~zF(z)

и

ТІ2

(5.33)

г—сводит

zF"+(c-z)F'-aF

= 0

( с = - і ,

а

= Ь ^ ) ,

(5.35)

одним из решений которого является

р я д

с 1!

с ( с + 1 )

2!

'