Файл: Щербинин Э.В. Струйные течения вязкой жидкости в магнитном поле.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 173

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Л е г к о видеть, что решение

f = e~^i2F |~j

удовлетворяет ус­

ловию f'(0) = 0 . Однако если

ограничиться

условием экспонен­

циального убывания решения на бесконечности, то на собствен­ ные значения X н а к л а д ы в а ю т с я определенные ограничения.

Сэтой целью рассмотрим асимптотическое поведение f\ при

различных

X.

П р и четных п

(соответственно, нечетных X), к а к

следует

из

(5.34), f-*-0

при

ті-voo,

к а к / ; =т[ я _ 1 е _ 1 1 2 ' ' 2 ; при нечет­

ных п

—

ка к

f^x~x,

т. е. лишь

алгебраически . П р и прочих п

асимптотическое поведение / определяется, согласно [17], выра ­ жением

2 ^ v " [ i + 0 ( h | - 1 ) ] .

Следовательно, при Х<0 решения расходятся, при А,>0 схо­ дятся алгебраически .

Таким образом, экспоненциальное убывание решения на бес­ конечности обеспечивается бесконечным дискретным рядом по­

ложительных

нечетных значений

X.

Однако эти

решения

обла ­

д а ю т

тем свойством, что все они, кроме

одного,

д а ю т

нулевой

поток

количества движения . Поэтому

з а д а н и е потока количества

д в и ж е н и я к а к

характеристики следа

или

струи позволяет

выде-*

лить

единственное собственное

значение

и собственную

функ­

цию,

удовлетворяющую этому условию; с

помощью ж е

осталь ­

ных собственных функций можно, в принципе, удовлетворить

произвольные

начальные

(при х = 0)

условия,

но их в к л а д

в им­

пульс струи равен

нулю. К а к

будет

показано

ниже,

это единст­

венное собственное значение X обеспечивает, кроме того, наибо­

лее медленное

затухание

(при x-voo) решения

д л я

продольной

составляющей

скорости.

 

 

 

 

 

 

 

 

Интегральное

условие,

х а р а к т е р и з у ю щ е е

изменение

им­

пульса, легко

получается из (5.29), записанного с использова­

нием уравнения неразрывности в виде

 

 

 

 

-—[u(U-u)]

 

д [v(U-u)]

= x

~

+ (NU+U')(U-u)

.

 

 

 

ду

 

 

 

 

 

 

 

 

Интегрируя по у в пределах от — оо

до + о о , имеем

 

 

со

 

 

 

со

 

 

 

 

 

 

—оо

•оо

или, в линеаризованной

форме, —

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

оо

 

 

 

 

 

 

 

оо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- 4 - U [ u,dy=-{№+U')

 

 

f

uYdy.

 

 

 

 

 

 

 

 

(5.36)

dx

J

 

 

 

 

 

 

 

 

J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

—оо

 

 

 

 

 

 

—оо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если в (5.36) перейти к функции и2, то получим закон изме­

нения

импульса

в обычной

гидродинамике:

 

 

 

 

 

 

 

 

со

 

 

 

 

со

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~ U

 

f

u2dy=-U'

 

f

u2dy,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5.37)

dx

J

 

 

 

 

 

J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

—CO

 

 

 

 

—CO

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

из

которого

следует,

что в ускоренном

внешнем

потоке

((У'>0)

количество

д в и ж е н и я

в следе

(струе)

уменьшается,

в

замедлен ­

ном

( ( 7 ' < 0 )

увеличивается,

а

в

однородном

спутном

потоке

(U'=0)

 

сохраняется постоянным. К а к видно

из (5.36), в

присут­

ствии

магнитного

поля

количество

д в и ж е н и я

всегда

уменьша ­

ется по сравнению со случаем

отсутствия

поля

(по смыслу N

всегда

п о л о ж и т е л ь н о ) .

 

 

 

 

 

д л я и2,

 

 

 

 

 

 

П о д с т а в л я я

в

(5.37)

в ы р а ж е н и е

получаем

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

—оо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ОО

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

откуда

следует,

что если

J fdi\=£0,

то функции

U,

ит

и б свя -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

—оо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

з а н ы помимо соотношений

(5.32)

условием

 

 

 

 

 

 

Umb

= kU-2,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5.38)

где

k

—

известная

постоянная,

х а р а к т е р и з у ю щ а я

 

количество

д в и ж е н и я

в з а д а н н о м

сечении

x = const.

 

 

 

 

 

 

Л е г к о проверить,

что

в силу

ограничения

нечетными значе-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

оо

 

 

 

 

 

 

ниями

К решение

(5.34)

с

С 2

= 0

д а е т Sfkdr\=0

 

д л я

всех значе-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

—оо

 

 

 

 

 

К связь

ний

Я,

кроме

Я = 1 , т а к что л и ш ь

при этом

значении

(5.38)

имеет

место.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U=Axm,

 

где А —

 

Пусть

внешний поток

з а д а н

в ы р а ж е н и е м

 

з а д а н н ы й коэффициент пропорциональности . Тогда

решением

системы

(5.32)

я в л я ю т с я

(при тф

— 1) следующие

в ы р а ж е н и я :

6 = 1 — ) х-т

I

 

+

 

 

-х1+т

I ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/АВ

 

2

 

„

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*

v

 

т +1

 

/

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П о д с т а в л я я

эти

решения в

(5.38), еще р а з у б е ж д а е м с я , что

К=1. К р о м е

того,

постоянная . решени я С определяется, согласно

(5.38), через А и k следующим

образом :

-• »(;)••

В

частном случае однородного

внешнего

потока

( т = 0,

А =

— U0)

решение д л я Ui принимает окончательный вид

 

 

 

U ] = 2 / e l / ^ e x p ( - N . - l ^ ) , '

 

 

 

 

 

 

'

\'Х

\

4

v

х

I

 

 

 

 

 

с о в п а д а ю щ и й с приведенным в

н а ч а л е п. 3.3. П р и

получении

ре­

шения

было

принято, что

/3 = 0 в в ы р а ж е н и я х

д л я

б и ит.

С

уче­

том этого предположения

ит^х~х^,

 

т а к что значение

% = \

дейст­

вительно

обеспечивает

наиболее

медленное

затухани е

струи

с ростом

х.

И з полученного

решения следует

т а к ж е ,

что при

на­

личии спутного потока струя затухает асимптотически в присут­

ствии

магнитного поля;

д л я свободной ж е

затопленной струи

(глава

I I I ) х а р а к т е р н о

появление

конечного

сечения

торможе ­

ния, где струя полностью

р а з м ы в а е т с я .

 

 

Р а с с м о т р и м струю в однородном спутном потоке. Если внеш ­

ний поток однороден, т. е. U'(x)=0,

то произвольные

начальные

условия могут быть удовлетворены более простым способом, чем

подбором собственных значений X. Действительно, при

U'=0

уравнение

(5.29)

после

з а м е н ы «i = exp ( — Nx)u2

переходит в

уравнение

теплопроводности:

 

 

 

 

ди2

. д2и2

 

v

 

 

 

 

 

—

=а2—г-,

 

а2=—.

 

 

 

 

 

дх

ду2

 

U

 

 

 

 

 

Решени е

з а д а ч и Коши,

т. е. з а д а ч и с

граничными

условиями

«2->-0 при,# - э - ±о о

и . н а ч а л ь н ы м условием

и2=ц>(у)

при

х=0,

в та­

ком

случае

легко получить с помощь ю фундаментального

реше­

ния уравнения теплопроводности:

 

 

 

 

Пусть,

например, рассматриваетс я

з а д а ч а о

перемешивании

в спутном потоке струи, истекающей из плоского

сопла конечной

ширины

2а, при равенстве давлений

на выходе

из сопла и в

спутном потоке,

а профиль скорости на срезе сопла

(х=0) з а д а н

с л е д у ю щ и м о б р а з о м

(рис. 5.2):

 

 

и = £7

•

при

| у | > а ;

 

 

u = U + u0

при

\у\<Са.

 

 

Тогда

<р(г/)=0

при

| t / | > a и (р(у)=и0

при \у\<а,

а решением

д л я U\ явится следующее в ы р а ж е н и е [18]:

 

Ui~ —2

е -

•ы-и-ы-2 тс ф -)]-

 

"о

 

 

 

 

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

-4=

( e-e'de.

 

 

 

Д р у г о й пример (течение в следе з а пластиной, длина которой столь

велика,

что на ее кромке

имеет

место

асимптотический

профиль

< p O / ) = " ( 0 , i / ) = e x p ( - 7 N M )

 

[19])

приведен

в работе (20]. В этом

слу­

чае решение имеет вид

 

 

 

Рис. 5.2. Схема смешения струи из сопла конечной ширины со спутным потоком.

* - | H i - i ( y b - 5 L ) } t

+Є

3.4.МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИИ

Приведенные в пп. 3.1 и 3.2 решения я в л я ю т с я по существу первым приближением полной нелинейной задачи . С целью уточнения решения в теории пограничного слоя непроводящей жидкости прибегают обычно к построению решения д л я функции

тока в виде ряда по

степеням некоторого п а р а м е т р а . В

магнит­

ной гидродинамике

приходится, кроме того, р а з л а г а т ь

в р я д и

вектор — потенциал магнитного поля (магнитный аналог функ­ ции т о к а ) , причем вид этого р а з л о ж е н и я зависит от предпола -

гаемого направления вектора напряженности невозмущенного

магнитного

поля . Н а п р и м е р , если однородное магнитное

поле

Н0

параллельно спутному потоку U струи проводящей

жидкости,

то

ряды д л я

функции тока г|) и ее магнитного аналога

Т

имеют

вид [21]

^ = - ^ [ у 2 І л + / о ( г , ) + - ^ | - + - - -

] . .

(5.40)

где t, = vx, г| = г/У

 

 

П о д с т а в л я я (5.39) и (5.40) в

(5.10),

(5.11), получаем сис­

тему обыкновенных линейных д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х уравнений относительно функций фі и fj. Приведенное в работе [21] реше­

ние д л я функций

фо и /о первого

приближения в точности

совпа­

д а е т с решением

(5.23).

 

 

 

 

Несколько иначе обстоит дело в случае магнитного поля, ор­

тогонального невозмущенной скорости. Здесь дл я

сведения за ­

д а ч и к системе обыкновенных

д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х уравнений

приходится

предполагать,

что внешнее магнитное

поле

з а д а н о

в ы р а ж е н и е м

[22]

 

 

 

 

 

Я у ( о о ) = - ^ .

 

 

 

 

(5.41)

yvx

 

 

 

 

 

 

Тогда д л я W вместо (5.40)

имеем

р а з л о ж е н и е

 

 

а з а д а ч а (5.10) — (5.13), (5.41) с дополнительным интегральным условием

ОО

 

 

f[u(u-U)-

±НХ*

\dy = J Q

Р.

3

 

— со

Смотрите также файлы