Файл: Щербинин Э.В. Струйные течения вязкой жидкости в магнитном поле.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 170

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

п р и в о д и т ся к системе уравнении

Ф/ "о + г1ф"о + Ф,о = У 2 А 1 Г о ;

(5.42)

Ч>'"1+гю"1 + 2<р'1 = У2А\ f о - ~ Ф ' о + У 2 A l f"> ;

(5.43)

ГІ + Р ( Т І / , . + / . ) = Г | | - Ф , І ;

сусловиями

Ф о ( 0 ) = ф " о ( 0 ) = / / о ( 0 ) = 0 ,

ф / о ( ± о о ) = / ' 0 ( ± о о ) = 0 ;

(5.44)

Ф і (0) = Ф ' , (0) = Ф " , (0) = /, (0) = / ' , (0) = 0 ;

(5.45)

ф ! ( ± о о ) = ф ' 1 ( ± о о ) = / 1 ( ± с о ) = / ' 1 ( ± о о ) = 0

и

оо оо

f(f>'ody] = J0U-\

j ( ф / 2 о - 2

A l / , 2 0 ) d T ) =

- /

ф'ігіт).;

—со

—CO

 

 

 

 

—CO

 

(5.46)

со

 

 

 

оо

 

 

 

 

/ ( Ф ' О Ф ' І - 2 A l

f'of'i)di\

=

0,

/

(ф'оф'і —2

A l / ' 2 j ) d T ) =

0 ,

З д е с ь А 1 = ^ ^ °

, р = ^ - ,

а при получении

(5.42) и (5.43) исполь­

з о в а л о с ь проинтегрированное

по

у уравнение

(5.11), т. е. у р а в ­

нение

 

 

 

 

 

 

 

 

vHx - иНу = v m — —

UHy ( ± оо).

 

 

 

Систему уравнений

первого

п р и б л и ж е н и я

(5.42)

м о ж н о при­

вести к одному

уравнению:

 

 

 

 

 

ф " ' о + "(1 + Р) Лф"о+И + Р ( т і 2 - А 1 ) ] ф ' о = 0 ,

12 — 2274

которое

после

подстановки ф ' о = е х р |

— ~j

т

переходит в

 

T " + ( 6 - l ) T 1 T , - N t

= 0

( N = A1 В).

 

 

 

 

(5.47)

П р и

р < 1 переход к переменной

z=

*

- т ] 2

д а е т в о з м о ж н о с т ь

свести

 

(5.47)

к

у ж е р а с с м а т р и в а в ш е м у с я

выше

уравнению

(5.35):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

zx"+

(4->

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 ( 1 - 6 ) - т = 0 ,

 

 

 

 

 

 

(5.48)

 

2 " " / -

 

 

 

 

 

 

общим

решением

которого является

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 ( 1 - 6 )

2 ) 4 4

 

И з условия

ф"о(0) = 0

следует,

что Б = 0. П о с т о я н н а я А

опре­

деляется из первого интегрального

условия (5.46), т а к что

окон­

чательно решение имеет в и д

 

 

 

 

 

 

 

Ф о=-

 

 

—

 

Г

N

 

1

г , 2 ( 1 - 6 )

 

 

 

 

 

 

2 ( 1 - 6 )

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В свою

очередь,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/о

•62< 1-Р) \ е - ^ р \ ( —

 

+

3

n 2 ( l - B )

 

 

 

 

 

 

 

 

2UynU'

 

 

'1

LL4

\ 22((11--66)

і ' • 2

 

 

П р и p = l решение легко получается из (5.47):

ф'о

J0e-M

e-472c h yAlTj;

 

 

 

 

 

Ui2nU

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5.49)

Го=-

UynUAl

 

е - ^ з Ь У А Ї т ] .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вид

функции

 

ф о — — j — =иь и

, 2ЩтіУ

= Нуъ,

играющих

 

ri/'o

Jo

 

 

 

 

 

 

 

 

 

соответственно

роль возмущений

скорости

и

магнитного поля,

п о к а з а н на рис. 5.3 и 5.4.

 

 

 

 

 

И з рис. 5.3

видно, что э п ю р а

скоростей

с

ростом

отношения

магнитной и кинетической энергий у п л о щ а е т с я вплоть

до А1 = 1.

П р и

А 1 > 1 э п ю р а приобретает М - образный вид, а

расстояние

м е ж д у

пиками скорости увеличивается

с ростом А1 в

соответст-

 

 

 

 

 

—

Л

 

вии

с

корнями

уравнения

th УА1 iq =

~уЩ (асимптотически при

больших

А1 оно

пропорционально УА1). Таким о б р а з о м , при

А1 = 1 мы

имеем

дело с у п о м и н а в ш и м с я в ы ш е явлением образо ­

вания двух струй

(следов)

в магнитном

поле.

 

 

 

подстановка x = e~zT,

 

(в— 1) л 2

 

 

 

П р и 6 > 1

z =

V K

^

1

приводит

(5.47)

к уравнению

(5.48)

с той л и ш ь разницей,

что вместо

п а р а м е т р а

N

^

,

 

 

 

 

 

N

,

1

 

 

^г—j

г- будет

фигурировать

п а р а м е т р

—

 

 

-г- +

 

, т а к что

2(1 — В)

 

 

 

 

2(6—1)

г

 

 

решением д л я ф'о станет в ы р а ж е н и е

 

 

 

 

 

 

 

СР°~

иуШ*

 

^ 2 ( р -

1 )

+ 2

' 2

'

2

 

J

Р е ш е н и е системы уравнений

второго

 

п р и б л и ж е н и я

(5.43)

найдем на частном

примере

6 = 1.

П о с л е

подстановки

в

(5.43)

решений (5.49) уравнения (5.43) примут ви д

 

 

 

 

<р"'і +

ТІФ"І + 2 Ф ' , - У2А1 Гг=Ае-^

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5.50)

f " 4. F 4-F

. A

Н е т р у д но получить три первых интеграла (5.50):

 

 

 

Г] t

 

Ф'і+тіфі —V2 Al f ,=i 4

/

/

e-vdBdt,

 

 

о

о

 

после

чего система

сводится

к одному уравнению д л я опреде ­

ления

fx-.

 

 

 

Г і + 2 т | П + ( 1 - А І + л2)Л=4 /л /t e~e2dQdt-

0 0

Последнее уравнение м о ж н о привести к уравнению с постоян ­ ными коэффициентами подстановкой }і = ец'І2Ф(ц), а решение, удовлетворяющее условиям (5.45), записать в следующем виде:

Лт і

2У2А1

«•

 

/

 

o V

 

 

 

•П

 

т

t

 

•е

J

е

J

J

e-*dMtd%\

=

 

0

 

0

0

 

 

 

Л

^ [ F , ( T i ) - F a ( T , ) ] .

 

 

2У2 АГ

 

 

 

 

 

Соответственно

Описанный выше метод последовательных приближений яв ­ ляется очень громоздким . П о э т о м у представляют интерес по­

пытки расчета струйных МГД - течений

на базе

нелинейных у р а в ­

нений. Так, в работе [23] найдено

автомодельное решение полной

нелинейной з а д а ч и в безындукционном

приближении,

однако

его у д а л о с ь построить лишь

д л я

случая

скорости

спутного

потока, заданной в виде U=cx~'ls.

В

том

ж е

безындукционном

Смотрите также файлы