Файл: Щербинин Э.В. Струйные течения вязкой жидкости в магнитном поле.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 169
Скачиваний: 0
п р и б л и ж е н ии д л я случая однородного спутного потока Живов-
иСоковишин [24] провели прямой численный расчет системы
уравнений в |
частных производных, |
из |
которого |
следует, чт о |
|
чем сильнее магнитное поле, тем быстрее |
(по |
х) |
точное реше |
||
ние стремится |
к асимптотическому |
состоянию, |
рассмотренному |
вп. 3.3.
§4. Л А М И Н А Р Н О Е П Е Р Е М Е Ш И В А Н И Е
Д В У Х Р А В Н О М Е Р Н Ы Х ПОТОКОВ П Р О В О Д Я Щ Е Й Ж И Д К О С Т И
В П Р О Д О Л Ь Н О М МАГНИТНОМ П О Л Е
Пр и истечении струи из сопла конечной ширины в спутный однородный поток (см. п. 3.3.1) на срезе сопла имеет место пе ремешивание двух однородных потоков. В предельном с л у ч а е очень большой ширины сопла, когда в з а и м н ы м влиянием стенок
можно |
пренебречь, з а д а ч а становится эквивалентной |
з а д а ч е о |
|
смешении «полуструи» |
[25], а граничными условиями |
могут слу |
|
ж и т ь следующие: |
|
|
|
и(х, +оо) = U{, |
u(x,—oo)=U2, |
|
|
Введем |
из уравнений |
неразрывности (5.12) функции |
тока |
a p = 1 /(7vxf(r1 ), |
Ч' = Н0У^Р(т]), |
л = У |
— |
У. U = |
|
' и |
' |
VX |
(5.51) |
посредством |
котор.ых с о с т а в л я ю щ и е |
скорости |
и магнитного п о л я |
|
определятся |
ка к |
|
|
|
u=Uf,
П р и подстановке (5.51) |
в уравнения (5.10), (5.11) |
последние |
||
приводятся к виду |
|
|
||
|
] |
А1 |
|
|
|
|
|
|
(5.52) |
F"= |
-|- |
(f"F—fF") |
|
|
с условиями д л я скоростного ПОЛЯ |
|
|||
/'( + |
<*) = |
1 + л , / ' ( - с о ) = |
1 - л , Х= и ' ~ и * , |
(5.53) |
к которым присоединено дополнительное допущение |
|
|||
Г(0) |
= 1. |
- |
|
(5.54) |
и с условиями однородности продольного магнитного поля на удалении от зоны смешения потоков:
/ " ( ± о с ) = 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.55) |
|||
|
Следуя |
работе [26], представим |
решения |
д л я |
f |
и |
F |
в |
виде |
||||||
ряда |
по степеням X: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
/ = 2 ( £ + л . / , + Л2 /2 + - ) , F = 2 ( S + ^ , + № + - ) , |
? = у - |
|
|
|
|||||||||||
|
П о д с т а в л я я |
эти в ы р а ж е н и я |
в |
(5.52)—(5.55)- |
п |
суммируя |
|||||||||
коэффициенты |
при "одинаковых |
степенях п а р а м е т р а |
X, |
получаем |
|||||||||||
/ w |
1 + 2 S f ' / , - 2 A l £ F , , , " = 0 ; - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
F"l |
= 2 ^ t r l |
- 1 ^ \ + F,-U) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 5 ' 5 6 ) |
|||
с |
условиями |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Г і ( + |
оо) = 1, / , , ( - o o ) = - l , \ f ' 1 |
( 0 ) = 0 , |
F , ( + |
oo)=0, |
|
|
|
||||||||
^ ( - |
0 0 ) |
= |
0 |
и т . д. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.57) |
|
|
После |
д и ф ф е р е н ц и р о в а н и я |
второго |
уравнения |
(5.56) |
систему |
|||||||||
уравнений первого приближения можно привести к одному |
у р а в - . |
||||||||||||||
нению второго порядка д л я функции |
ср—/"\. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
Сф"+[2 (1 + р) £2 - 1 ] Ф ' + 4 р (І - А1) |
|
= 0, |
|
|
|
|
|
|
|
о б щ ее решение которого есть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
ф = /". = |
С і Є - 0+«+Р)Р + |
С2еа? , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
где а — корни квадратного |
уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
а 2 + а ( 1 + В ) + | 3 ( 1 - А 1 ) = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Легко, |
однако, |
проверить, что |
cci + l + p = |
— а2 |
и |
а 2 + 1 + р = |
|||||||||||
='—ссь так что из четырех постоянных С\{а\,а2), |
|
|
С2(а\,а2) |
|||||||||||||||
существенными я в л я ю т с я л и ш ь две, а решение запишется |
в |
виде |
||||||||||||||||
|
о |
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.58) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A l |
J |
|
|
A l |
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Условия |
(5.57) |
определяют значения |
постоянных |
Л*: |
|
|
||||||||||||
|
2 -і/ |
|
|
а і + р |
. |
2 л / |
|
а г + Р |
|
- |
. |
л |
|
|||||
Л , = — |
У - а і |
н |
, Л 2 = - — ^ - а 2 |
|
|
^ , Л 3 = Л 4 = 0. |
||||||||||||
|
у'л |
' |
|
|
а і — а 2 |
|
Узг |
' |
|
a i — а 2 |
|
|
|
|
|
|||
|
В предельном |
случае р = 0 имеем |
решение |
чисто |
гидродина |
|||||||||||||
мической |
задачи: |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ai = 0, a 2 = — 1 , Л 2 = 0, Л і = — = • , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Уя |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
как |
и д л я |
случая A l = o ( a i = — р, a 2 = |
— 1, Л 2 |
= 0, А\ |
= |
^=\. |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
у я / |
|
|
|
Решение |
|
(5.58), однако, |
является ограниченным л и ш ь при |
||||||||||||||
А 1 < 1 . П р и |
A l ^ l , вообще |
говоря, |
м о ж н о было |
бы д л я |
ограни |
|||||||||||||
ченности решения |
положить |
Л і = 0, к а к это было |
сделано в п. 3.1. |
|||||||||||||||
О д н а к о при этом оказывается, что условия однородности |
маг |
|||||||||||||||||
нитного |
поля |
(5.55) нельзя |
выполнить. Действительно, при А1->1 |
|||||||||||||||
имеем |
а 2 - э — ( 1 + |
Р), |
аг-*-0, Л2 ->- |
- = - = = , |
Лр-Я), Л 2 |
' . , - > • |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
УяУ1 + р |
|
|
|
|
|
А |
1 |
||
- ^ - = 7 = = . |
|
т а к |
что |
F ' i ( ± c o ) ^ + |
_ Н — |
g |
с |
в о |
ю |
очередь, |
поле |
|||||||
|
УяУ 1 + |
р |
|
|
|
|
|
1 |
"г Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
скоростей |
|
деформируется |
т а к и м |
образом, |
что |
f i |
( ± о о ) - > - ± |
|||||||||||
± |
— , |
т. е. условия д л я |
скоростного |
поля |
т а к ж е |
не |
выпол- |
|||||||||||
|
1 + |
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
няются .
К тем ж е результатам приводит и решение задачи о смешении двух однородных потоков в продольном магнитном поле при до полнительном пропускании по жидкости такого электрического
тока, ортогонального плоскости течения, что |
граничные |
условия |
||||
д л я Fr |
приобретают |
вид F'(±°°) |
= 1±Х |
либо |
F'(±oo) = 1 + А , [27]. |
|
Д о |
сих пор мы |
р а с с м а т р и в а л и задачу |
о смешении |
потоков |
||
в продольном магнитном поле. П р и попытке |
поставить ту ж е за |
|||||
д а ч у в |
поперечном |
магнитном |
поле в |
безындукционном |
прибли |
жении [28] выясняется, что невозможно выполнить условия од
нородности скоростного поля на |
к а ж д о м |
из концов |
промежутка |
|||
у=±оо. |
Так, |
в одном |
из примеров, приведенных в |
работе [28], |
||
в качестве граничных условий приходится |
полагать |
|
||||
u( + oo) |
= Ui |
х, |
и( — оо) = |
[72 |
х. |
|
|
|
Р |
|
Р |
|
|
VI. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕЯВЛЕНИЯ
В СТРУЙНЫХ ТЕЧЕНИЯХ
§ 1. П Р Е Д В А Р И Т Е Л Ь Н Ы Е З А М Е Ч А Н И Я
В предыдущих г л а в а х были приведены некоторые теорети ческие результаты а н а л и з а плоских М Г Д - с т р у й . Вместе с ре зультатами, описанными в большом числе публикаций, посвя щенных М Г Д - п о г р а н и ч н о м у слою (см., например, литературу, приведенную в работе [1]), они показывают, что теория плоского МГД - пограничного слоя к настоящему времени достаточно хо
рошо развита . В лабораторной практике, однако, |
где |
часто |
|||||
имеют дело с моделированием тех или иных реальных |
М Г Д - п р о - |
||||||
цессов, |
пространственные |
эффекты, |
вызванные |
присутствием |
|||
магнитного поля, |
о к а з ы в а ю т с я настолько существенными, |
что |
|||||
они коренным образом перестраивают плоскую |
(в |
отсутствие |
|||||
поля) |
структуру |
течения, |
причем на |
фоне этой |
перестройки |
иногда становится невозможным выделить явления, предска
занные |
теорией |
плоских |
течений |
(примеры |
такой |
перестрой |
|||||
ки |
приведены |
в |
главе |
V I I I ) . Это в ы н у ж д а е т |
считать, что теория |
||||||
плоских МГД - течений |
имеет ограниченную |
сферу |
приложений . |
||||||||
В |
то |
ж е |
время |
теория |
пространственного |
МГД - пограничного |
|||||
слоя, тем более пространственных струй (следов), |
развита срав |
||||||||||
нительно слабо, число рассмотренных конкретных |
з а д а ч состав |
||||||||||
ляет единицы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
И з |
работ, |
связанных |
с развитием теории |
пространственного |
||||||
пограничного слоя, в первую очередь необходимо |
выделить ра |
||||||||||
боту К а р я к и н а |
[2], в которой рассмотрены автомодельные случаи |
||||||||||
д в и ж е н и я |
жидкости |
в л а м и н а р н о м |
пространственном |
М Г Д - п о - |
граничном слое. В этой работе предполагалось, что внешний по
ток |
з а д а н |
составляющими |
вектора скорости u=U(x, |
z ) , w — |
|||
= W(x, |
z), а в вязком |
трении |
существен, |
к а к и в плоском |
случае, |
||
|
|
а2 |
|
|
|
|
|
член |
с |
-щ^. |
Анализ |
условий |
о б р а щ е н и я |
исходных уравнений в |
частных производных в систему обыкновенных д и ф ф е р е н ц и а л ь
ных уравнений |
позволяет |
получить в о з м о ж н ы е |
способы |
з а д а н и я |
||
величин |
U(x,z), |
W(x,z), |
магнитного поля Hy{x,z) |
и |
функции |
|
g(x,z) |
в переменной автомодельности r\ = yg(x, |
z). |
Р е з у л ь т а т ы |
К а р я к и н а применимы к исследованию пограничного слоя, возни кающего при обтекании со скольжением пластины в поперечном
магнитном |
поле, |
однако |
они могут быть |
использованы |
и |
при |
||
а н а л и з е пристеночных |
струй в духе Н а п о л и т а н о и М а н ц о |
[3], ис |
||||||
следовавших э ф ф е к т ы поперечного течения в непроводящей |
при |
|||||||
стеночной |
струе. |
|
|
|
|
|
|
|
Другой |
класс |
з а д а ч |
о пространственных |
явлениях в М Г Д - п о - |
||||
граничном |
слое |
характерен тем, что внешний поток |
з а д а ' |
|||||
ется лишь |
одной |
продольной составляющей скорости и = U |
(х), |
|||||
но зато становятся существенными градиенты величин |
у ж е |
в |
||||||
двух направлениях (у |
и z). |
Типичным примером такого |
подхода |
|||||
м о ж е т служить анализ |
д в и ж е н и я жидкости |
в пограничном |
слое, |
|||||
о б р а з у ю щ е м с я на линии пересечения двух |
плоскостей [4]. |
u—Uo, |
||||||
Остановимся |
на случае |
однородного внешнего потока |
а невозмущенное однородное магнитное поле направим по оси у
(Ну —Н0). |
Считая, |
что |
продольный |
перепад д а в л е н и я отсутст |
|
вует, м о ж н о показать, |
что д л я этого необходимо |
распределение |
|||
потенциала |
в д а л и |
от пограничного |
слоя в виде |
ф = ц.£/0 Я0 .г. Л и |
неаризуя затем исходную систему уравнений (1Л2) в безындук
ционном приближении |
введением |
U=U—U0, |
V = V, |
W = W, ф = |
||||||
= <$ — \LUQHQZ |
|
и применяя обычные |
допущения теории в я з к о г о |
|||||||
пограничного |
слоя |
(см. главу 1, стр. 20), |
получаем |
следующую |
||||||
систему: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ИоаЯр |
/ |
дт |
|
|
(6.1) |
|
|
|
|
|
р |
\~дг |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
и0 |
|
1 |
др |
1дЧ_ |
|
|
|
|
(6.2) |
|
дх |
р |
ду |
\ |
ду2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1 |
др |
|
d2w |
|
|
|
+ H0H0w |
|
|
|
р dz + v ( ду2 |
|
|
дх |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.4) |
ди |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.5) |
дх |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
из |
которой |
следует, |
что продольная с о с т а в л я ю щ а я |
скорости оп |
||||||
ределяется |
независимо |
от двух |
остальных |
и д л я |
ее |
нахождения |