Файл: Щербинин Э.В. Струйные течения вязкой жидкости в магнитном поле.pdf

необходимо л и ш ь

решить

уравнение

(6.1)

совместно

с

уравне ­

нием

д л я потенциала

(6.4),

после

чего

v, w

и р

определятся

из

(6.2) ,

(6.3) и (6.5).

по z и (6.3) по у и вычитая

Д и ф ф е р е н ц и р у я

(6.2)

(6.2)

из

(6.3) ,

м о ж н о получить

уравнение

д л я дг-составляющей

завих -

dv

dw

реННОСТИ СКОрОСТИ (йх—

~fe~~gjj~ '•

т,

д

(d2u>x

d2ax

\

і^аНо

I

д

дц,

dw

\

U o

^ a

x

= v \ ~ b Y

+

-ЫГ)

+

~ р — V - д Т ' д Т

+ ду-»НоI

'

к о т о р о е

показывает, что в отличие

от немагнитного случая,

где

н а ч а л ь н а я завихренность

потока

рассасывается

б л а г о д а р я

вяз ­

кости, при наложении магнитного поля возникает новый

меха­

низм влияния на завихренность, причем в зависимости

от

з н а к а

dtp

dw

^

~

и -^j-

завихренность

м о ж е т

либо

генерироваться,

либо

по­

давляться .

Другой

в а ж н о й

особенностью

пространственного случая

я в ­

ляется

то обстоятельство,

что в безындукционном приближении

электромагнитный

член

в

уравнении

(6.1) у ж е нельзя,

вообще

СШо2//ю2 / г,

\

говоря,

записать

к а к

—

(и —и),

т. е. электрическое

поде

П р о с т е й ш и м примером

пространственного пограничного слоя

м о ж е т служить

з а д а ч а

об истечении проводящей струи в

пространство

из

бесконечно

длинной

узкой щели,

располо­

женной

под

некоторым

углом

Эо к

направлению

магнит­

ного поля

(которое, к а к

было

обусловлено выше,

направлено

по оси

у).

Будем

искать решение д л я м а л ы х д о б а в о к и и ср в

ф о р м е

u=U(x)f(1]);

^=0(x)F(rl);

^

y v 6 ( x )

^

^ (

Вычислив

соответствующие производные от искомых функ­

ций, получим

из (6.1) и (6.4)

•і/

U0 U

dg

= »HoV

—

-o-dz-f

•

( 6 J )

Д л я

того

чтобы

уравнения

(6.6) и

(6.7)

перешли

в обыкно­

венные

д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы е

уравнения,

необходимо прежд е

всего,

чтобы

коэффициенты в этих уравнениях не

зависели

явным об­

р а з о м

от у и z. Обобщенное условие,

н а к л а д ы в а е м о е

на

функ­

цию g{y,z),

в таком случае принимает

вид

(/п, А, В — постоянные); при этом оба вязки х

члена

в уравне ­

нии

(6.6)

будут иметь один и тот

ж е порядок по

х,

т. е. порядок

величины

£ У б - ( т + 1 ) . О с т а в л я я в

стороне вопрос

о

классе

функ­

ций, удовлетворяющих

уравнения м (6.8), остановимся

на

случае

т=

1, А = 0 , В = 1. Тогда

условия

(6.8) переходят

в

и

° ф

н

и d g

/ R i m

уравнение

(6.7)

становится следующим: F"=f.

П р и н и м а я , что

при

у-+±оо

и

2 - > ± о о возмущение электрического поля, как. и

в о з м у щ е н ие

скорости, стремится к нулю, получаем F'=f, а урав ­

нение (6.6)

— в виде

s 4 ^ = a

= const,

+ N6 2

= -К=const.

(6.12)

дх

и ах

Выберем

м а с ш т а б

величины б

таким, чтобы о с = 1 . Тогда

реше­

ниями

(6.12) явятся

fi=yx

и

U=Ce-nxx-v°-,

Т а к и м образом,

анализ

пространственного случая

свелся

к

у ж е

проведенному

анализу

д л я

плоского

случая, поэтому

повто­

рять

его. здесь

нет

необходимости.

Отличие от

плоского

случая

состоит

в

том,

что

функция

g(y,z),

в х о д я щ а я

в

переменную

т|,

д о л ж н а

отвечать

условиям

(6.9), которые д а ю т

решение в

виде

g = kz + ny

( 6 2 + п 2 = 1 ) ,

где п и k имеют

смысл соответственно sin во и cos 0о, а

бо —

угол

м е ж д у направлением

поля и направлением

щели .

Величина

п а р а м е т р а N =

ff^W

(1-№)=

а ^

°

2

s

i n 2 0

o

pUo

pU0

тс

м а к с и м а л ь н а

при

0 О = - ^ - и

р а в н а нулю при

6о = 0,

т.

е.

макси­

мальное

воздействие

поля

имеет

место,

когда

поле

перпендику­

л я р н о щелевому

источнику. Если

ж е

магнитное

поле

п а р а л ­

лельно

щели,

то

оно не о к а з ы в а е т

воздействия на

скоростную

структуру течения.