Файл: Щербинин Э.В. Струйные течения вязкой жидкости в магнитном поле.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 165

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Г р а н и ч н ы ми условиями з а д а ч и о струе с некоторым началь ­

ным распределением

скорости / 0 , вытекающей в неограниченное

затопленное пространство, будут

следующие:

ї = їо(Ч>1)

при

s = 0;

 

 

/ - > 0 ,

при

s - > o o ;

 

(6.14)

/ - > 0 , F-+-0

при

т ) - > - + ° о

или

£ - > - ± о о .

И с п о л ь з у я

двойное преобразование

Фурье

—оо —со

оос о

F=4~f 2п

 

J

F ехр ( - ion ~ »б£)

dx[dl.

 

 

— со

— со

 

 

 

 

м о ж н о получить

решение д л я т р а н с ф о р м а н т

Фурье в виде

/ = Л е х р [ - ( а Н 5 2 + - | ^ ) 5

] ;

 

F=

i&

-

 

 

 

 

 

f.

 

 

 

О б р а т н о е

п р е о б р а з о в а н и е дает

 

 

f = - к І

I А { А ' 6 ) Е Х Р [ ~ ( A 2 + 6 2 F ^ ) S

+

 

— со

— со

 

 

 

 

 

 

+ і(вч

+ 8£)]йой8;

 

(6.15)

—со — со

і{от\ + 6 £ ) ] dads,

где

Л (а, б) = 2л / / fo (ті, С) ехр ( - іот) - Й£)

— с о — со

Вкачестве начального профиля м о ж н о выбрать, например,

профиль

скорости

на

выходе из

эллиптической

трубы

й =

/«

У2

z2\

 

 

 

 

 

 

 

 

= « m Q l l — ^2 — -^21

либо задаться

 

однородным

в

прямоуголь ­

нике

 

 

распределением скорости. Мы,

однако,

ог­

раничимся, к а к и в работе [5], распределением

 

 

 

Ы л . £ ) =

e x p [ - ( a V +

^ 2 ) ] ,

 

 

 

 

.(6.16)

не з а д а в а я с ь

при этом

вопросом,

к а к оно может

быть получено.

Выбор начального

распределения

в

форме

(6.16)

несколько

уп­

р о щ а е т вычисления;

в то ж е время замена

реального,

ограничен­

ного в пространстве начального профиля скорости некоторым

асимптотическим не может принципиально повлиять

на конеч­

ные качественные выводы .

 

В (6.16) величины а - 1 и b~l м о ж н о р а с с м а т р и в а т ь

к а к полу­

оси эллипса, совпадающего с линией постоянного значения ско­ рости, при этом случай 1 <§: — соответствует эллиптической

струе, сильно вытянутой вдоль направления магнитного поля

(вдоль

i](y)),

случай

" ^ " ^ > ~

струе, вытянутой поперек

поля,

случай а — Ь — круглой в начальном

сечении струе.

 

З а х а р а к т е р н ы й

размер

з а д а ч и

L

примем

расстояние

y = 8i

на оси z—0,

при котором скорость

и

в н а ч а л ь н о м сечении

отли­

чается от скорости спутного потока

Uo на 1 % , т. е. а =

0 , 0 Ш 0 .

Отсюда,

согласно

(6.16),

 

 

 

 

 

 

 

п

Ю0»го0

 

 

 

 

 

v

 

 

 

Г '

 

 

 

 

 

Подставив

(6.16)

в

(6.15), найдем

решение

в форме

 

 

1

 

 

 

 

 

 

г 2 + б 2 +

Na 2

 

4nab

 

 

 

 

 

 

а 2 + б 2

 

 

—со —со

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-И(о-г} + 6£)

е Ы б .

 

 

 

 

(6.17)

Д л я вычисления интеграла (6.17) перейдем к полярным ко­ ординатам о—г cos 8, 6 = rsinQ, dodb = rdrdQ. Это позволяет про­ вести интегрирование по г в пределах от 0 до с» в конечном

виде, а действительную часть (6.17) записать окончательно в следующей форме:

/ - -

L

.

7 ^

( - №

c

o

s 2 9 > f і -

 

J l

exp (

 

) Erf і ( JUL )

U

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(6.18)

где

 

 

 

 

л , i>

•

n

cos2

8

, sin 2 6

.

~

, „

=

'

- j

m = Ticos9 + £ s i n 0 ,

».= -

 

_

- I — T T J -

+ S , E r f i ( 0

 

Je^d?.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4flr

4 0 і

 

 

 

 

о

 

Соответственно

решение

д л я потенциала

приобретает ви д

 

 

 

 

2Я

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Г

sin 9 exp (-Ns cos2

8)

 

/ _

г*

ч .

 

 

 

X

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П р и

N = 0, т. е. в отсутствие

 

магнитного поля,

интегрирование

(6.18)

приводит к [5]:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г

 

 

 

1

1—

 

 

/

-

Л

2

 

 

 

 

 

 

 

 

/=

 

 

 

 

 

 

• ехр /

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

причем

 

множитель

fmo=

,

 

 

 

— ,

 

играет

роль мак -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a b ] l v 2 + A s

]/-Y2 +

4 s

 

 

 

 

 

 

с и м а л ь н о го значения

 

дефекта скорости на оси струи. И з

выра ­

ж е н и я

д л я fmo следует,

что пр и большом

эксцентриситете

эл ­

липса — <gyсуществует

область

значений ~ » 4 s » — ,

 

где f m o ~

 

 

ct

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о

 

а

 

 

 

 

= —

,

т. е. здесь

струя ведет

себя

к а к плоская .

 

Е с л и

ж е

2a]/s

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 s » - i - »

~,

то

f m 0

становится

приближенно

равной

fmo^

 

 

/г\2+£2\

соответственно

/—/moexp I —

1 • Отсюда

следует, что

струя с

л ю б ы м

н а ч а л ь н ы м эксцентриситетом

в ы р о ж д а е т с я в

круглую

струю.

 

 

 

П р и

ЫфО скорость на оси струи

 

 

2it

fm —

1

Г

e x p ( - N s c o s 2 8 ) < i 0

 

2л

/ ~b

'

а

Q + Aabs

 

 

— cos2

6 + — sin 2

 

 

a

 

b

 

 

 

 

 

(

 

а__Ь_

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~ ,

1,1,-1

—

|

,

 

(6.19)

 

 

 

 

 

Ъ

\-Aabs

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

Фі (а, р, у. >п, п) —

в ы р о ж д е н н ы й

гипергеометрпческий

р я д

двух переменных (см. [8], ф о р м у л а (9.261)). Более

простое

выра ­

жение можно получить

д л я

круглой в

начальном

сечении

струи

(а = Ь = 1):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

ехр

( - т - М - - ^ ) -

 

 

 

(6-20>

 

l + 4 s

 

 

 

Здесь /о — функция Бесселя мнимого

аргумента . И з

(6.20)

вид­

но,

что, к а к и

следовало ожидать, в

магнитном поле

простран­

ственная

струя

р а з м ы в а е т с я

быстрее,

чем в

отсутствие поля,

но

гораздо медленнее, чем плоская струя, затухание которой опре­

деляется

в основном

множителем

e _ N s

(см.

п.

3.4

главы

V ) .

В этом состоит одно

из наиболее

существенных

различий

между

плоской

и пространственной струями .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П р и больших Ns

ф о р м у л у

(6.20)

можно

упростить, если

вос­

пользоваться

асимптотическим

представлением

функции

Бес­

селя. В результате

получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l + 4 s

-j/jtNs L

 

 

Л

Ns

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т. е. в магнитном

поле пространственная

струя

затухает

пропор­

ционально —3І2 степени расстояния

и

— '/г степени

N

(рис. 6.1).

Что касается струй

с

афЬ,

то, к а к показывает

рис. 6.2,

при

больших

s

их

м а к с и м а л ь н а я скорость

ведет

себя

т а к ж е , ка к

fm

в струе

с а = Ь, причем

нем в ы ш е значение

N , тем

раньше

по

х

fm~s~3 / 2 . Таким образом,

если

судить

по

поведению

м а к с и м а л ь ­

ной скорости,

то,

к а к

и

в отсутствие

магнитного

поля,

струи

с

а=ф=Ъ в ы р о ж д а ю т с я

в струю с а = Ь.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Перейдем

теперь

к

описанию

д е ф о р м а ц и и

ф о р м ы

струн

в

магнитном

поле,

о

чем

можно

судить

по

линиям

постоянных

значений

скорости

( и з о т а х а м ) .

Последние

строились

следую­

щим образом . И н т е г р а л

(6.18)

рассчитывался

на

Э В М

при за­

данном

значении

s на лучах т] = &£, £ =&n

(OsS^&^l),

тем самым

определялись

профили

скорости

на

этих

лучах . П о

найденным

п р о ф и л я м скорости затем

у ж е нетрудно

построить линии

равных

скоростей.

В

расчете

з а д а в а л и с ь

следующие

значения

пара ­

метров:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

—

0, 1,2,5,

10;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а

и

6

— а =

6 = 1 ;

а =

0,5,

 

6 =

1;

 

 

 

 

 

 

а =

\,

6 =

0,5;

 

а = 0,1,

6 = 1 ;

а=\,

6 =

0,1.

 

 

 

 

 

 

Ha рис. 6.3 и

6.4

приведены

изотахи

д л я

круглой в

начальном

 

сечении

струи

(а = 6 =

1).

К а к

видно

из

рисун­

ков,

к р у г л а я

струя

 

с н а л о ж е н и е м

поля

становится

эллип ­

тической,

 

причем

 

б о л ь ш а я

полуось

эллипса

ориентируется

по

полю

(на всех

рисунках

н а ­

 

 

 

 

 

 

правление

 

магнитного

поля

 

 

 

 

*5 InS

 

совпадает

 

с

осью

ті).

Р е з у л ь ­

 

 

 

 

 

 

 

т а т ы расчета

т а к ж е

показыва ­

 

 

 

 

 

 

 

ют,

что

отношение

 

большой

 

 

 

 

 

 

 

полуоси эллипса к мало й полу­

 

 

 

 

 

 

 

оси увеличивается с ростом N

 

 

 

 

 

 

 

при фиксированном s и с рос­

 

 

 

 

 

 

 

том

s

при

фиксированном

N .

 

 

 

 

 

 

 

Отличительная

особенность

описываемой М Г Д - с т р у и

со­

стоит ещ е в следующем .

К а к

известно, немагнитная

струя

асимптотически

затухае

т с

удалением от оси (в рассмат ­

риваемом

случае

—

экспонен­

ц и а л ь н о с

г2 , где

Г 2

= Т ) 2 + ^ 2 ) .

П р и н а л о ж е н и и

поперечного

магнитного

поля

появляется

резко очерченная линия нуле­ вой скорости, за которой рас ­ полагается зона обратного те­ чения, ориентированная в на­ правлении, перпендикулярном полю (по оси £ ) . Физический смысл появления зоны обрат ­ ных скоростей понятен: инду­ цируемый в струе поперек маг­ нитного поля электрический ток большой плотности вызы ­ вает т о р м о ж е н и е жидкости

Рис. 6.1. Зависимость осевой скорости

в круглой в начальном сечении струе (а =6=1 ) от расстояния до началь­ ного сечения при различных N.

•5 InS

. -5

\ - -І . >

25;

-10

Рис. 6.2. Зависимость осевой скорости от расстояния що начального сечения в струях, начальный эллипс которых ориентирован различным образом от­ носительно направления магнитного поля:

-і- а=1; 6=0.1;

— а=0,1;

Ь=>1.

Смотрите также файлы