Файл: Щербинин Э.В. Струйные течения вязкой жидкости в магнитном поле.pdf

действия

на возмущения с

различными х а р а к т е р н ы м и

р а з м е ­

р а м и вдоль и поперек поля .

§ 4 . В З А И М О Д Е Й С Т В И Е

ПЛОСКОЙ П О Л У О Г Р А Н И Ч Е Н Н О Й СТРУИ

С Т В Е Р Д О Й ПОВЕРХНОСТЬЮ

П р и

работе с ж и д к и м и

м е т а л л а м и и электролитами, к а к

правило,

приходится иметь дело с ограниченным пространством,

так что течения, в частности

струйные, весьма ощутимо

испыты­

видного

н а с а д к а конечного

р а з м е р а

в

трубу

прямоугольного

сечения, когда

струя

взаимодействует

не только

со стенками,

ог­

р а н и ч и в а ю щ и м и развитие плоской струи в поперечном

н а п р а в ­

лении, но и с д в у м я

другими

стенками

трубы,

о п р е д е л я ю щ и м и

р а з м е р

я д р а потока,

где

течение

м о ж н о

считать

плоским

(п о

крайней

мере,

в

отсутствие

п о л я ) .

К а к п о к а з ы в а ю т

опыты

.(см.

главу

V I I I ) ,

именно

послед ­

ними в значительной мере опреде­

ляется х а р а к т е р

д в и ж е н и я

струи

в

прямоугольной

трубе

в

магнит­

ном поле.

В связи с этим рассмотрим

з а ­

дачу об истечении струи проводя ­

щей жидкости из щелевого источ­

ника,

расположенного

вдоль

оси zr

в

спутный

поток той

ж е ж и д к о с т и

с

характерной

скоростью

U0

[7].

Рис. 6.12. Схема взаимодей­

Перпендикулярно

щели

установ ­

ствия пограничного слоя

на

лена

полубесконечная

плоская

изо­

пластине

с плоским

струй­

л и р о в а н н а я

пластина .

С х е м а

т а ­

ным пограничным

слоем.

кого течения

п о к а з а н а

на

рис. 6.12.

Магнитное поле предполагается од­

нородным

и

ориентированным

п о

оси у.

П р и таком

течении

у

поверх­

слоев.

Решение з а д а ч и позволит

оценить влияние на струйное

течение

стенок трубы, п а р а л л е л ь н

ы х магнитному полю.

Д л я

дальнейшего

и з л о ж е н и я

уравнения

(6.1)

и

(6 . 4) удобно

записать в форме

£ і й = - ^ — ( — • — UQB \ ;

(6.23')

р

^ dz

I

L 2 C P

= B

|

^

. (6 . 23")

где операторы Li имеют вид

д

Id

д°-

д

\

аВаВ

2

т

д

2

д

2

2

2

2

L l ~ U o ' d x

"\ду2'

dz2>

'

р

' " *

ду2

'

dz2

Граничные условия д л я этой

системы

следующие:

при z = 0 — условие прилипания

U= —

U0;

дй

(6.24)

при

z->-oo

и=0.

у=0 — - = 0 ; при у-+±оо

ду

К р о м е

того, при z—>-оо в н а ч а л ь н о м сечении

(х—0)

д о л ж е н быть

з а д а н

импульс струи

Jl0:

оо

lira

[ ййу=-^-.

(6.25)

— СО

Что

касается

граничных

условий

д л я

потенциала

<р, то из усло­

вия электроизолированности

пластины

следует

~дг

z =o=°>

<6 -2 6 >

а из условия

равенства

нулю токов вне струйного

пограничного

дер

~дг Z->co = UoB.

(6.27)

Систему уравнений (6.23) будем р е ш а т ь итерационным мето­

дом . З а д а в а я с ь каким - либо распределением ~ ,

м о ж н о найти

струи. Молено показать,

что

такому

распределению

поля

отве­

чает

4 r 2

- = u B e r f £ >

(6.28)

dz

где

£ =

Ух

k2=~-.

З а м е т и м

т а к ж е ,

что это

решение

наряду

с

4

v

й = Uo(&dІ,— 1)

является

точным

решением

уравнений

(6.23)

с

у к а з а н н ы м и граничными условиями

д л я

случая

отсутствия

струи.

П о д с т а в л я я

(6.28) в

(6.23'),

м о ж н о

получить

решение

д л я

возмущения

скорости й в нулевом

приближении:

— 0-N.T

й о = L/0 (erf С - О +Ain

е-чг erf £.

У*

Здесь

введены

следующие обозначения:

N = ^тг,

т і = - ^ ,

А —

_

J0k

Найденное распределение

скорости

м о ж н о использовать

д л я

построения

первого приближения: В

этом

случае

неоднородная

часть уравнения

(6.23")

записывается

к а к

Ш * .

г . Г t _ < < £ ± ^ 1 ,

у'ях

х

«-

X

J

а решение д л я ф в первом приближении

таково, что

дг

f x

4

t

1

Т а к и м образом,

в

этом

приближении

скорость определяется

из

у р а в н е н и я

L ^

N L

V (erf с - 1)

5 (

і _ і

_

) .

Гц = u0

(erf I -

1) + Ain

—

—

e-n> erf I+A

11 —

—

I .

yx

yx

N

t

I

Аналогично

во втором

приближении

~^=U0B

erf М

t

) + — АВ

— — £ I

t

) +

дг

v

'

2

іх

х

1

Nxe~Nx

J

l+e-t

n e - t -

\

\

(6.29)

л п

+AB

=—Ы\

+ 2

I .

Іх

b

'

*

t2

i*

'

Г р а ф и к

функции

F —

-

c/0 B erf £ j д

л

я N x = l

в

зави ­

симости от £ при различных

значениях ті и з о б р а ж е н

на

рис.

6.13

без учета

последнего

члена

в

(6.29). М а к с и м а л ь н а я

добавка,

в ы з ы в а е м а я

последним

членом,

имеет

место приблизительно

при

т ] = 2

и не превышает

15%

от точного значения, поэтому при рас ­

чете й во втором приближении этим

членом

м о ж н о пренебречь.

Н а этом

ж е рисунке

прерывистой

линией показан вид кривой ф

при т| = 2 с учетом

последнего

члена

в

(6.29).

й

Окончательно во втором приближении решение

д л я

полу­

чим в виде

-

e~Nx

Nxe~Nx

(\—е~1\

П2 = и0 (erf t-1)

+АУл

—=-

e-'i! erf І+А

—

£ 4 —

'-

+

ул

ух

t

З

я

(Nx)2e-®x

fr

*

( 1 - е - ' )

'

+ —A

'

t

4

f x

r>

J .

*

ы2 —J70

(erf £—1)

• при

. .

,

Вид

функции

Ф =

—

_

__

т| = 0 (т. е. профиль

АУл/Ух

скорости

на оси струи)

д а н

на рис. 6.14. И з рисунка

следует,

что

при

фиксированном

х

с

ростом

магнитного

поля

дефект

ско­

тины, причем при N x = l , 5 скорость здесь более чем вдвое

пре­

вышает асимптотическое значение скорости. Аналогичный

э ф ­

фект обнаружен экспериментально при изучении истечения

плос­

кой струи проводящей

жидкости в прямоугольный к а н а л

с

изо­

л и р о в а н н ы м и стенками

(глава V I I I ) .

З а м е т и м ' в

заключение,

что описанный выш е

итерационный

процесс,

вероятно,

м о ж н о проводить при л ю б ы х значениях N ,

так как при N-^-oo

решение

з а д а ч и

к а к

д л я

~ , т а к

и д л я и

стре­

мится

к

решению

этой ж е

задачи,

но

в отсутствие струи.

Д р у ­

гими

словами,

при

N - v co распределение

потенциала

стремится

к распределению в нулевом приближении

(6.28). П р и

N-»-0 по­

лучаем решение чисто гидродинамической

з а д а ч и :

й = ї / о ( е г Ц - 1) + ^

~ e - , l J erf £.

0

0,2 0,4 0.6

ОЙ

і 1,2 Ф

Рис. 6.13. Распределение

возмущения

Рис. 6.14. Профиль скорости в плос-

электрического

поля на

различных

кости

симметрии

при

различных Nx.

расстояниях от

плоскости

симметрии.

Аналогичным

о б р а з о м

м о ж е т быть т а к ж е решена з а д а ч а о

взаимодействии

следа з а цилиндрическим препятствием, образу ­

ю щ а я которого

ортогональна плоской поверхности, с погранич­

ным слоем, р а з в и в а ю щ и м с я

на этой поверхности.