Файл: Щербинин Э.В. Струйные течения вязкой жидкости в магнитном поле.pdf

рокий круг конкретных задач, часть которых

рассматривалась в

гидродинамике

непроводящей

жидкости как в точной постановке

[10—17], т а к

и

в

постановке

теории

пограничного

слоя

[18—20].

Н и ж е будет

показано,

что внешнее

магнитное

поле

(естественно,

д л я

тех случаев,

когда

имеет

смысл говорить

о магнитном

поле

к а к

о з а д а н н о м

извне)

может з а д а в а т ь с я в

различных

вариан ­

тах

и, таким

образом,

круг з а д а ч существенно расширяется, т а к

к а к любое из конкретных течений по мере необходимости

может

изучаться в к а ж д о м из

вариантов з а д а н и я магнитного поля. М ы

остановимся здесь л и ш ь на некоторых наиболее, на наш

взгляд,

интересных

з а д а ч а х .

2.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КЛАССА ТОЧНЫХ РЕШЕНИЙ

Д л я течений,

в которых

давление не является

характерной

нений

(1.13),

(1.14), будут цо, v, р, v m = ' a ~ V o _ 1 и Т Р И координаты

г, ф, z

(для

примера рассматривается цилиндрическая система

р а з м е р н ых постоянных: соответственно

А И А%, • •., А„

и

ВиВ2,...

. . . , Bk.

Число этих постоянных зависит

от условий

конкретной

задачи

(граничных условий, геометрии границ, з а д а н н ы х

ин­

тегральных характеристик потока и т. д . ) .

Размерности всех перечисленных

величин

д о л ж н ы выра ­

ж а т ь с я

через четыре основные единицы

L, Т, М

и / . З а м е т и м , од­

нако, что величины |Хо и р входят в уравнение

(1.13)

л и ш ь в

ком­

бинации

— , не зависящей от массы М. Это

обстоятельство

д а е т

Р

ности всех остальных величин выразить л и ш ь через три

основ­

ные единицы L , Т и / при

условии, что постоянные

АП,

Ви

т а к ж е

не зависят от М. Д а л е е в

системе уравнений (1.13), (1.14)

вели­

чину Н можно заменить

комбинацией h = ~^J~^~H

и, таки м

обра ­

ти

г>

очередь, вместо р а з м е р н ы х постоянных

Ви,

х а р а к т е р и з у ю щ и х

поле

Н, можно

ввести

постоянные

С й =

"Вк,

характеризу ­

ющие поле h.

П р е д п о л о ж и м , что формулы размерности

д л я

Л,-,

имеют

вид

[Ai] =

L

T

;

[Cj] = L

S T \

Тогда

число

основных единиц

измерения

сократится

до двух

(L и

Т)

и, согласно я- теореме,

совокупность

подобных

течений

будет

определяться

5+n+k—

2

независимыми

п а р а м е т р а м и :

Р = — — »

т ) = — ,

ф, б ь . . . . , б„, S i , . . . ,

Sn,

Vm

Г

где .

8i=Air-aiZ-biv-ci,

Sj =

Cf-aiZ-biv-ci,

cii + bi= Pi + 2qu

Ci=-qu

aj+bj=pj

+ 2qj,

c}=-qj.

Число

независимых

переменных м о ж н о сократить, положив

ai = bi = ctj = bj = Q, т. е.

pi+2qi=pj+2qj=0.

Последнее означает,

кости:

[Ai] = vqi,

[С}] — \Яі.

Что касается

размерности Bj,

то из

Sj = Cjv

£ = I — )

Bjv 1

следует, что

если положить

2yj =

характерный

ток /.

Согласно

теории подобия

и размерности

[21], искомые

функ­

ции можно теперь представить в виде

Vr=~[((p,7])

,

К р =

у / ( < р , ri) , Vz=

у г в ( Ф ,

TJ)

,

(2.9)

—

= -т4Г(ф.іі) .

Я г

= — ^ ( ф , т і ) , Я ф = — 1 ( ф , п ) ,

р

Г

г

г

Я г = 1 ц 7 ( Ф , г ] ) ,

I H I 2

где

введено

т а к

называемое

полное

давление

p,n=p + |xo ! — L - .

2

Система уравнений в частных

производных (1.13), (1.14)

перей­

при подстановке в нее в ы р а ж е н и й (2.9) остановиться

на

зависи­

мости всех функций в (2.9) лишь от одной переменной

(ф либо л.).

В первом

случае полученная

система (штрихи означают

диффе ­

ренцирование ПО ф)'

lf'-j2-l2

= 2g+f"+S{LF'-L2-F2)

;

(2.10)

(2.11)

F'=$(lF-fL)

•

(2.12)

w"+w = lw'-fw-S(W'L-FW)

;

(2.13)

W"+W=$(wF-fW+lW'-Lw')

;

(2.14)

/ = const

= a ; L = const —b

(2.15)

щие скорости и магнитного поля

определяются

независимо от

^ - составляющих . Последние находятся из (2.13)

и (2.14) после

того, к а к будут найдены Д /, F и L .

Во втором случае (функции в

(2.9) не зависят

от ф) система

поля. П р е ж д е чем записать

систему уравнений д л я

осесиммет-

ричных течений, заметим,

что функции f и до, F и

W связаны

и>' = ч\Г

и

W' =

i\F',

которые

автоматически

удовлетворяются,

если

положить

/ =

и> = 1\у'—$,

F=4T,

W=i\4T-w.

(2.16)

Уравнения

движения,

записанные

через -ф и

будут

иметь

вид

-

г|/2 -

грф" - I 2 = 2g + r\g' + Зттф" +

(1 + г,2 ) ф ' "

-

- 5 ( T /

2 + W

'

+ L 2

) ;

(2.17)

-

ті W2

+ Щ")

+ Щ' =

- g' - ф + т\Ч>' + (1 + 4г,2 ) 4>"

+

+

T] (1 + ті2 )

- S[TJ ( T ' 2 + W " )

-

W 1

;

(2.18)

-tyl=(l+4)l"

+ 3y]l'-SVL'

(2.19)

а уравнения индукции

—

(1 + т]2 )

+ З т і ^ " = р (Ч/гр" -

Т ' Ч ) ;

(2.20)

т) (1 + г,2 ) Т " ' +

(1 + 4т)2 )

+ тіТ 7

-

Y = р[ті W

-

-V'^+Wq'

+ W'ty];

(2.21)

(І + т}2) L"+ЗцЬ'

= р ( 2 ^ 7 + W

- 2i|/L - i|>L').

(2.22)

Исторически анализ осесимметричных течений в р а м к а х вы­

шеописанного класса точных решений связывался

со сферичес­

кой системой

координат

[10—16]. М ы

употребили

здесь

цилин­

дрическую

систему

д л я

того,

чтобы

показать,

что ка к

плоские

течения

(типа

Г а м е л я ) ,

та к

и

осесимметричные течения

(типа

С л е з к и н а — Л а н д а у — Я ц е е в а — С к в а й р а ) п р и н а д л е ж а т

к одному и

тому

ж е

классу

точных

решений. Однако, чтобы иметь

возмож ­

ность воспользоваться

у ж е имеющимися

решениями

конкретных

з а д а ч

общей

и

магнитной гидродинамики,

а т а к ж е

с

целью об­

легчения

включения

новых

з а д а ч в вышеописанный

класс

точ­

сферические

координаты .

(R,

В сферической системе

координат

0, ср)

исследуемый

к л а с с точных решений характеризуется

следующим

видом поля

скоростей, магнитного поля и давления:

У я = - ^ Ф ( в ) ,

У е = ^ / ( 6 ) ,

Vv=^l{Q),

^

=

~ ё

( В ) ,

Я я = ^ Ф ( Є ) , Я 9 = ^ ( Є ) ,

Я Ф = - ^ І ( Є ) ,

причем функции ф(0)

и / ( 9 ) , Ф ( 9 )

и F(Q)

о к а з ы в а ю т с я

связан ­

ными

посредством

уравнений

неразрывности

(1.5)

соотноше­

ниями

<p + f

+ c t g 9 f = 0 ,

<$ + F'+

ctgQF =

0 .

И м е я это в виду, получим уравнения

движения

Г 2 +

3 ctg 0//' + / f " +

' 2 =

-2g

+ f"'

+ 2 ctg 9 Г -

( 2 +

c t g 2 0 ) f '

+

+

ctg 0(1 +

ctg2Q)f

+ S(F"-+3ctgQFF'+FF"

+

L2);

(2.23)

ff- c t g 9 / 2 = - g ' - / " -

c t g 9 f ' + ( l +

ctg 2

9 ) / +

+S(FF'-

c t g 6 L 2 )

;

(2.24)

/ ( / ' + ctg Ql)=l"+

c t g 0 / ' - ( l

+

c t g 2 0 ) / + S f

( L ' +

ctgflL)

(2.25)

и уравнения

индукции

f ' " + 2 F " c t g 9 - ( 2

+ ctg2$)F'+

ctg 0 ( 1 +

c t g 2

9 ) F =

=

p [ctg 9 ( f F ' - F f )

+fF"-Ff'];

(2.26)

F" +

ctg

BF'-

(1 + c t g 2 0 ) F = p ( f F ' - F f ' ) ;

(2.27)

L"+

ctg 0 1 ' - ( 1 +

c t g 2

9 ) L =

p(2L/ ' + L / f + / / J F

+

+

ctg QLf-

ctg 0/F) .

(2.28)

Связи м е ж д у искомыми функциями в обеих системах

координат

легко

получить, если

воспользоваться в ы р а ж е н и я м и

составляю ­

щих вектора в цилиндрических координатах

через

составляю ­

щие в сферических

координатах . Это

даст

/ (ті) =

-

sin 2

0/' (0),

w (ті) =

-

sin .0 cos

0/' (0)

- /

(9)

,

/(*Ti)=sin 9/(9) , /7 (Ti) = - s i n 2 0 F ( , 0 ) ,

W{t[)=-

s i n 0 c o s 0 F ( 0 ) - F ( 9 )

, L ( t ] ) =

s i n 9 L ( 0 ) ,

g(i\)=

s i n 2 9 £ ( 9 ) .

В

свою

очередь,

можно

получить "ф(т|) = / ( 9 ) ,

^(ц)

—F(Q),

z

что

в совокупности

с очевидными соотношениями

Т]= — = ctg в