ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 181
Скачиваний: 0
<*"--*T«i>{*(-fr[(-fr-(i-r]}= і
-Ї - [ 2 - О ( 4 Г ( Т Г ] Х
х»р{*(-гГ[(-і-Г-(-гГ]}:
, ( ! ) _ |
(1 + ц)о-о62 / ft V / . |
|
|
|
( 4 У |
X |
|
|
( l6 ) T v«(Pi-P«) |
|
|
' - ( - J O * ( " Г ) ' |
|
|
|
х в р { * ( 4 ) - [ ( ^ - ) - - і ; + |
(7.58) |
||
+ * t ( - f ) - - ' ] } = |
|
|
|
|
й Л ««І V. (Pi-Pi) |
|
|
x |
[ Ч І П |
X |
|
|
,1 + т |
Р . |
|
Кт Г - ( 4 П
*Н * ( т Г [ ( т Г - ' і +
+* [ ( 4 Г - ' ] } ;
|
« ? ' - » - г « р { * ( 4 Г [ ( т ) : |
+ |
|
|
|
C = a a i [ 2 - 3 ( i ) - ] e x p { 3 P , ( A ) " . x |
|
||
|
х [ ( - ї - Г - і ] + * [ ( І Г - ( - ї - П } ; |
(7.59) |
||
|
|
|
|
|
|
(2) _ (1 + |
Ц)°"о/ 6 |
|
|
|
«г |
( 4 - ) ( 4 ) ( - г Г * |
|
|
х |
Ч Ч І Г |
[ Ш " 1 - ' H 4 f )*'-•]) |
|
|
|
v . Э.+l |
|
|
|
і] +
(7.60)
л <3) _ |
„(3) . |
(3) _ |
1 + И - _(3) |
Таким образом, найдены компоненты напряжений и радиаль ных деформаций в отдельных зонах для любых значений пара метров рх и р2> зависящих от упрочнения материала. Найдем теперьУзначения этих параметров в нашем случае для зон а ^ г ^ d и d «g г «s b. Для этого сначала необходимо установить пределы изменения переменной t
|
|
|
|
Or |
|
|
в |
этих |
упруго-пластических зонах. В рассматриваемой |
задаче |
|||
(п. |
30) |
of |
>> 0 |
во всей упруго-пластической |
и внешней |
упругой |
области, |
а ов, |
начиная от некоторого г >>а, |
сначала возрастает, |
|||
а потом убывает по абсолютному значению, оставаясь отрица тельным. Из этого следует, что в данном случае могут быть ин тересны лишь отрицательные значения переменной t. Нетрудно также установить пределы изменения этой переменной. Действи тельно, при d ^ г ^ b по формулам (7.59) имеем
и, следовательно,
i - i - 8 ( - f . y \
Откуда при
r - * / = l _ 3 ( - f ) -
г= Ь; t = —2.
Сдругой стороны, при г = а составляющая ов, как увидим ниже,
будет положительна и мала по величине по сравнению с ог |
= о0, |
||
в силу |
чего соответствующее значение Сбудет находиться |
вблизи |
|
—0,9, |
т. е. можно принять, что в рассматриваемой нами задаче пере |
||
менная t будет изменяться в |
интервале |
|
|
|
—2 ^ |
f < —0,9 |
|
и, следовательно, |
при интересующих |
нас значениях |
т ~ 16 и |
||||
т — 215 знаменатель соотношения |
(7.51) не будет обращаться |
||||||
в нуль. Отметим, однако, что правая |
часть соотношения |
(7.51) |
|||||
представляет |
многозначную функцию, |
обусловленную |
наличием |
||||
|
|
a r c t g 2 ^ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y ( Y - l ) |
|
|
|
|
|
" * + 4 - ( 3 Y - 2 ) ' |
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
< 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y2 У2 у + */, |
Л Р о б н о е ч и с л о . |
|
|
|
|
||
Как это общепринято, используем лишь главное значение |
|||||||
arctg^=J-. |
Что же касается |
второй |
из этих функций, |
то при |
|||
т = 16 имеем |
|
Уі (Ті—і) |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||
|
|
І , |
4 l V i - 2 Y i + 4 / t |
|
|
||
|
|
; + _ I _ ( 3 Y l - 2 ) ] |
|
~ |
|
|
|
|
^(t |
+ 0,594)0 Д 9 7 |
«* (* + |
0,594)v » = t\'*. |
|
|
|
Последнее выражение при заданном / имеет четыре комплексных
значения корня и одно вещественное отрицательное, равное — Комплексные значения должны быть отброшены, так как функ ция у в выражении (7.51) имеет лишь вещественные значения. Таким образом, для зоны, где тх — 16,
|
- i VU\ exp (о,953 arctg 2 L ± 1 \ |
|
|||||
|
fCiy= |
, |
— — |
|
|
(7.61) |
|
|
|
у ф + |
0,594 |
|
I ) 0 ' 6 5 2 |
|
|
В табл. 10 приведены значения функции — |
, |
определенные |
по |
||||
формуле (7.61) в интервале —1,7 |
t ^ —0,9. |
Там же даны зна |
|||||
чения этой |
функции, |
найденные |
по формуле |
(7.52) при Ах |
~ |
||
= —2,43/, |
р = 1,21. |
|
|
|
|
|
|
Непосредственно видно, что максимальная погрешность, полу |
|||||||
чающаяся |
при применении |
аппроксимирующей |
формулы (7.52), |
||||
не превосходит 4%. |
|
|
|
|
|
|
|
В зоне d ^ г «с Ь, где т а = 215, функция |
|
|
|||||
[ t + ± (3 Y 2 - 2)] |
~ (* + 0,508)^ = Ф |
|
|
Таблица |
10 |
Таблица 11 |
||
Значения функций |
y~j |
Значения функций — |
У5=ї |
|||
при изменении аргумента |
|
|
||||
при изменении аргумента |
||||||
в интервале — 1,7 |
^ -g: — 0,9 |
в интервале — 2 -g: t ^ |
— 1,4 |
|||
t |
|
і |
t |
і |
|
|
|
(7.61) |
(7.52). |
|
(7.62) |
(7.52) |
|
—0,90 |
0,831 |
0,816 |
- 1 , 4 |
- 0,422 |
0,410 |
|
— 1,0 |
0,726 |
0,726 |
||||
—1,5 |
0,384 |
0,408 |
||||
—1.1 |
0,631 |
0,643 |
||||
|
|
0,371 |
||||
—1,2 |
0,560 |
0,570 |
- 1 , 6 |
, 0,348 |
||
— 1,3 |
0,484 |
0,505 |
—1.7 |
0,319 |
0,331 |
|
—1.4 |
0,430 |
0,448 |
- 1 , 8 |
0,292 |
0,297 |
|
- 1 , 5 |
0,382 |
0,398 |
||||
- 1 , 9 |
0,269 " |
0,266 |
||||
- 1 , 6 |
0,344 |
0,352 |
||||
—2,0 |
0,249 |
0,238 |
||||
- 1 . 7 |
0,312 |
0,312 |
||||
|
|
|
||||
для каждого отрицательного значения t будет иметь лишь одно
вещественное отрицательное значение — у \ti\- Аналогично пре дыдущему для этой зоны получим
|
|
- |
»УГГ| exp (о,875 arctg |
(7.62) |
|
|
|
С і У ~" |
7 yA| t + 0.508І (t* + t + |
||
|
|
Ґр*3 |
|
||
В |
табл. |
11 даны значения функции — |
определенные |
по |
|
формуле (7.62), а также ее значения по формуле (7.52) при Л 2 |
= |
||||
= 2,15і, р 2 |
= 1,10 в интервале —2 t;C t ^ |
—1,4. |
|
||
В |
данном случае погрешность, даваемая |
формулой (7.52), из |
|||
меняется в пределах от —4,5 при t = —2 до 3,8% при t = —1,7.
Наибольшая |
погрешность |
в |
+ |
9% имеет место при t |
= —1,4. |
||
Таким образом, имеем следующие значения параметров |
р\ и р 2 |
||||||
для упруго-пластических зон: |
|
|
|
|
|||
|
a.s£ |
d; |
Pi = |
1,21; х х |
= 0,826; |
|
|
< |
d < г < |
b; |
р 2 |
= |
1,10; х 2 |
= 0,910. |
|
Далее в формулах (7.58)—(7.60) остаются неопределенными величины а 0 и Ь. Для их определения имеем условия:
г|)(Ь)=1; 1
(7.63)
•u^(a1) + \u^(a)\ = aeip\
Первое из этих условий в соответствии с (7.40) в нашем случае
напишется |
в виде |
|
|
|
[of> (Ь)}2 - [о<2) |
(Ь)] [о? (Ь)] + [а9 |
2 ) (Ь)}2 = al |
Подставив |
сюда значения |
сг<2) (Ь), ст<2> (Ь) |
по формулам (7.59), |
получим |
|
|
|
+ 3P,[(-f)"'-l]} = 0,. |
(7.64) |
Если иметь в виду соотношения (7.23) и (7.58), второе из усло вий (7.63) даст
Г Г 0 / Ъ V, (Рі-рг )
X ехр{зР , ( 4 ) - [ ( 4 ) - _ 1] + 3 Р ! [ ( 4 ) - _ !]}-«•».
Подставив сюда значение о 0 из (7.64) получим уравнение для определения радиуса пластической зоны Ь:
1
— ехр + Рч v
где |
|
+ Т ^ Т ( р Т ] ) Л |
|
|
|
fr-n-V')1'-'' |
= |
0 = 1 3 * ' |
|
( 7 |
- 6 5 ) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р = —-; Л |
= |
|
|
|
|
|
|
|||
|
Последнее при £ = 2-Ю |
6 |
кГ/см |
; |
cr = |
4050 |
кГ/см |
; |
р. = |
0,3; |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
s |
|
2 |
|
|
|
|
р! |
= |
1,21; |
р2 |
= 1,10; xt |
= |
|
0,826; |
х 2 = |
0,910; |
а = |
2 |
сж; |
d = |
||
= |
2,6 |
сж; а |
= |
125-Ю"7 |
; |
Тк |
|
— Т0 |
= 600° С вместе с |
(7.64) дает |
|||||
Ь = 3,42 сж; 0 О = 4910 |
|
кГ/см2. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Зная величины 6 и о0, |
|
по формулам (7.23), (7.58)—(7.60) можно |
||||||||||||
построить кривую ег радиальных деформаций. Нетрудно при этом уточнить интервал изменения переменной t. По формулам (7.58) имеем
16.
Таким образом, в рассматриваемой нами задаче переменная t из меняется в интервале
- 2 = = : / < |
—0,884. |
Полученные здесь результаты показывают, что учет упрочне |
|
ния металла, в кольце a ^ r ^ d |
дает значительное увеличение |
