ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 209
Скачиваний: 0
Если из теплопроводящего тела вырежем пластинку малой толщины h двумя плоскостями, нормальными к оси г, и в его элемент hdxdy в начальный момент времени внесем тепло Q в кал, то при условии, что боковые поверхности этой пластины непро ницаемы для тепла, мгновенный линейный источник тепла с ин тенсивностью
Q1 = -J- кал/см
создает плоское температурное поле (2.4). Оно используется для изучения температурного поля, возникающего при сварке тонких листов.
Плоский источник мгновенного действия
Возьмем бесконечное теплопроводящее тело и в его элемент, представляющий бесконечный плоский слой толщиной dx, вы рождающийся в пределе в плоскость yz, в начальный момент внесем тепло, равномерно распределенное по его площади с ин тенсивностью Q2 в калісм2. Температурное поле, вызываемое этим плоским источником, можно найти суммированием полей мгновенных точечных источников, распределенных по всей пло скости yz. Полагая
|
|
dQ = Q2 dy dz |
|
||
и используя |
(2.3), |
получим |
|
|
|
оэ |
со |
|
х2+у2+г2 |
|
X2 |
Т = \ |
Г |
Q^dydz е |
ш |
= |
( 2 6 ) |
J |
J cv(Anatfl% |
|
|
cy(inat)1'2 |
|
—со —oo
Таким образом, температурное поле мгновенного плоского источ ника зависит лишь от расстояния \х \ до плоскости yz источника и изотермическими поверхностями являются плоскости, парал лельные плоскости yz. Например, если возьмем теплопроводящее тело в форме бесконечно длинной прямоугольной призмы с пло щадью поперечного сечения F, боковые грани которой непро
ницаемы для тепла и в элемент его объема Fdx |
в начальный момент |
внесем тепло с интенсивностью Q2 в кал/см2, |
то температура в лю |
бом его поперечном сечении | % | будет постоянна и определится по формуле (2.6). При этом наибольшая температура в любом
сечении \х \ будет |
иметь место в момент времени |
|
t 1 г + г т а х — ~%Г |
и для нее получим |
|
Т т а х = = су(2яе)1'2 |
|*Г |
6. ИСТОЧНИКИ НЕПРЕРЫВНОГО ДЕЙСТВИЯ Точечный источник непрерывного действия
Возьмем бесконечно большое теплопроводящее тело и в его точке о, с которой совместим начало координат, в момент t = О поместим точечный источник интенсивности q, действующий не
прерывно в промежутке времени 0 |
т «g t |
Обозначим его ин |
тенсивность в промежуточный момент т через |
q (т). Температур |
|
ное поле точечного источника непрерывного действия можно полу чить наложением полей элементарных мгновенных источников, заполняющих интервал (0, t). Действительно, температурное поле
мгновенного точечного |
источника |
с |
теплосодержанием dQ |
= |
= q (т) &%, помещенного |
в точке п |
в |
момент т, определится |
по |
формуле (2.3), если туда вместо t подставить время действия этого источника (t — т). Суммируя температурные поля всех таких эле
ментарных |
источников, |
вносимых в точку о за период от т = О |
||
до т = t, |
получим температурное поле |
точечного источника не |
||
прерывного действия: |
|
|
||
|
T(R |
t)= |
1 Т ) d X |
* 4 а « - т ) |
|
|
|
JF сму Г4[-яаІГЯ(it(t — тт ) ] 3 / |
2 |
Для источника |
постоянной интенсивности будем иметь: |
|||
|
T(RJ) |
= |
Я-щ- [ |
(2.7) |
Введя новую переменную |
|
|||
где при изменении т в пределах от 0 до t переменная г\ изменяется в интервале
—— ^ ТІ <: оо,
Aat 1
получим
со
Л1
Aat
|
R2 |
|
Вместо того чтобы интегрировать от |
до оо, можем интегриро- |
|
D2 |
|
|
вать от -^j до нуля, а затем от 0 до оо. При этом получим |
||
/ |
_51 |
\ |
/ со _ |
Ш _ \ |
Первый |
из этих несобственных |
интегралов равен У"я, а второй |
равен |
, |
D |
где функция Ф называется интегралом вероятности Гаусса [102], который может быть представлен также в виде сходящегося бес конечного ряда
|
|
R |
\2А+1 |
|
ф / ^ 1 _ ) = _ 2 _ е |
™ V " ^ 4 а |
< ) |
(2 10) |
|
( j A 4 ^ j |
Уя |
( 2 * + 1)1 |
^ l l U ' |
|
Таким образом, окончательно |
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
(2.11) |
Этот результат позволяет сделать следующие |
выводы: |
|||
а) температура в самом источнике бесконечна |
и вместе с уда |
|||
лением от него быстро падает в начальный момент процесса на
грева; |
|
|
|
|
б) |
вместе с возрастанием |
времени |
действия источника кри |
|
вые |
Т (R) становятся более |
пологими, |
приближаясь |
в пределе |
при t = оо к гиперболе |
|
|
|
|
и, следовательно, температурное поле |
при длительном |
действии |
||
источника постоянной интенсивности стремится к предельному стационарному состоянию.
Температурное поле точечного источника в бесконечном теплопроводящем теле можно использовать для изучения температур ного поля, возникающего при сварке толстых пластин. При до статочно большой толщине пластины ее можно рассматривать как полубесконечное теплопроводящее тело. Совместим коорди натную плоскость хоу с граничной плоскостью полубесконеч ного теплопроводящего тела, которую будем считать теплонепро ницаемой.
Если в начале координат поместим точечный источник с ин тенсивностью q, то температурное поле, вызываемое этим источ ником в этом полубесконечном теле, можно рассматривать как часть температурного поля в бесконечном теплопроводящем теле при условии, что не будут нарушены условия на граничной пло скости. Для этого достаточно полубесконечное тело продолжить в направлении z < 0 и в соответствующей точке о плоскости г = = —0 поместить источник такой же интенсивности q. Тогда гра ничные условия не будут нарушены и температурное поле в полу
бесконечном теле с точечным источником с |
интенсивностью q |
на теплонепроницаемой граничной плоскости |
г = 0 будет яв |
ляться частью температурного поля в бесконечном теле с точеч ным источником удвоенной мощности 2q в ПЛОСКОСТИ 2 = 0.
Линейный источник непрерывного действия
Аналогично предыдущему, температурное поле линейного источника непрерывного действия с интенсивностью <7х (т) в мо мент времени t можно найти суммированием температурных полей мгновенных линейных источников, заполняющих весь промежуток времени (0, t). При этом в соответствии с формулой (2.5) получим:
о
В случае линейного источника постоянной интенсивности qx будем иметь:
о
Если ввести новую переменную
г2 4а (* — т)'
то (2.12) примет вид
4а t
Имея в виду, что
и
J J i r d u = |
Ei(u) |
—со
в конечном виде не берется [102], называется интегрально пока зательной функцией, в нашем случае получим
ш
В соответствии с этим (2.13) примет вид
Т ^ |
= щ [ - Е ^ - Ш |
- |
<2Л4> |
Если иметь в виду, |
что |
|
|
|
п |
|
|
£ Д - и ) = е - « ^ ( - 1 ) * 1 І = Ж |
+ Я„, |
(2.15) |
|
где
\Rn\< .77|«+lC0S_2- |
||
|
|
n l |
1 |
1 |
2 |
U = |
|
|(/|е'ф; |
Ф2 |
|
< я 2 , |
то ясно, что при длительном действии линейного источника по стоянной мощности q1 температура на конечных расстояниях стре мится к бесконечно большим значениям, а температурное поле
стремится |
к плоскорадиальному |
полю линейного источника |
||||
и |
удовлетворяет |
уравнению Лапласа для |
двумерной области |
|||
с |
осевой |
симметрией |
|
|
|
|
Решением |
этого |
уравнения |
будет |
|
|
|
|
|
|
T(r,oo) |
= C--£-lnr, |
(2.17) |
|
которое и определяет предельное температурное состояние. |
||||||
|
Температурное поле линейного |
источника |
используется для |
|||
изучения температурных полей, возникающих при сварке тонких пластин. Если из теплопроводящего тела вырезать пластину малой толщины h двумя плоскостями, нормальными к оси z, и в его эле
мент hdxdy в момент t = 0 ввести Q калорий тепла, то |
источник |
с интенсивностью |
|
* - Ф - - ї " & |
< 2 1 8 > |
создаст температурное поле по (2.14) при условии, что граничные h
плоскости z = ± ~y пластины непроницаемы для тепла.
Плоский источник непрерывного действия
Если плоский источник с интенсивностью q% действует непре рывно в течение промежутка времени (0, і), то создаваемое им температурное поле, аналогично предыдущему, можно найти сум мированием температурных полей плоских источников мгновен ного действия с интенсивностью q2 (т), заполняющих весь проме жуток (0, t). В соответствии с (2.6) будем иметь
Т (х, t) = f — ^ { x |
) d x |
е~ |
|
(2.19) |
|
|
J су уіла |
(t — т) |
|
|
|
В случае источника |
постоянной |
мощности |
получим |
|
|
|
( |
|
_ |
Xs |
|
Т (х, t) = |
Ц=^ \ (t — х)-УЧ |
Аа (t~x) dx, |
(2.20) |
||
су У4па $
т. е. температурное поле плоского источника непрерывного дей ствия с постоянной интенсивностью в пределе при t —> оо стре мится к стационарному линейному полю, удовлетворяющему урав нению Лапласа для одномерной задачи
5 |
- |
= 0, |
(2.21) |
решением которого будет |
|
|
|
Т{х,оо) |
= |
С-\-\х\. |
(2.22) |
Температурное поле, создаваемое плоским источником непрерыв ного действия, используется при изучении температурных полей, возникающих при сварке встык тонких стержней и узких полос.
7. ТЕМПЕРАТУРНЫЕ ПОЛЯ ПОДВИЖНЫХ ИСТОЧНИКОВ НЕПРЕРЫВНОГО ДЕЙСТВИЯ
Полубесконечное тело
Пусть источник постоянной мощности q перемещается с по стоянной скоростью v вдоль некоторой прямой. В начальный мо мент t = 0 источник находится в некоторой точке о0, с которой
Рис. 1
совместим начало неподвижной системы координат (х0, yQ, z0). Возьмем, кроме того, подвижную систему координат хуг, начало о
которой совмещено |
с |
источником и будет |
перемещаться вместе |
с ним вдоль оси х0 |
с постоянной скоростью |
v (рис. 1). |
|
Координаты любой |
неподвижной точки |
А теплопроводящего |
|
тела в неподвижной и подвижной системах будут связаны соотно шениями:
t
х0 = х -J- j vdx;
(2.23)
Уо
z0 - z.
Мгновенное положение источника в неподвижной системе в проме жуточный момент т определится координатами:
x'o = vx; г/о = 0; z0 = 0. |
(2.24) |
Если граничная плоскость хоу полубесконечного тела непрони цаема для тепла, то в соответствии с предыдущим элемент тепла 2qdx, внесенный точечным источником в момент т, к моменту t изменит температуру в точке А в неподвижной системе координат на величину
dT(x0,y0,z0,t-x)= |
2 q d x |
|
су [Ana (t — x)]' |
«1 _
е«««-г) (2.25)
где R\ = (Bo')2 + yl + Zo — квадрат расстояния между мгновен ным положением источника и рассматриваемой неподвижной точкой А.
На основе принципа независимости действий отдельных теп ловых импульсов температурное поле к концу действия источника будет найдено суммированием полей мгновенных источников (2.25)
t |
|
Т {х0, г/0, г0 , t) = \dT (х0, у0, г0 , t — т). |
(2.26) |
о |
|
Величина (Во'), входящая в (2.25) и (2.26), может быть выражена как в неподвижной, так и в подвижной системах координат. В по
движной системе |
имеем |
|
|
|
|
|
|
||||
в силу чего |
(Во') |
= |
х + гп' = х + |
v (t — т), |
(2.27) |
||||||
Я? = Я» -f- 2vx(t — т) + |
v\t — т)2 , |
(2.28) |
|||||||||
где |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
R2 |
= х2 |
+ у2 + z2. |
|
|
|||
При этом соотношение (2.26) примет вид |
|
|
|||||||||
T(R,X,t) |
= |
|
|
|
[ |
d T |
Є |
4 а « - т ) |
_ |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
V |
|
7 |
с у ( 4 я а ) 3 / 2 |
J (t — xf2 |
|
(2.29) |
|||||
|
|
ПІ* |
|
* |
|
|
|
R2 |
v* (< - т) |
||
_ |
|
|
|
|
|
|
|
||||
2?Є а |
|
f |
dT |
3/2 |
4а (Л-т) |
4а |
|
||||
|
су (4яа) 3 |
/ 2 |
J |
(< — х |
|
|
|
|
|||
Введя новую переменную
1 = t — т
и затем опуская значок—над і, получим
о
28