ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 148
Скачиваний: 0
дельное состояние в полубесконечном теле с теплоотдачей на граничной плоскости определяется [103] соотношением
_ |
vx |
кг |
dz |
- |
~2а~ + |
|
|
X 2nR
где
k |
v , |
г2 — Xі + у2;
R2 = r2 + гг_
Интеграл в правой части последнего соотношения не выражается через табулированные функции и это затрудняет исследование температурного поля.
Предельное состояние в случае тонкой бесконечной пластинки
Подвижное поле для тонкой пластинки с теплоотдачей опре деляется соотношением (2.38). Предельное состояние наступит при t• = со и для него получим
П г , ^ ) ^ Ц ^ - ] Ь - ^ - ^ Г . |
(2.45) |
О
Найдем значение несобственного интеграла. Для этого введем новую переменную
t — _ _ _ ! _ Л
При этом получим
оо
где
\ а ~ 4а2 J '
Но известно [102], что
о
3 Г. Б. Талыпов |
33 |
где Ко — функция Бесселя второго рода нулевого порядка. В силу этого (2.45) примет вид
Температурное поле предельного состояния в случае неподвижного
линейного источника |
определится формулой |
|
r ^ |
- ) ^ = W ^ o ( r ] / 4 ) - |
(2.47) |
Отсюда ясно, что изотермические поверхности в этом случае — круговые цилиндры высотой h с осью, совпадающей с линейным источником. Вместе с удалением от источника температура убы вает по закону убывания функции
стремясь к нулю при г—* оо. В случае подвижного линейного источника изотермы также представляют цилиндрические по верхности высотой h, нормальные сечения которых — замкнутые, симметричные относительно оси перемещения источника и вытя нутые в направлении х < 0 кривые.
9. ПОСТРОЕНИЕ ИЗОТЕРМИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Во всех случаях для построения изотермических поверхностей предельного состояния удобно ввести безразмерные величины:
|
2а |
' |
Е |
= ~2аVZ |
' |
(2.48) |
|
vr |
|
|
v |
1х |
\ |
Р з ~ |
~2а ' Р а ~~ 2а |
' |
Pi |
= . |
2а |
|
и относительные |
температуры: |
|
|
|
|
|
|
% = |
|
^~T{R,x); |
|
|
Є2 = ^ Т ( г , ж ) ;
в 1 = ^ Т ( х ) ,
где
, , | Aab
V 2 = l + — г ,
F — площадь поперечного сечения стержня.
При этом получим:
для полубесконечного тела без учета теплоотдачи (2.40) 63 = е - £ - 1 - е - р ' ,
для тонкой пластины и длинного стержня с теплоотдачей (2.46):
ва = е 5 /c0 (v P2 ); 8x = e - V v p * .
В последних выражениях множитель е~% характеризует влияние скорости перемещения источника и создает несимметричность температурного поля относительно плоскости yoz, уменьшая температуру впереди источника и увеличивая сзади. Вторые множители зависят от радиусов-векторов точек поля и создают симметричное относительно источника распределение темпера туры.
Для удобства вычисления выгодно ввести сферические коор динаты R, ф, для полубесконечного тела и полярные г, ф — для тонкой пластины, начало которых совпадает с источником. Тем пературное поле симметрично относительно плоскости xoz и не зависит от долготы if>. При этом проекции 'радиусов-векторов на направление перемещения источника будут представлены для
полубесконечного тела |
х = R cos ф, |
для тонкой пластины — |
|
х — г cos ф или в безразмерных |
величинах: |
||
= |
рз COS ф, |
= |
р 2 COS ф. |
Тогда для относительных температур |
получим: |
(2.49)
0 2 =[e+ v P^o(vp 2 )] е~р>
Для практического построения температурных полей удобно за даваться различными значениями ф (0 ^ ф ^ я) и для каждого из них по первому или по второму из соотношений (2.49) найти соответствующие значения р3 (или р2 ) исходя из условия, что для всех этих фг 93 (или 92 ) имеет одно и то же значение. Так могут быть построены изотермы 03 (или 92 ) предельного состояния на грева.
Отметим далее, что основными параметрами, влияющими на характер температурного поля, как непосредственно видно из полученных выражений абсолютных и относительных температур, являются скорость перемещения источника, его мощность и теплофизические характеристики металла. Вместе с повышением скорости перемещения источника изотермы высоких температур сгущаются вблизи источника и суживаются в направлении оси оу. Вместе с повышением интенсивности источника изотермы расши
ряются в длину и ширину. При пропорциональном увеличении мощности источника и скорости его перемещения размеры изо термы увеличиваются в большей мере в продольном направлении, чем в поперечном, в силу чего они оказываются более вытянутыми.
Уменьшение коэффициента теплопроводности X приводит к уве личению длины изотермы в направлении х < 0. Вместе с увели чением % изотермы укорачивается и смещаются в область х >>0.
Из изложенного ясно, что при сварке имеет место неравномер ный нагрев весьма ограниченной зоны изделия до высоких тем ператур. Всякий неравномерный нагрев металлического изделия вызывает в его точках временные деформации и напряжения. Если такой нагрев сопровождается пластическими деформациями, то после нагрева и остывания в точках изделия будут остаточные (сварочные) напряжения (деформации).
Рассмотренный метод источников в сочетании с методом отра жения может быть использован для изучения влияния ограничен ности размеров изделий на процесс распространения тепла при сварке [5, 25, 103] и, в частности, для изучения температурных полей при сварке толстых пластин [103]. Для исследования тем пературных полей, распределенных по площади или по прямой сосредоточенных источников, также используется метод источ ников [103]. Этот же метод можно применить для изучения тем пературных полей при электрошлаковой сварке [72, 105].
Глава З
Т Е М П Е Р А Т У Р Н Ы Е Д Е Ф О Р М А Ц И И И Н А П Р Я Ж Е Н И Я В У П Р У Г О Й О Б Л А С Т И . О С Н О В Н Ы Е У Р А В Н Е Н И Я .
10. ДЕФОРМАЦИИ И НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ НЕРАВНОМЕРНОМ НАГРЕВЕ
Пусть изотропное тело имеет начальную равномерную тем пературу Т0 и затем подвергается неравномерному нагреву до температуры Т (х, у, г). Выделим из этого тела бесконечно малую прямоугольную призму с ребрами dx, dy, dz. В пределах этого элемента температуру можем принять равномерной. Во всем последующем ограничимся случаем, когда перемещения и их производные малы. Если отвлечься сначала от действия всего остального тела на этот элемент, то последний при повышении его температуры от Т0 до Т (х, у, z) получит одинаковую во всех направлениях относительную деформацию:
ёхх |
= |
-^ |
= |
а(Т-Т0); |
уу' |
ди |
= |
а ( Г - Т 0 ) ; |
|
.1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
^ |
= |
# |
= |
а ( Г - Г 0 ) ; |
|
ди |
|
. dv |
(3 |
||
Хху |
ду |
|
дх = 0; |
||||||||
|
|
_ i l - t . i E . _ n - v |
- i L _ L — |
— о |
|
||||||
|
|
-~ |
az |
^ а* — и ' |
'у* ~ |
я? |
' |
ду |
~~и> |
|
|
где и, v, w — составляющие вектора перемещения, вызываемого повышением температуры; а — коэффициент линейного расши рения, который для однородного изотропного тела остается одним и тем же во всех направлениях при данной температуре в рассма триваемой точке. Примем также, что он остается постоянным, равным его среднему значению в рассматриваемом интервале тем ператур.
Деформацию, определяемую соотношениями (3.1), т. е. при условиях, когда температурное расширение ничем не стеснено и напряжения в выделенном элементе не возникают, будем назы вать тепловой деформацией. Но тепловому расширению выде ленного элемента будут препятствовать связанные с ним части остального тела, в силу чего в этом элементе возникают дополни тельные деформации:
|
|
-> |
|
-> |
|
-* |
|
|
|
|
ди |
•* |
dv |
**• |
dw |
|
|
|
|
дх |
|
|
||||
|
|
"УУ |
ду |
|
dz |
|
(3.2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ди |
, |
dv |
_ ди |
. |
dw . |
~* _ |
dv |
, dw |
Уху '• ду |
' |
дх |
Ухг~ " 1 Г |
" г |
д« ' |
Чуг~~ |
dz |
~i~~dy~' |
которые могут быть упругими, упруго-пластическими или чисто пластическими. Если эти дополнительные деформации в рассма триваемой точке — упругие, то им будут соответствовать напря
жения:
|
OXX |
= |
2G[ |
1 — 2|д. |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
(3.3) |
|
о в |
= 2 С ( ? в + т |
^ г |
в ) ; |
|
|
|
-> |
-> |
|
-> |
где |
Хху — GyXy>- ххг — GyX2; |
їуг |
= Gyyz, j |
||
|
|
|
в = ЄХХ -f- вуу -f" |
Єгг. |
Полные деформации при неравномерном нагреве определятся как суммы соответствующих тепловых (3.1) и дополнительных (3.2) деформаций:
°
ЄУУ
_ди___- |
|
|
|
|
||
|
дх |
— ^ХХ |
\ ^ХХ1 |
|
||
|
dv |
— еуу ~г" е>УУ> |
|
|||
|
~ду |
|
||||
|
dw |
|
- |
, "* |
|
|
— ~дг — ezz ~Т~ |
егг\ |
(3.4) |
||||
|
|
ди |
. |
dv |
|
|
Уху = |
|
|
||||
^ 7 |
+ |
дх |
' |
|
||
|
|
ду |
|
|
||
Ухг |
_ |
ди |
, |
dw |
|
|
|
dz |
" г ~ 5 ^ Г ' |
|
|||
|
|
|
dx |
|
|
|
Ууг |
dv |
• |
dw |
|
||
dz |
' |
dy |
|
|
||
|
|
|
|
и должны удовлетворять уравнениям совместности деформаций:
|
|
|
дЪххду3 + dx2 |
|
_ |
д*уху . |
|
|||||
|
|
|
|
|
дхду |
' |
|
|||||
|
|
|
д*ехх |
+ |
|
дЧгг |
|
_ |
д*ухг . |
|
||
|
|
|
дг2 |
|
дх2 |
|
|
дх дг |
' |
|
||
|
|
|
д%у |
+ |
|
д2ег2 |
|
_ |
d*Yyz . |
|
||
|
|
|
dz2 |
|
ду2 |
|
|
dy dz |
' |
(3.5) |
||
JL |
( |
_ |
дУУ" _ L дУлгг |
і |
духу |
\ _ |
2 |
d2exx |
||||
dx |
\ |
|
dx |
' |
ду |
~r |
dz |
J ~~ |
dy dz |
|||
JL |
(дЧу* _ |
d 4 x |
z .4- |
дУ*У |
\ — 2 |
КУУ |
||||||
|
ду |
\ |
dx |
дуdy |
T |
|
dz |
J |
|
дх дг |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— ( |
дУуг |
духг |
|
|
дУху \ |
|
дЧгг |
|||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
dz |
\ |
дх |
ду |
|
|
dz |
J |
|
дхду ' |
как при упругих, так и при упруго-пластических деформациях. Из (3.4), имея в виду (3.1), получим:
e« = - f j r - a ( 7 - 7 V ) ;
^= - § Г - а ( 7 ' - 7 , о ) ; -
^= ^ - а ( Т - Г 0 ) ;
(3.6)
УХУ~~ |
ду + |
|
~дх~ : |
|
|
дц |
, |
<Эш |
'' Ухг> |
Y j r 2 ~ |
<Эг + |
|
алг |
|
|
|
|||
Г* |
<3f |
. |
dw_ |
: Ууг- |
|
|
|
|
Если эти деформации в рассматриваемой зоне — упругие, то для соответствующих напряжений по формулам (3.3) будем иметь:
|
о |
|
|
а (Г —Т \ . ) |
|
|
с |
1 |
— 2 ц |
1 |
о) |
|
е— |
1 |
+И |
а (Г — |
|
|
|
1 — 2 ц |
|
|
|
|
е— |
1 |
+ Ц |
a (7 — Т0) |
|
|
|
1 — 2JLI |
|
(3.7) |
|
' - = 0 ( T F + |
|
- E . ) ; |
|||
|
|
||||
р |
I ди . |
|
dw \ . |
|
|
% х г * U |
\ дг + |
|
дх ) ' |
|
|
где
ди |
, dv |
, dw |
(3.8) |
|
дх |
ду |
дг |
||
|
Напряжения упругой зоны по (3.7) должны удовлетворять урав нениям равновесия сплошной среды, а деформации упругой зоны — уравнениям совместности деформаций по (3.5).
11. УРАВНЕНИЯ ДЮГАМЕЛЯНЕЙМАНА
В случае, когда имеем нестационарное температурное поле Т (х, у, z, t), напряженное состояние в каждой точке тела будет изменяться с течением времени, т. е. будем иметь задачу динамики