Файл: Слабкий Л.И. Методы и приборы предельных измерений в экспериментальной физике.pdf

— 2) при числах а замеров в каждой серии соответственно равных 16, 13 и 21:

i = l

В соответствии с таблицей для ^-распределения при числе степе­ ней свободы /* = V = k — 1 = 2 и Р (х2) = 0,05 находим %2 = = 5,99. Поскольку XQ = 2,12 < 5,99, то с вероятностью 0,95 гипо­

тезу об объединении этих серий измерений можно принять. Предпо­ ложим теперь, что в результате эксперимента получены сколь угодно близкие значения s-, s|, . . ., s2 и заранее известно, что

°1 = СТ2 = °1-

Для этого случая, как нетрудно видеть, формула для %о Дает

30

приближенного критерия Бартлетта, как и следовало ожидать, при­

водит к необходимости принятия гипотезы о равенстве а 2 = а 2 =

О

= . . . = Оп.

§ 6. «^-Распределение и критерий Фишера

При проверке гипотезы а 2 = сг| = . . . = сг2 был использован приближенный критерий Бартлетта.

Как показал Р. Фишер, существует точный критерий (о2-крите- рий) проверки гипотезы равенства дисперсий для случая сравнения двух серий измерений.

имеющих з2-распределение с параметрами (о2, Д) и (а2, /,), можно написать

Для выяснения, являются ли оценки (1,54) и (1.55) существенно различными или обе они принадлежат к одной и той же генеральной совокупности с общей дисперсией о2 = о2, надо составить отношение

О

= * 2 ( / і . h ) .

31

где s®— большая из полученных оценок дисперсии; s® — меньшая из них.

Если окажется, что

2

(здесь и®— верхняя граница значимости (квантиль) для дисперси­ онного отношения), то можно сказать, что совпадение of и а- ма­

ловероятно. Если же данное отношение окажется меньше значения ѵ2 для выбранного уровня значимости Р (например, для Р — 0,01),

то это означает, что выборки х',, х'2, . . ., х'п и х", xf, . . ., х при­

надлежат к одной общей совокупности, либо к двум нормальным общим совокупностям с одной и той же дисперсией о2.

Существенно отметить, что данный критерий может быть исполь­ зован даже в том случае, если число измерений в серии весьма мало, например, всего 5—7 измерений.

В том случае, если отношение sf/s2 Лежит в пределах от и® до т. е.

весов с электронной системой регистрации при записи на самопи­ сец (см. гл. 1 в разд. 4).

Прикладывая к весам импульс силы FAt, получим колебание коромысла, амплитуда которого пропорциональна FAt. Так как каретка самопишущего прибора обладает некоторым трением покоя (сухим трением), то ввиду наличия зоны застоя средние значения

амплитуд х;, цугов колебаний будут отличаться. Кроме того, в та­ кой системе в силу «аппаратурных шумов» отдельные амплитуды в каждом цуге также будут различны.

Возникает вопрос: нельзя ли установить, что дает большую ошиб­ ку — аппаратурный шум (разброс) или сухое трение?

32

sf = 10 мм2, s~ = 41,8 мм2, будем иметь, используя критерий Фи­ шера,

щественно различные дисперсии, и, во-вторых, что разброс s2 опре­

деляет основную погрешность измерений.

Рассмотрим теперь еще один случай применения критерия Фи­ шера.

Пусть имеется набор из п случайных величин xit полученных в результате измерения некоторой величины X, причем одна или не­ сколько точек хі; имеют существенно больший разброс, чем все остальные точки.

Для определения, являются ли такие отклонения случайными, т. е. принадлежат ли «подозрительные» точки к общей для всех остальных точек выборки генеральной совокупности, необходимо составить отношение s2/s2, где s2 и s2 — оценки дисперсии для л

и /г— 1 случайных величин, причем s? > s\. Отклонение «подозри­ тельной» точки хк будет случайным, если s2/s2 < ѵ2.

s\ls2> V 2, то такое отклонение значимо, т. е. точка х к не принадле­

жит к данной совокупности и ее следует выбросить. Аналогичная операция проделывается для всех остальных точек в отдельности.

Рассмотрим другой пример.

При измерении напряжения цифровым вольтметром были полу­ чены величины, представленные в табл. 3.

9

* Оценка дисперсии s2 получена при отбрасывании числа 18 из серии измерений.