Файл: Скотников В.А. Основы теории проходимости гусеничных мелиоративных тракторов [учеб. пособие].pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 106
Скачиваний: 0
1) нормальное давление гусениц на грунт за период их вза имодействия (основные закономерности)
Pi = Ро = const; рп = qt\ рщ = Рк — qt\
2) изменение напряженного состояния скелета грунта под действием внешнего нормального давления
д2а да dz2 dt
3) деформация грунта за период взаимодействия с гусени цами
|
|
я |
h= т |
dt |
°*(z, t) dz dt |
|
|
Наиболее трудно решать дифференциальное уравнение Терцаги — Герсеванова при принятых краевых условиях. Одна ко общность этого уравнения с уравнениями такого же типа из
PrPa=const
Ьтек
t,ceK
Ьтек
Рт'Рк-qt
t.CSK
Ьтек
ь,сек
LTSK
tcex
Ьтек
Стек |
г ', cfx |
Line |
|
1
|
|
|
|
. |
10 |
|
6 |
|
|
|
|
|
\\\\ Ч 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
W |
|
|
|
|
|
|
|
ш |
|
Рис. |
3.39. |
Схема |
теоретической |
||||
модели |
процесса |
взаимодействия |
|||||
гусениц |
с грунтом |
(в вертикаль |
|||||
|
|
|
ной плоскости): |
|
|||
/ |
— |
фильтрующий |
поверхностный |
||||
слой; |
/ / |
— |
слой |
торфяного |
грунта; |
||
/ / / |
— |
подстилающее |
водонепроницае |
||||
мое основание; IV — опорная поверх |
|||||||
ность, |
имитирующая |
площадь |
гусенич |
||||
ных звеньев; |
р — внешнее нормальное |
||||||
давление на поверхность грунта, изме няющееся в соответствии с уравнения ми (3.16); Я — толщина сжимаемого слоя.
Рис. 3.38: Простейшие теоретиче ские эпюры нормальных давлений гусениц на торфяной грунт.
143
области температурной проводимости, для которых имеются весьма полно разработанные решения, позволяет в некоторой степени использовать общность дифференциальных уравнений для решения задач по определению поля .напряжений и дефор маций грунта. В этом также проявляется суть математического моделирования, которое основывается на тождественности урав нений, .описывающих процессы модели и исследуемого явления. В данном случае моделью выступает дифференциальное урав нение температурной проводимости. По словам В. И. Ленина, единство природы обнаруживается в «поразительной аналогич ности» дифференциальныхуравнений, относящихся к разным областям -явлений. Именно поэтому и возможно воспользовать ся некоторыми аналогиями из области температурной проводи мости.
Г л а в а |
4. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ПРОЦЕССА |
||
ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ГУСЕНИЦ С ГРУНТОМ |
|||
(ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ) |
|||
|
|
§ 4.1. Постановка задачи |
|
Главное |
в |
процессе взаимодействия гусениц с |
грунтом — |
соотношение |
и |
связь между внешним нормальным |
давлением, |
создаваемым гусеницами, и вертикальной деформацией грунта. Именно эта сторона процесса определяет проходимость болотоходных тракторов и машин, возможность их движения по неосушенному болоту.
Ранее указывалось, что горизонтальные деформации грунта не изменяют характера связи нормальных давлений и верти кальных деформаций. Основными законами процесса взаимодей ствия гусениц с грунтом следует считать законы изменения на пряжений в толще грунта, сжимаемого внешними нормальными силами, и законы деформирования грунта под действием нор мальных давлений. Эти законы можно получить, решая при веденные выше уравнения математической модели процесса взаимодействия гусениц с грунтом. Решение этих уравнений при определенных начальных и граничных условиях позволит вы явить связь между давлением и напряжением, между напря жениями и деформацией грунта.
§ 4.2. Законы распределения напряжений в толще
грунта во времени под гусеницами движущейся машины
Приведение процесса взаимодействия гусеницы с грунтом к плоской задаче механики грунтов позволяет математически поставить и решить задачу о распределении напряжений в тол ще грунта под гусеницами движущейся машины. Условие зада
чи в этом случае формулируется так: к поверхности |
слоя Н грун |
та приложена внешняя нормальная нагрузка, |
изменяющаяся |
в соответствии с выражением р= рк—qt; найти за,ко'Н распреде ления напряжений в толще грунта в любой момент времени, если известны:
а) |
дифференциальный |
закон напряжений (3.15) |
|
до |
д2а |
|
|
= о —^— > |
где t > 0; |
dt |
д? |
0 < z < Н; |
|
145
б) |
начальное условие |
|
|
|
|
G(z,t) = о-(г, |
0) = |
0, |
(4.1) |
т. е. при ^=0 все внешнее давление воспринимается |
поровой |
|||
водой; |
|
|
|
|
в) |
граничные условия: |
|
|
|
|
о-(л, о = рк |
— |
qt, |
(4.2) |
|
д 0(0, t) |
= |
0, |
(4.3) |
|
dz |
|||
|
|
|
|
|
т. е. на поверхности грунта напряжение скелета всегда |
(кроме |
|||
£ =0) равно внешнему давлению, |
а скорость нарастания |
напря |
||
жений по глубине в точке сопряжения с подстилающим слоем равна нулю.
Решение |
этой |
задачи |
выполним |
операционным методом |
|||||||
с использованием |
интегрального |
преобразования |
Лапласа. |
||||||||
Уравнение |
(3.15) в |
|
операторной |
форме |
имеет |
вид |
|||||
|
|
•S 0"(z, S) |
— 0"(Z_ 0) |
= |
d2aL (z, |
S) |
|
||||
|
|
dz2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Но так как |
a( z > 0> = |
0, |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
ffM,.S) |
' |
|
— |
|
ffL(».s)=0. |
(3.15а) |
||
|
|
|
|
1 |
; |
а |
|
|
|
|
|
Граничные условия: |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
C < H i |
S ) = - | |
J r - ; |
<4 -2 а > |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
дог{0 , S) = |
0. |
|
(4.3а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
|
|
|
Частное решение уравнения в операторной форме запишется |
|||||||||||
так: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O\L (z, s) = |
сге- |
+ |
c2e |
|
|
||||
Заменив exp на ch и sh, получаем |
j |
|
|
||||||||
oL |
(«. s) = |
Л ch |
j |
/ — | - z + S sh |
|
(4.4) |
|||||
где Л = CJL + |
c2; |
5 |
= |
cx |
— |
c2. |
|
|
|
|
|
146
Удовлетворяя это решение граничному условию (4.3а), по лучаем
т. е. 5 = 0 . |
|
|
|
|
Удовлетворим |
решение |
(4.4) граничному |
условию (4.2а) |
|
с учетом того, что В = 0 |
|
|
|
|
Рк |
<7_ = ЛсЬ | / " - | — Я |
(при |
z = Н), |
|
S ~ |
S2 |
|
|
|
тогда общее решение уравнения (3.15а) будет иметь вид |
||||
|
/р. |
я \ c |
h т / 4 - г |
|
Перепишем это выражение в следующей форме:
а м , з ) = Р к 4 ^ - - < 7 - ^ . - |
(4.5а) |
|||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф(3) = |
ch |
] |
/ |
- |
A |
- |
z; |
(4-6) |
% S ) = S |
c |
h j |
/ |
- |
| |
- |
H ; |
(4.7) |
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.8) |
Члены <2>(S), •ф(в) и tyus) — полиномы относительно S, т. е. такие, что к их отношению можно применить теорему разложе ния. По теореме разложения оригиналы .изображений по урав нению (4.5а) соответственно равны:
L |
Ф(8) J ^-J |
e V ; |
|
||
|
л-=1 |
|
147
L - 1 |
(S) |
1 |
lim |
0 ( s ) ( S - S J * c S f |
+ |
|
(fe—1)! |
S - >S m { d S * - 1 |
^l(S) |
||
|
|
|
|
+ 2 - |
|
где S„ — |
корни полинома; |
|
|
k |
— |
число кратных корней; |
|
Sm |
— |
кратный корень;, |
|
ty' |
— |
первая производная. |
|
Воспользуемся этими выражениями для отыскания ориги |
|||
нала. |
|
|
|
Для |
нахождения корней ifys) |
приравняем его нулю |
|
|
|
Sch |
Я = 0. |
Первый корень S = 0. Остальные корни
(4.9)
т.е. этих корней бесчисленное множество. Обозначив
iin={2n - 1) я
и возведя обе части равенства (4.9) в квадрат, определим
5 „ = - ( 2 п - 1 ) |
2 л2'Р |
= |
• 9 |
|
а |
|
„ |
а |
! |
1К |
II & Я 2 |
|
|
я 2 |
|||
|
4 Я12— |
I |
|
|
||||
Найдем полиномы |
0( s), ify's |
>: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф(о) |
- 1; |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
= COS |
|
|
|
|
|
|
Я |
|
Я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
( 5 с ь / 4 я ) ' = |
с Ь | / 4 - я + |
5 |
^ з ь у А Я : |
|||||
148 |
I |
|
