Файл: Пинаев Г.Ф. Основы теории химико-технологических процессов учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 163
Скачиваний: 0
|
При практическом использовании диаграмм составов со |
|||||||||
отношение (VII.31) можно упростить. Дело в том, |
что |
разби |
||||||||
ваемый |
симплекс |
Ts и /-й симплекс .М-разбиения |
Т(^) |
имеют |
||||||
|
|
|
|
|
Л |
|
|
Л |
|
|
(s—1) |
общих вершин А\А2, |
...,Af, ... As |
(здесь-Л, |
означает, |
||||||
что |
вершина А- |
опущена), задающих |
грань |
gis |
= ЛіЛ2 , |
|||||
л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в T(fsK |
А/ |
... |
As, |
противолежащую |
вершинам |
Aj в |
Ts |
и M |
Рис. V I 1.7. |
Геометрическая |
интерпретация |
бари |
||||||
|
|
|
центрических |
координат: |
|
|
|||
T j |
= AtA,A,At |
= Т4 ; Т(.^)= AtA,A,M |
= т ( « ) ; |
е . $ |
= |
||||
=А1А*АЬ |
= |
g4 4 ; |
hW = |
[Mb,]; ft(^j) |
= [A fi Л |
*\М) |
= |
||
= |
[М>4 ] |
: lAfit] |
= [MM'] |
: [Л 4 М'] = |
[ Л . т , ] : |
[ Л і Л 4 ] = |
|||
|
|
= [А2тг] : [ А г А 4 ] •= [А3т3] : [ А 3 А 4 ] |
|
|
Тогда, обозначая Fjs площадь ны высот к gjs, построенных ственно, получаем из (VII.31)
грани gjs, |
a ft<M' и |
ftw;>— дли |
из вершин |
M и |
А} соответ |
|
|
|
Х(М) = {F1SHM)) |
: (Flsh(Aj)) |
= Ым) |
: ЫАр. |
|
(VII.32) |
||||
Таким |
образом, при вычислении |
х(М) |
отношение |
объемов |
||||||||
симплексов |
можно |
заменить |
согласно |
(VI 1.32) |
отношением |
|||||||
длин |
высот |
ЫМ) и |
ЫАІ>, проведенных |
из |
точек M и Л;- к гра |
|||||||
ни gjs |
остова Ts. |
Отношение |
высот |
h(M |
и |
ЫАР |
по |
условию |
||||
подобия |
соответствующих |
треугольников |
А4а4М' и |
МЬ4МГ |
||||||||
(рис. VII.7) можно заменить отношением отрезков |
Л4 ЛГ и |
|||||||||||
ММ', |
равным отношению |
длин |
отрезков |
ЛіЛ4 |
и А \ Ш \ , на ко |
|||||||
торые |
две |
параллельные |
плоскости ЛіЛ 2 Л 3 |
и |
т±т2тг |
разби- |
151
вают пучок ребер, проходящих через точку Л4 . Отсюда следует
|
хіМ) |
= |
Ым). |
h(Aà |
^ |
[ММ'] |
: [Af Л4 ] |
= Hj.mJ |
: |
[А^] |
|
|
|||||||||||
или в общем случае |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
х<"> = |
[А^] |
: [ Л Д ] , |
|
|
|
|
|
(ѴІІ.ЗЗ) |
|||||||
где |
[Л,-т,-] |
и |
|
[ Л Д ] |
— |
длины |
отрезков |
А^ |
и |
|
ALAj |
|
со- |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
2, |
|
|
л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ответственно |
|
|
|
/, |
... s. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Описанные построения применяем следующим образом: |
|||||||||||||||||||||||
через точку M проводим (s—1) |
плоскостей, |
обозначаемых |
|||||||||||||||||||||
{g{M)} |
и |
|
параллельных |
|
(s—1) |
гранями |
{qis} |
|
базисного |
||||||||||||||
симплекса |
|
Т^, |
|
противолежащих вершинам ! Л / |
} , / = 2, |
3, |
|||||||||||||||||
s соответственно. Указанные плоскости на |
пучке (s—1) |
ребер |
|||||||||||||||||||||
{Ах, |
Aj |
}, / = 2, |
|
3, |
|
5, симплекса Ts, проходящих |
через |
|
вер |
||||||||||||||
шину |
Л], |
отсекают |
отрезки |
{ Л ^ - } , |
j — 2, |
3, |
|
s. |
|
Принимая |
|||||||||||||
длину каждого |
ребра |
{Ax Aj } |
за |
1, в таком |
масштабе |
изме |
|||||||||||||||||
ряем |
длины отрезков |
{ Л ^ - } , которые, |
согласно |
(VII.33), |
ока |
||||||||||||||||||
зываются |
равными |
|
{ х ^ Ч , |
j — 2, |
3, |
|
s. |
Используя |
|
(s—1) |
|||||||||||||
найденных |
значений |
|
{xj.M>}, |
вычисляем |
х\М) |
согласно |
(VII.13): |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
хШ) |
|
|
k |
|
х \ |
м \ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1 _ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
(VII.34) |
||||||
где /г ( l ^ & ^ s ) |
•— число |
барицентрических |
(неособых) |
|
ком |
||||||||||||||||||
понентов. Случаю 4-компонентной системы |
(5 = 4) |
отвечает |
|||||||||||||||||||||
рис. V I 1.7, |
на |
котором |
значения координат |
х2м\ |
|
х(^) |
и |
х[м> |
|||||||||||||||
показаны |
векторами |
|
х2м\ |
х(3М) и х[м\ |
|
исходящими |
|
из |
верши |
||||||||||||||
ны |
Л ь |
ЛіЛ 2 Л 3 |
есть граньg4 s |
, а |
т\т2т3 |
— плоскость |
gW), |
||||||||||||||||
При построении точки M по заданным координатам |
{ х<М ) ) |
||||||||||||||||||||||
рассматриваем |
|
базис |
|
|
диаграммы |
Р 5 |
как |
(s—1)-мерную |
|||||||||||||||
косоугольную |
декартову |
систему |
координат |
с началом |
А\ |
||||||||||||||||||
и осями |
координат |
|
{ЛХ Л,-}, |
/ = 2, |
3, |
s, |
вдоль |
которых |
|||||||||||||||
откладываются отрезки |
{х\Щ, |
j — 2, |
3, |
|
s и |
рассматривают |
|||||||||||||||||
ся как векторы, и точка M тогда оказывается концом вектора |
|||||||||||||||||||||||
АіМ, |
полученного |
суммированием |
|
(s—1) |
векторов |
{ л ^ М , |
|||||||||||||||||
/ = 2, |
3, |
|
s (рис. VII.7). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Если |
4 = 1 |
и для |
|
выражения составов комплексов |
исполь |
зуются простые отношения аналогично (VII.28), то (VII.34) излишне.
Плоскость g(^\ проходящая через точку М, параллель ная грани gjs и противолежащая вершине А{ симплекса
152
Ту, обладает следующим замечательным свойством: для всех точек плоскости gj^1 ' справедливо
X, = const. |
(VII.35) |
Другими словами, плоскость g(^> есть изоразмерная диаграмме составов изоконцентрата компонента А-г Термин «изоразмерная» означает, что при построении диаграммы со ставов Ps и изоконцентраты, согласно (VII.35), использова ны одинаковые единицы относительных содержаний (концент-
|
Рис. VII.8. Изоразмерная диаграмме |
с е ж а |
изо |
|
|
||||||||
|
|
концентрат на |
треугольной |
диаграмме |
составов |
|
|
||||||
раций). |
Следовательно, |
плоскость |
т ^ / П з |
(рис. VII.7) есть |
|||||||||
изоразмерная |
изоконцентрата |
компонента |
Л4 , |
обладающая |
|||||||||
во всех точках M свойством: |
х[М) |
= |
const. |
|
|
|
|
|
|||||
Из |
сказанного следует, |
что |
на |
диаграмме |
составов |
||||||||
с базисом |
Ту |
изоразмерная |
диаграмме |
сетка |
изоконцентрат |
||||||||
является равномерной и образована пучками |
(s—2)-мерных |
||||||||||||
плоскостей, |
параллельных граням |
{gjs}, |
/ = 1 , 2, |
s |
базис |
||||||||
ного симплекса Т^. Такие равномерные параллельные |
шкалы |
||||||||||||
в треугольной диаграмме составов показаны на рис. VII.8. |
|||||||||||||
Вполне логично поставить вопрос о построении |
|
изокон |
|||||||||||
центрат вида |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
х. |
= |
const |
|
|
|
|
|
на диаграммах составов Ру, построенных с применением ква зибарицентрических координат xf, т. е. вопрос о построении изоконцентрат, гетероразмерных диаграмме составов Р 5 . В частности, можно подразумевать построение мольных изо концентрат на диаграмме составов с весовой барицентричностью.
153
В |
таком случае |
учитываем (VI 1.29) и тот факт, |
что |
изме |
|
нение |
концентрации |
Xj на |
х'-t обусловлено изменением |
еди |
|
ниц условного веса qf на q'f, |
т. е. преобразованием |
масштаба |
|||
•барицентричности, которое, |
согласно (VII.29), есть |
проектив |
ное преобразование, переводящее плоскость в плоскость, а параллельный пучок плоскостей в общем случае — в сходя щийся в одну линию пучок плоскостей (проективный пучок, «книжка плоскостей»). Отсюда следует, что семейство гетероразмерных изоконцентрат в диаграмме составов Ps с кон центрациями х, образует проективный пучок плоскостей — отдельный пучок по каждому независимому компоненту.
Рис. |
VII.9. |
Построение мольно-долевых изоконцентрат |
на |
треуголь |
|||||||||||
|
|
ной |
диаграмме |
составов |
с |
весовой |
барицентричностью |
|
|||||||
Мольные изоконцентраты на треугольной диаграмме |
составов |
||||||||||||||
с весовой барицентричностью |
показаны |
на рис. V I 1.9 и |
пред |
||||||||||||
ставляют |
собой |
проективную |
сетку |
прямых |
с |
полюсами |
|||||||||
NLR. |
|
Построение |
проективной |
сетки производится |
следую |
||||||||||
щим |
образом: |
на |
сторонах |
|
треугольника А\А2А3 |
|
строятся |
||||||||
точки |
|
М'и |
М'2 |
и |
М'з, являющиеся |
фигуративными |
точками |
||||||||
смесей |
Аі+А2, |
Аі+А3 |
и А2+А3 |
|
с |
мольным |
соотношением |
||||||||
компонентов 1:1, а на сторону |
А \ А 2 |
проектируется |
равномер |
||||||||||||
ная шкала, отложенная на отрезке АХВ |
с серединой |
М\ из не |
|||||||||||||
которой точки Р, лежащей на пересечении прямых А2В |
и |
М\М. |
|||||||||||||
Полюса N, |
L |
и R |
находятся на |
пересечении |
прямых |
М'3М'2 |
|||||||||
cA2Ah |
|
M'sM'i |
|
с А3АЬ |
|
М'2М'] |
с А3А2 |
соответственно. |
|
|
|
||||
Принципиально все полученные результаты распространя |
|||||||||||||||
ются на диаграммы составов как невзаимных |
(здесь Ts |
сов |
|||||||||||||
падает |
с Ps), |
так |
и |
взаимных |
систем, |
если в |
последних |
вы |
|||||||
брать |
|
базисный симплекс |
|
и независимыми |
компонентами |
||||||||||
считать отвечающие |
вершинам |
симплекса |
компоненты. |
154
Однако для взаимных систем полезно учесть возможность выражения составов через ионы, особенно при применении эквимольного масштаба барицентричности, когда справедливо
условие баланса |
ионов |
(VI 1.5), |
относительные |
содержания |
||
катионов и анионов выражены, согласно |
( V I I . 12), |
и |
справед |
|||
ливы равенства |
( V I I . |
13). Из |
равенств |
( V I I . 13) |
следует, |
что диаграммы составов взаимных систем можно рассмат ривать как объединение двух независимых диаграмм соста
вов, являющихся симплексами — |
одна Тт+ |
для |
катионов,, |
|
другая |
Т г а - — для анионов. Если |
в системе, |
кроме ионных, |
|
есть / |
неионных (нейтральных) компонентов, |
то |
последние |
образуют свою (третью) диаграмму составов — симплекс Т г . Поэтому в общем диаграмма составов Ps взаимной системы есть произведение трех базисных симплексов, трех диаграмм
составов — |
катионной Т т + , анионной |
Т т _ |
и |
нейтральной |
где т+ — |
число независимых катионов, |
тг |
— |
число неза |
висимых анионов, / — число независимых нейтральных ком понентов.
Знак К показывает, что компоненты нейтральной подсисте мы могут находиться по отношению к компонентам ионных подсистем в произвольном весовом отношении, и симплекс Т, не пересекается с остальными базисными симплексами, тогда как катионная и анионная подсистемы связаны соотношением.
(VI 1.5) и их базисные |
симплексы Т т + и Т т _ |
пересекаются * |
друг с другом. Разницу |
между произведениями |
непересекаю |
щихся и пересекающихся симплексов можно показать сле
дующим примером: если |
Т ( 1 ) |
есть отрезок AB, а |
Т<2) |
— отре |
||||||
зок CD, пересекающийся с AB |
(точки Л и |
С совпадают), то |
||||||||
произведение |
Т(1>-Т<2> — |
параллелограмм, |
одна |
сторона |
ко |
|||||
торого AB, а примыкающая |
— |
CD, |
а если |
AB |
и CD не |
пе |
||||
ресекаются, |
то произведение |
Т<П-А,Т<2> есть |
тетраэдр |
ABCD. |
||||||
Из сказанного ясно, что диаграммой составов трехкомпо- |
||||||||||
кентной взаимной |
системы |
Л+, |
В+ \ Х~, |
Y~ |
должен |
быть |
||||
параллелограмм |
(АВ-ХУ), |
|
вдоль |
одной |
стороны |
которого, |
отложен катионный состав, а вдоль смежной стороны — ани
онный |
состав, |
и вершины |
являются фигуративными точками |
||
солей |
АХ, ВХ, |
BY |
и Л У. Для упрощения построений |
вместа |
|
параллелограмма |
чаще |
всего применяют квадрат |
(рис.. |
||
ѴІІ.5,а). |
|
|
|
|
Диаграммой составов четырехкомпонентной взаимной сис темы с растворителем Л+, В+ \ Х~, Y~~ —Я является произве дение АВ-ХУ-КН, т. е. квадратная пирамида, если Я — неособый компонент (рис. VII.5, б), и квадратная призма^ если Я — особый компонент и изображается бесконечно уда ленной точкой. Диаграмма составов четырехкомпонентной
155,