Файл: Волков Е.Б. Основы теории надежности ракетных двигателей.pdf

,- =1 ; =(+1А=./+1

^

С учетом равенств

(1.6) соотношение для P(U А {) представ­

ляется в виде

Р(Л1ПЛ2)= Р(Л1) - Р ( Л 1П / 2).

(1.17)

_

N

_

Решение. Событие4 =

(J 4,-, так как для выхода конструкции из строя

достаточно ее

разрушения

/=1

хотя бы в одном из N сечений. Следовательно,

q =

-

Р

( N

- \

из выраже­

Р(4) =

(J _д.\ и решение задачи дается одним (любым)

ний

(1. 14) —(1. 16).

1.1.4. Условная вероятность, умножение

■ u v | ; u / i i i i u v i v n

Пусть

(R,

В, Р) — вероятностное пространство

и Л,е= В

А2еВ , а Р (Д ,)>0.

Тогда выражение

Р ( / 21Л)=

р( М ^ 1

(1. 18

Р(Л,)

называется

у с л о в н о й

в е р о я т н о с т ь ю события А% вычис­

ляемой при условии, что событие А\ наступило. Факт

иаступле-

Р (А) —Р (А, П А2)= Р (Ах) Р (Аа| А,);

(1.19)

Р (А,)Р (А2|А1)= Р(А2)Р (Ах|А2),

(1. 20)

откуда

Р (А21AJ = —Р(у1р

/1з) .

(1. 21)

0 ^ Р ( А |5 ) ^ 1 ,

(1.22)

если Af) 5 = 0 , тоР ( А| Б ) =0 .

(1-23)

p ( £ / ' |5) = 2 P ( ^ | 5 ) -

2

2

р ((а ^ ) п (а ^ ) ) + . . .

1-1

/=1 ;=i+l

- + ( - ! ) " - ! Р ( Пг

1 - р ( П1‘А ,|я) .

(1. 24)

Соотношение (1.19) легко распространить на случай рассмот­

рения нескольких множеств (событий)

А*еВ, где /= 1, N, и тогда

при А =

N

П А,-

i-i

Р(П А1.)= Р ( А 1)Р(А 2|А1)Р(А 3|А1ПА2)...Р (А ^Г п 1А(.).

(1.25)

\*=i

/

г=1

/ N

л , ) = п р (д т

(1.26)

р (Д,

' /=1

N

А,

=

лиV Р ( Д . ) - 2 Р ( Л ,( М У)-

1 =1

K J

+ 2 Р ( л ; и

^

и л

) - - + ( - 1 Г - 1р ( и л ) .

(1.27)

1<]<ь

7-1

их пересечений;

в)

если Л|С=Л2, A xczA3, ..., A xa A N, то

р ( г М , ) = рт .

(1-28)

где Р

= ш 1пР ( Л/)= Р(Л 1)т1п— минимальное из значений

Р(Л,);

1</<лг

г)

справедлива формула

Р ( Л ) = 2 Р ( Я ,) Р ( Л |//,) ,

(1.29)

N

/ - 1

Р (Я г)—1, а Я г — некоторые попарно непересекающие-

если 2

/-1

N

N i

Л 'a

N m

I m

1

m

Р ( Л ) = 2

2 - - -

2

П Р № , )

Р И П ^ ) .

(1-30)

*

1 -

1

=1

>

l ~ l

N t

Л^а

N m

если 2 P ( 7 7 /J =

2

Р (я *а)= ---=: 2 р ( ^ т ) = !.

а Н i

*1-1

'«-1

попарно

lm-'

события

(гипо-

— некоторые

непересекающиеся

тезы)

_____

Условная

т

вычис­

при 1=1,

т.

вероятность Р(Л| П /7;,)

Пусть

в

выражении (1.29)

гипотезы

Я* совместны:

дг ф j H ,

Г) Н] ф 0 .

Тогда Л==Л

П (U ^ /) = Д Л ) ,

где A'i — А [ \ Н h и из соотношения (1.14) находим

р ( Л ) = 2 р (я /)р И

/ / /)+Д-

(1-31)

;=1

Здесь д = - 2 Р ( Я , . П Я ;.)Р (Л |Я ,.П Я у) +

i<j

+

2

р ( ^ П Я ;. ПЯл) Р( Л|// гПЯ ; П ^ ) + . . . +

I<]<ь

+ ( - 1 ) лг1Р(П

^ ,-)Р (л |n H t).

1=1

1=1

чаях оказывается, что число гипотез в выражении

(1.29)

беско­

нечно и тогда вместо соотношений

(1.29)

и (1.30)

получаем

Р(Л) =

ь

(1.32)

j <?{t)V{A\t)dt

L

^

I

I

Р(Л)==П "

- 1

П ъ{*1) р ИЮ П dtu

(1.33)

а I at

ат U - 1

J

1= 1

где cp( t ) — некоторая

неотрицательная

непрерывная функция,

удовлетворяющая условиям

b

*i *2

т

т Ь1

j if{t)dt = 1;

j j . ..

f

П <Р11*|)Л 1=

П j 4i{h)dti =

^

a

a, aa

am 1= 1

1=1 aj

^ =

(^D

P (Л11) И Р(Л|/)

— вероятность события Л при фиксированном

t

и фиксированном наборе £= (t\,

• ■-i