Файл: Волков Е.Б. Основы теории надежности ракетных двигателей.pdf

V P(/-/,.) Р(.4| Hi)

1 = 1

Здесь H;(i= 1, N ) — некоторые несовместные события, состав­ ляющие полную группу. В левой части соотношения (1.34), на­ зываемого формулой Байеса, по определению условной вероят­ ности событие А считается достоверно совершившимся после не­ которой операции (эксперимента). В правую часть входят без­ условные вероятности Р(Я*) гипотез. Учитывая такое построение, обычно вероятности Р (Я,-) находятся по априорным (доопытным) данным, а Р(Я*|/4) истолковывается как апосте­ риорная вероятность гипотезы, уточненная по отношению к апри­ орной по результатам опыта. Очевидно, что здесь

V p ( ^ i[A) = V P ( / y /) = l .

где х£\а,Ь\.

В случае совместных гипотез с помощью равенства (1.31)

2 Р(Я,) Р(А\Н/) -Ь Д 1-1

N

причем Р( U Hi\A)— \.

:_ 1

1.1.5. Случайная величина

Первое определение [19]. Случайной величиной называется

14

З а к о н о м р а с п р е д е л е н и я случайной величины назы­ вается всякое соотношение, устанавливающее связь между воз­ можными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями, т. е. соотношение вида Р (I).

Упорядоченный набор N случайных величин tN= (tu t2, ..., tN) называется с л у ч а й н ы м в е к т о р о м . Напомним основную интуитивную идею формирования .У-мерного пространства МЛ'! [22]. Пусть вначале рассматривается трехмерное пространство. Каждая точка этого пространства определяется тремя коорди­ натами и обратно — каждая тройка чисел (^, 1% tz) определяет некоторую точку пространства, для которой эта тройка чисел является координатами. В связи с этим точки трехмерного прост­

ненты которых t^RV). Понятно, что множества RW и R W — ча­ стные случаи R.

Первое определение случайной величины, будучи интуитивно понятным, не позволяет установить ее связи с событием и веро­ ятностным пространством (R, В, Р ).

Второе определение. Случайной величиной t называется ве­ щественная функция ^ = Тг(е) выборочной точки е, определенная в вероятностном пространстве (R, В, Р), если она отображает R в /?<■>. Обозначим это так:

Случайный вектор отображает R в RM:

ниях один отказ при первом испытании и т. д.), образующих вы­ борочное пространство исходов R. Точками e ^ R являются серии из п исходов с фиксированными числом отказов и номерами в серии испытаний с отказами.

15

является выборочной точкой пространства R, образованного четырьмя точками (ei, е2, е3, е.,) —е. Другими словами, здесь R — множество векторов е.

стоящее в выполнении условия —оо<7,-^лу; х,-— некоторое фик­

сируемое значение 7,-.

—►

Функция распределения случайного вектора tN обозна­ чается как

N

F (хъ Хъ,..., xn )= F ( xn ^, причем Р(Л) = /г (хЛг)= Р(^П1^/)

F' (x n ) — P(^v£ Л0).

Множество Л0 будем обозначать как

Л0— ([—оо, ху], i = \ , N ) .

Изменение случайной величины 7* в ограниченном интервале {например, a<ti<b, т. е. Ц е[а, Ь], вместо 7*е [—оо, оо]} при использовании соотношения (1.37) будет означать, что вероят­ ность ее попадания вне указанного интервала равна нулю.

16

В частном случае, когда N=1 (т. е. когда рассматривается одномерная случайная величина), F (х) = Р ( —о о < ^ х ) .

Свойства функции распределения вытекают из общих свойств функций от множеств [45] и состоят в следующем.

1.Вероятность F(xN) является неубывающей функцией веще­ ственных переменных х{.

2.Функция F ( x n ) непрерывна по каждой переменной, по крайней мере справа, т. е. для i= 1, 2,..., N:

F (x u х л,...х,-1г лг, + 0>x i+1,..., xN)= F ( x 1,x 2,...,xN). (I- 38)

3. Функция F (xN) принимает значения менаду нулем и еди­

ницей [0 < F ( x n ) < 1], причем

ства 0 ) . Любая функция, удовлетворяющая упомянутым свой­ ствам, есть функция распределения.

Существуют три типа векторов tN^RW :

1)непрерывный (имеющий в качестве компонентов непрерыв­ ные случайные величины);

2)дискретный (имеющий в качестве компонентов дискретные случайные величины);

3)смешанный (имеющий часть компонентов в виде непрерыв­ ных и часть компонентов в виде дискретных случайных величин).

Каждый из указанных векторов имеет характерную для него функцию распределения.

Функция распределения непрерывного случайного вектора t* имеет вид

(1.41)

где iji — переменные интегрирования (/=1, N). Производная N-го порядка

дх\, дхч,...,дх

X N

Р (лу, v2,...,v.v)—Р (^ — Vj, /2 = v2,...,tN= v N)= Р (Удг);

у,- — переменные суммирования, принимающие в выражении (1.43) значения

Функция распределения смешанного случайного вектора с N t дискретными и N2 непрерывными компонентами может быть представлена в виде

где /(■) — плотность /(■) совместного распределения N2 компо­ нент при данном наборе значений (лу, г2,...,улД.

Случайные величины t\, /2, • • •, Cv называются независимыми, если

i - 1

где F(xi)=P{—oo<ti^Xi) — одномерная функция распределе­ ния случайной величины ti.

Для независимых случайных величин, как следует из выра­ жения (1.45), справедливы соотношения

где Р(у/)= Р(/,. = лу), а /(,х ;)= -^-Д (х,.)-функция плотности

ClЛI

вероятности непрерывной случайной величины t

18