ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 27.04.2024
Просмотров: 33
Скачиваний: 0
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
С.К.О. результата измерения. 
– оценка дисперсии результата измерения; 
– оценка дисперсии измерения i-го аргумента.
Теперь рассмотрим задачу оценивания систематической погрешности. Эти погрешности учитываются путём введения поправок. Реализация неисключённых систематических составляющих
должна иметь свои границы возможных значений 
. Если две составляющие общей погрешности считать нормально распределёнными (а это оправдано, когда число слагаемых велико, и все границы вычислены для одной доверительной вероятности ), то в этом случае:
Обработка результатов косвенных
измерений
Дано: A=F(A1,A2,…Am);
Пусть каждая из величин Аj j=(1,…m) измерена с погрешностью j. Необходимо оценить значение погрешности А результата косвенного измерения. Рассмотрим полный дифференциал:
или
Заменив дифференциалы соответствующими приращениями, для погрешности получим:
Если
и погрешности некоррелированы, то 
Рассмотрим пример 1. Пусть наша функция линейна и имеет вид:
где
известные коэффициенты. Тогда 
; 
;
Рассмотрим пример 2. Пусть наша функция логарифмируема и имеет вид:
где
– известные величины. Прологарифмируем, а затем продифференцируем нашу функцию
Положив погрешности измерений малыми, заменив в (3) дифференциалы соответствующими приращениями:
где
– относительные погрешности. Дисперсия случайной относительной погрешности равна:
Видно, что в данном случае расчёт погрешностей упрощается при переходе к оценкам относительных погрешностей измерений.
Обработка результатов совместных
измерений
При совместных измерениях искомые значения величин находят решением системы уравнений, связывающей эти величины с непосредственно измеряемыми. Предположим, что искомые значения величин определяются в результате решения системы линейных уравнений:
где i (при i=1,…,k) – искомые значения величин; yi (при j=1,…,n) – измеряемые значения величин; xi,j –известные величины. Эту систему уравнений можно переписать в виде:
при (при j=1,…,n). Введём матричные обозначения:
Здесь Y,X – матрицы наблюдений; В – матрица неизвестных (искомых) постоянных величин; Е – матрица ошибок измерений Y. С учётом ошибок измерений модель, представленную в виде исходной системы уравнений, запишем как:
Y=XB+E (4)
Будем полагать, что матрица X не содержит линейно связанных столбцов и имеет ранг rg(X)=k. Если число уравнений n меньше числа неизвестных k, то rg(X)k и система (4) не имеет единственного решения. rg(X)=k, если Х не содержит линейно связанных столбцов и nk. В случае n=k система имеет единственное решение [это согласно Анго А. Математика для электро- и радиоинженеров.– М.: Наука, 1966, 779с.] В случае nk она, вообще говоря, не имеет решения, т.к. из-за ошибок наблюдения Е, которых мы не знаем, система оказывается несовместной. В этом случае система (4) называется условной. Решение ищется методами регрессионного анализа, например, по методу максимального правдоподобия. Эти методы мы рассмотрим отдельно.
Рассмотрим методы обработки результатов измерений, связанные со статистическими погрешностями.
Общая схема эмпирического построения модели
Процедура построения вероятностной модели начинается с тщательного анализа исходных опытных данных, который преследует две цели:
1) исключить ошибочные данные и 2) установить эмпирическое соотношение между выбранными величинами.
Для исключения ошибочных данных необходимо оценить величину ошибки. Если она превышает допустимые значения, следует провести дополнительные измерения, на основе которых можно отбросить ошибочный результат или заменить его на новый. Измерения следует продолжать до тех пор, пока результаты приобретут какой-то смысл, позволяющий установить наличие или отсутствие какого-либо соотношения, тренда между исследуемыми величинами.
В экспериментах часто измеряются пары величин х и у, причём одна из них, у, является функцией другой, х. Затем найденные значения откладывают на графике и пытаются найти кривую, соответствующую алгебраической функции у=(х), которая проходила бы как можно ближе к экспериментальным точкам. Задача нахождения параметров функции (х) и составляет суть эмпирического метода моделирования.
Метод наименьших квадратов (МНК)
МНК применяется, когда из-за наличия случайных ошибок измерений (как говорят, из-за наличия «шума» в эксперименте) становится неразумным подбор формулы, описывающей все опытные значения. Т.е. когда при обработке опытных данных возникает задача о сглаживании экспериментальных зависимостей. При этом вид сглаживающей формулы должен быть известен заранее либо из теоретических соображений, либо из-за простоты аналитического представления.
Пусть исследуется зависимость y=(x). Требуется определить вид этой зависимости. В результате опыта мы получаем ряд экспериментальных точек и строим график.
Случайные отклонения от видимой общей закономерности связаны с некоторыми ошибками измерения. Возникает вопрос: как наилучшим образом воспроизвести зависимость у от х Для решения подобных задач обычно применяется расчётный метод, известный под названием «МНК». Этот метод даёт возможность при заданном типе зависимости у=(х) так выбрать её числовые параметры, чтобы кривая у=(х) в известном смысле наилучшим образом отображала экспериментальные данные. Из каких соображений выбирается тип кривой у=(х) Часто этот вопрос решается непосредственно по внешнему виду экспериментальной зависимости.
Н
апример:
Для периодической функции – это гармоники тригонометрического ряда. Часто также бывает, что вид зависимости (линейная, квадратическая, показательная) бывает известен из физических соображений, связанных с существом решаемой задачи. А из опыта требуется установить только некоторые параметры этой зависимости. Пусть имеются результаты n независимых опытов.
Из теоретических или иных соображений выбран вид зависимости у=(х). Функция у=(х) содержит ряд числовых параметров a,b,c,… Требуется так выбрать эти параметры, чтобы кривая у=(х) наилучшим образом изображала зависимость, полученную в опыте. Решение этой задачи зависит от того, что считать «наилучшим». Можно, например, наилучшим считать такое взаимное расположение точек кривой, при котором максимальное расстояние между ними обращается в минимум. А можно считать решение наилучшим, если сумма отклонений точек от кривой равна минимуму. В «МНК» сумма квадратов отклонений экспериментальных точек от сглаживающей кривой обращается в минимум. Преимущества «МНК»:
1) это сравнительно простой метод нахождения параметров кривой a,b,c,…
2) метод имеет довольно веское теоретическое обоснование с вероятностной точки зрения.
Изложим это обоснование.
Предположим, что истинная зависимость у от х выражается формулой у=(х). Экспериментальные точки уклоняются от этой зависимости вследствие ошибок измерения. Ошибки измерения, как правило, подчиняются нормальному закону. Рассмотрим какое-нибудь значение аргумента хi. Результат опыта есть случайная величина Yi, распределённая по нормальному закону с мат. ожиданием ( хi) и с СКО i, характеризующим ошибку измерения. Предположим, что точность измерения во всех точках одинакова:
– оценка дисперсии результата измерения; – оценка дисперсии измерения i-го аргумента.Теперь рассмотрим задачу оценивания систематической погрешности. Эти погрешности учитываются путём введения поправок. Реализация неисключённых систематических составляющих
должна иметь свои границы возможных значений . Если две составляющие общей погрешности считать нормально распределёнными (а это оправдано, когда число слагаемых велико, и все границы вычислены для одной доверительной вероятности ), то в этом случае: Обработка результатов косвенных
измерений
Дано: A=F(A1,A2,…Am);
Пусть каждая из величин Аj j=(1,…m) измерена с погрешностью j. Необходимо оценить значение погрешности А результата косвенного измерения. Рассмотрим полный дифференциал:
или
Заменив дифференциалы соответствующими приращениями, для погрешности получим:
Если
и погрешности некоррелированы, то Рассмотрим пример 1. Пусть наша функция линейна и имеет вид:
где
известные коэффициенты. Тогда
; ;Рассмотрим пример 2. Пусть наша функция логарифмируема и имеет вид:
где
– известные величины. Прологарифмируем, а затем продифференцируем нашу функцию Положив погрешности измерений малыми, заменив в (3) дифференциалы соответствующими приращениями:
где
– относительные погрешности. Дисперсия случайной относительной погрешности равна: Видно, что в данном случае расчёт погрешностей упрощается при переходе к оценкам относительных погрешностей измерений.
Обработка результатов совместных
измерений
При совместных измерениях искомые значения величин находят решением системы уравнений, связывающей эти величины с непосредственно измеряемыми. Предположим, что искомые значения величин определяются в результате решения системы линейных уравнений:
где i (при i=1,…,k) – искомые значения величин; yi (при j=1,…,n) – измеряемые значения величин; xi,j –известные величины. Эту систему уравнений можно переписать в виде:
при (при j=1,…,n). Введём матричные обозначения: Здесь Y,X – матрицы наблюдений; В – матрица неизвестных (искомых) постоянных величин; Е – матрица ошибок измерений Y. С учётом ошибок измерений модель, представленную в виде исходной системы уравнений, запишем как:
Y=XB+E (4)
Будем полагать, что матрица X не содержит линейно связанных столбцов и имеет ранг rg(X)=k. Если число уравнений n меньше числа неизвестных k, то rg(X)k и система (4) не имеет единственного решения. rg(X)=k, если Х не содержит линейно связанных столбцов и nk. В случае n=k система имеет единственное решение [это согласно Анго А. Математика для электро- и радиоинженеров.– М.: Наука, 1966, 779с.] В случае nk она, вообще говоря, не имеет решения, т.к. из-за ошибок наблюдения Е, которых мы не знаем, система оказывается несовместной. В этом случае система (4) называется условной. Решение ищется методами регрессионного анализа, например, по методу максимального правдоподобия. Эти методы мы рассмотрим отдельно.
Рассмотрим методы обработки результатов измерений, связанные со статистическими погрешностями.
Общая схема эмпирического построения модели
Процедура построения вероятностной модели начинается с тщательного анализа исходных опытных данных, который преследует две цели:
1) исключить ошибочные данные и 2) установить эмпирическое соотношение между выбранными величинами.
Для исключения ошибочных данных необходимо оценить величину ошибки. Если она превышает допустимые значения, следует провести дополнительные измерения, на основе которых можно отбросить ошибочный результат или заменить его на новый. Измерения следует продолжать до тех пор, пока результаты приобретут какой-то смысл, позволяющий установить наличие или отсутствие какого-либо соотношения, тренда между исследуемыми величинами.
В экспериментах часто измеряются пары величин х и у, причём одна из них, у, является функцией другой, х. Затем найденные значения откладывают на графике и пытаются найти кривую, соответствующую алгебраической функции у=(х), которая проходила бы как можно ближе к экспериментальным точкам. Задача нахождения параметров функции (х) и составляет суть эмпирического метода моделирования.
Метод наименьших квадратов (МНК)
МНК применяется, когда из-за наличия случайных ошибок измерений (как говорят, из-за наличия «шума» в эксперименте) становится неразумным подбор формулы, описывающей все опытные значения. Т.е. когда при обработке опытных данных возникает задача о сглаживании экспериментальных зависимостей. При этом вид сглаживающей формулы должен быть известен заранее либо из теоретических соображений, либо из-за простоты аналитического представления.
Пусть исследуется зависимость y=(x). Требуется определить вид этой зависимости. В результате опыта мы получаем ряд экспериментальных точек и строим график.
Случайные отклонения от видимой общей закономерности связаны с некоторыми ошибками измерения. Возникает вопрос: как наилучшим образом воспроизвести зависимость у от х Для решения подобных задач обычно применяется расчётный метод, известный под названием «МНК». Этот метод даёт возможность при заданном типе зависимости у=(х) так выбрать её числовые параметры, чтобы кривая у=(х) в известном смысле наилучшим образом отображала экспериментальные данные. Из каких соображений выбирается тип кривой у=(х) Часто этот вопрос решается непосредственно по внешнему виду экспериментальной зависимости.
Н
апример:Для периодической функции – это гармоники тригонометрического ряда. Часто также бывает, что вид зависимости (линейная, квадратическая, показательная) бывает известен из физических соображений, связанных с существом решаемой задачи. А из опыта требуется установить только некоторые параметры этой зависимости. Пусть имеются результаты n независимых опытов.
| i | 1 | 2 | … | n |
| xi | x1 | x2 | … | xn |
| yi | y1 | y2 | … | yn |
Из теоретических или иных соображений выбран вид зависимости у=(х). Функция у=(х) содержит ряд числовых параметров a,b,c,… Требуется так выбрать эти параметры, чтобы кривая у=(х) наилучшим образом изображала зависимость, полученную в опыте. Решение этой задачи зависит от того, что считать «наилучшим». Можно, например, наилучшим считать такое взаимное расположение точек кривой, при котором максимальное расстояние между ними обращается в минимум. А можно считать решение наилучшим, если сумма отклонений точек от кривой равна минимуму. В «МНК» сумма квадратов отклонений экспериментальных точек от сглаживающей кривой обращается в минимум. Преимущества «МНК»:
1) это сравнительно простой метод нахождения параметров кривой a,b,c,…
2) метод имеет довольно веское теоретическое обоснование с вероятностной точки зрения.
Изложим это обоснование.
Предположим, что истинная зависимость у от х выражается формулой у=(х). Экспериментальные точки уклоняются от этой зависимости вследствие ошибок измерения. Ошибки измерения, как правило, подчиняются нормальному закону. Рассмотрим какое-нибудь значение аргумента хi. Результат опыта есть случайная величина Yi, распределённая по нормальному закону с мат. ожиданием ( хi) и с СКО i, характеризующим ошибку измерения. Предположим, что точность измерения во всех точках одинакова:
