Файл: Конспект лекций по дисциплине Исследование операций и теории принятия решений.doc

3.3 Принятие решений в условиях неопределённости

Критерии, которые будут рассмотрены, базируются на том, что лицу, принимающему решение (ЛПР), не противостоит разумный противник, т.е. в роли противника выступает «природа», у которой нет оснований причинять вред лицу, принимающему решение.

Данные, необходимые для принятия решений в условиях неопределённости, обычно задаются в виде матрицы, строки которой соответствуют возможным действиям, а столбцы – возможным состояниям системы. Каждому действию и каждому возможному состоянию системы соответствует результат (исход), определяющий выигрыш при выборе данного действия и реализации данного состояния. Таким образом, если представляет действие и представляет возможное состояние , то описывает соответствующий результат:

.

3.3.1 Критерий Лапласа

Этот критерий опирается на известный принцип недостаточного обоснования. Предполагается, что состояния имеют равные вероятности. Поскольку информация для вывода, что эти вероятности различны, отсутствует, то по принципу недостаточного обоснования утверждается противоположное, т.е. эти вероятности равны.

Следовательно, задачу можно рассматривать как задачу принятия решения в условиях риска, когда выбирается действие , дающее наибольший ожидаемый выигрыш. Другими словами, находится действие

---

, соответствующее:

если – это функция затрат, (3.2)

если – это функция дохода, (3.3)

где – вероятность реализации состояния .

ПРИМЕР3.9 Одно из предприятий должно определить уровень предложения услуг так, чтобы удовлетворить потребности клиентов в течение предстоящих праздников. Точное число клиентов неизвестно, но ожидается, что оно может принять одно из четырех значений: , , или . Для каждого из этих возможных значений существует наилучший уровень предложений с точки зрения возможных затрат. Отклонение от этих уровней приводит к дополнительным затратам либо из-за превышения предложения над спросом, либо из-за неполного удовлетворения спроса.

Матрица, определяющая потери имеет следующий вид:

	Клиенты (состояние)
Уровень предложения (действия)

Необходимо определить уровень предложений, при котором ожидаемые потери будут минимальны.

Решение. Принцип Лапласа предполагает, что , , ,

---

равновероятны. Следовательно , и ожидаемые потери при различных действиях составляют:



Т.к. исходная матрица является матрицей потерь, то по (3.2) определим минимальные ожидаемые затраты:

.

Таким образом, в соответствии с критерием Лапласа, наилучшим уровнем предложение с точки зрения минимизации потерь является уровень предложений , которому соответствуют ожидаемые потери в размере  ден. ед.

3.3.2 Минимаксный (максиминный) критерий

Этот критерий является наиболее осторожным, поскольку он основывается на выборе наилучшей из наихудших возможностей.

Если результат представляет потери лица, принимающего решение, то по минимаксному критерию должно выбираться действие , дающее:

если – это функция затрат, (3.4)

Аналогично в том случае, когда функция представляет доход, согласно максиминному критерию, выбирается действие , дающее:

. если – это функция дохода, (3.5)

ПРИМЕР3.10 Применим минимаксный критерий для задачи, рассмотренной в примере 3.9.

Решение.

---

 Т.к. представляют потери, применяем минимаксный критерий.



Теперь найдем в соответствии с (3.4) минимальные ожидаемые потери

,

что соответствует выбору уровень предложений .

3.3.3 Критерий Сэвиджа

Критерий минимакса настолько «пессимистичен», что иногда может приводить к нелогичным выводам.

Рассмотрим следующую матрицу потерь:



Применение минимаксного критерия приводит к выбору .



.

Но интуитивно лучше выбрать , поскольку не исключено, что состояние будет равно , и потери составят только  ден. ед., тогда, как выбор всегда приводит к потерям в  ден. ед. при любом .

Критерий Сэвиджа позволяет исключить такой вариант. Для этого матрицу потерь заменяют на элементы, которой определяется следующим образом:

если – это потери, (3.6)

---

если – это доход, (3.7)

где – это возможное действие.

Это означает, что есть разность между наилучшим значением в столбце и значением при том же .

Определение: Матрица , элементы которой находятся по формуле (3.6) называется матрицей сожаления.

Для выше рассмотренного примера матрица сожаления примет вид:



Применим к матрице сожаления минимаксный критерий.



.

Получается, что следует выбирать действие , что является более логичным для заданной матрицы потерь .

Следует отметить, что – это функция сожаления, определяющая потери, поэтому к матрице применим только минимаксный критерий.

ПРИМЕР3.11 Применим для задачи рассмотренной в примере 3.9 критерий Сэвиджа.

.

Решение. Заданная матрица определяет потери исходя из этого в соответствии с (3.6) вычислим матрицу сожаления .

Для начала найдем (минимальное значение в каждом столбце).

---