Файл: Конспект лекций по дисциплине Исследование операций и теории принятия решений.doc

3.2 Теория принятия решений в условиях риска

Если решение принимается в условиях риска, то стоимости альтернативных решений обычно описываются вероятностными распределениями [9 стр. 560].

По этой причине принимаемые решения основываются на использовании одного из следующих критериев:

1. 
   критерий ожидаемого значения (прибыли или расходов);
   
2. 
   критерий «ожидаемое значение-дисперсия»;
   
3. 
   критерий предельного уровня;
   
4. 
   критерий наиболее вероятного исхода [5 стр. 6].
   

3.2.1 Критерий ожидаемого значения

Критерий ожидаемого значения сводится либо к максимизации ожидаемой (средней) прибыли, либо к минимизации ожидаемых затрат.

Использование ожидаемых величин предполагает возможность многократного решения одной и той же задачи. Математически это утверждение выражается следующим образом.

Пусть – это случайная величина с математическим ожиданием и дисперсией . Если это случайная выборка объемом , то выборочное среднее (в соответствии с эмпирическим средним [10 стр. 458]) и имеет дисперсию . Таким образом, когда дисперсия и приближается к .

Определение: Математическое ожидание – это такая величина, относительно которой каким-то образом группируются, рассеиваются возможные значения случайной величины.

---

Определение: Дисперсия – это параметр, показывающий величину отклонения (рассеивания) значений случайной величины относительно математического ожидания .

Следовательно, использование критерия ожидаемого значения допустимо лишь в случае, когда одно и то же решение приходится принимать достаточно большое число раз, т.к. если необходимость в некотором решении встречается редко то выборочное среднее ( ) может значительно отличаться от математического ожидания ( ) [5 стр. 8].

ПРИМЕР 3.1 Предположим, что необходимо вложить на фондовой бирже  ден. ед. в акции одной из двух компаний: или . Акции компании являются рискованными, но могут принести прибыли от суммы инвестиций на протяжение следующего года. Если условия фондовой биржи будут неблагоприятны, то сумма инвестиций может обесцениться на . Кампания обеспечивает безопасность инвестиций с прибылью в условиях повышения котировок на бирже и только – в условиях понижения котировок. Все аналитические публикации с вероятностью прогнозируют повышение котировок и с вероятностью понижение котировок.

Необходимо принять решение о том в какую компанию следует вложить деньги.

Решение. Сведем информацию из поставленной задачи примера в следующую таблицу.

---

Альтернативные решения	Прибыль за один год инвестиций в размере
	При повышении котировок (ден. ед.)	При понижении котировок (ден. ед.)
Приобрести акции компании	5000	-2000
Приобрести акции компании	1500	500
Вероятность события	0,6	0,4

В соответствии с формулой математического ожидания ожидаемая прибыль за год для каждой из двух альтернатив будет равна:

для компании ,

для компании .

Таким образом, необходимо принять решение, основанное на вычислениях ожидаемых прибылях, в пользу покупки акций компании .

В общем случае задача принятия решений может включать состояний природы и альтернатив.

Состояниями природы в рассмотренном примере является случайные события, заключающиеся в повышении и понижении котировок на бирже.

Если принять – за вероятность появления состояния природы, а за

---

– это платеж, связанный с принятием решения при состоянии природы . Тогда ожидаемый платеж для решения вычисляется в виде:

, для всех ,

где по определению .

В результате наилучшим решением будет то, которое соответствует или в зависимости от того, является ли платеж в задаче доходом (прибылью) или убытком (затратами) [9 стр. 561].

ПРИМЕР 3.2 Необходимость в проведение профилактического ремонта оборудования требует принятие решения о том, когда следует проводить плановый ремонт станков, чтобы минимизировать потери из-за отказа. Если весь временной горизонт разбит на равные периоды (день, неделя, час), то решение заключается в определении оптимального числа периодов между двумя последующими ремонтами.

В случае когда они производятся слишком часто, затраты на обслуживание будут большими, а потери из-за случайных отказов малы и наоборот.

Станок из группы в станков ремонтируется индивидуально, если он остановился из-за отказа (неисправности).

Через каждые интервалов времени выполняется профилактический ремонт всех станков.

Так как невозможно предсказать заранее, когда возникнет неисправность (отказ станка), то необходимо определить вероятность того, что станок выйдет из строя в период времени . В данном случае это и есть элемент «риска» в процессе принятия решения.

---

Пусть — вероятность выхода из строя одного станка в период времени при отсутствии профилактического ремонта.

	1	2	3	4	5
	0,05	0,07	0,10	0,13	0,18

– случайная величина, представляющая число всех вышедших из строя станком в период времени .

– это затраты на ремонт вышедшего из строя станка. Ремонт выполняется за один период времени.

– это затраты на проведение профилактического ремонта одного станка. Профилактический ремонт выполняется за один период времени.

Таким образом, задача состоит в определении оптимального значения , при котором минимизируются общие затраты на ремонт вышедших из строя станков и проведение профилактического ремонта в расчете на один интервал времени.

Решение. Удельные затраты за один интервал представляет собой отношение суммарных затрат к интервалу времени :

,

где  – это затраты на проведение ремонта в случае отказа единиц станков (т.к. в любой период времени может отказать произвольное число станков

---