Файл: Учебное пособие Киров 2010 удк 311(075. 8) Ббк 60. 60я73 К91.doc

Q₁ Q₃

Р а н ж и р о в а н н а я с о в о к у п н о с т ь

Медиана
Квартили

Рис. 1. Расположение структурных средних в статистической совокупности

Квартили – значения признака, делящие ранжированную совокупность на 4 равные части (на рис. 1 это точки Q₁, Me и Q₃).

, ,

где – нижняя граница интервала, содержащего нижний квартиль (интервал определяется по накопленной частоте, первой превышающей 25%);

– нижняя граница интервала, содержащего верхний квартиль (интервал определяется по накопленной частоте, первой превышающей 75%);

– длина интервала;

– накопленная частота интервала, предшествующего интервалу, содержащему нижний квартиль;

– накопленная частота интервала, предшествующего интервалу, содержащему верхний квартиль;

– частота интервала, содержащего нижний квартиль;

– частота интервала, содержащего верхний квартиль.

Децилем называется структурная переменная, которая делит распределение на 10 равных частей по 10% единиц в каждой части. Децилей – девять, децильных групп – десять.
Децили вычисляются по той же схеме:

,

---

и т. д.

Анализ вариационного ряда дополняется расчетом показателя дифференциации.

По ряду распределения определяется коэффициент децильной дифференциации:

.

Он показывает, во сколько раз наименьший уровень признака из 10% единиц, имеющих наибольший уровень признака, больше наибольшего уровня признака, из 10% единиц совокупности, имеющих наименьший уровень признака. Применяется для характеристики дифференциации населения по уровню дохода.

По первичным данным определяется коэффициент фондовой дифференциации:

,

где – среднее значение признака в 10-й децильной группе;

– среднее значение признака в 1-й децильной группе.

2. Показатели вариации

Вариация – различия в значениях какого-либо признака у разных единиц данной совокупности в один и тот же период, момент времени.

Показатели вариации – это показатели отклонений индивидуальных значений признака от их среднего значения. Чем меньше эти отклонения, тем средняя более показательна, надежна.

Абсолютные и средние показатели вариации

1. Размах вариации показывает разность между наибольшим ( ) и наименьшим ( ) значениями варьирующего признака:



2. Среднее линейное отклонениевычисляется как средняя арифметическая из абсолютных значений отклонений вариантов признака от их среднего значения .

– простое среднее линейное отклонение;

– взвешенное среднее линейное отклонение.

---

Разности в числителе взяты по модулю, иначе среднее линейное отклонение всегда будет равно 0 (так как сумма всех отклонений отдельных вариантов признака от их среднего значения равна нулю: ).

На практике среднее линейное отклонение используют редко, только в тех случаях, когда суммирование показателей без учета знака имеет экономический смысл.

3. Дисперсия представляет собой средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины.

– простая дисперсия;

– взвешенная дисперсия.

4. Среднее квадратическое отклонениеравно корню квадратному из дисперсии:

– простое среднее квадратическое отклонение;

– взвешенное среднее квадратическое отклонение.

Среднее линейное отклонение и среднее квадратическое отклонение показывают, на сколько в среднем отклоняются конкретные варианты признака от их среднего значения, выражаются в тех же единицах измерения, что и признак.

Среднее квадратическое отклонение показывает абсолютную меру колеблемости признака в совокупности.

Показатели относительного рассеивания

1. Коэффициент осцилляции отражает относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней:

.

2. Относительное линейное отклонение характеризует долю усредненного значения абсолютных отклонений от средней величины:

.

3. Коэффициент вариации:

.

Учитывая, что среднее квадратическое отклонение дает обобщенную характеристику колеблемости всех вариантов совокупности, коэффициент вариации является наиболее распространенным показателем колеблемости. Если

---

< 33% , то вариация признака считается незначительной, а совокупность единиц, обладающих этим признаком, – однородной.

Пример 9: Определить среднюю стоимость основных производственных фондов (ОПФ) предприятий региона. Определить показатели вариации стоимости ОПФ. Сделать выводы.

Таблица 5.9

Распределение малых предприятий региона

по стоимости основных производственных фондов (ОПФ) в 1996 г.

Группы предприятий по стоимости ОПФ, млн руб. x	14–16	16–18	18–20	20–22	22–24	Итого
Число предприятий, ед. f	2	6	10	4	3	25

Решение: предварительные расчеты проведем в следующей таблице:

Таблица 5.10

Расчетная таблица

Группы предприятий по стоимости ОПФ, млн руб.	Число предприя-тий,	Середина интервала,
14–16	2	15	30	4	8	16	32
16–18	6	17	102	2	12	4	24
18–20	10	19	190	0	0	0	0
20–22	4	21	84	2	8	4	16
22–24	3	23	69	4	12	16	48
итого	25	X	475	X	40	X	120

---

Сумма стоимостей ОПФ по всем предприятиям

Средняя стоимость ОПФ ( ) = ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– =

Количество предприятий

млн руб.

Размах вариации:

млн руб.

Среднее линейное отклонение:

млн руб.

Дисперсия:

.

Среднее квадратическое отклонение:

2,19 млн руб.

Коэффициент вариации:

11,5%

Вывод: средняя стоимость ОПФ малых предприятий региона составила 19 млн руб. Разница между наибольшей и наименьшей стоимостью ОПФ составила 10 млн руб. Стоимости ОПФ отдельных предприятий отклоняются в среднем на 1,6 млн руб. (по среднему линейному отклонению) и на 2,19 млн руб. (по среднему квадратическому отклонению) от средней стоимости ОПФ предприятий 19 млн руб. Предпочтение отдается выводу, сделанному по среднему квадратическому отклонению. Поскольку коэффициент вариации не превышает 33%, то совокупность предприятий по стоимости ОПФ можно считать однородной.

Дисперсия альтернативного признака

Среди множества варьирующих признаков, изучаемых статистикой, существуют признаки, которыми обладают одни единицы совокупности и не обладают другие. Эти признаки называются альтернативными. Примером таких признаков являются наличие бракованной продукции, ученая степень преподавателя вуза, учеба по определенной специальности и т. д.

Предположим, что вся статистическая совокупность имеет n единиц. Из них m единиц обладают выделенным признаком, тогда оставшиеся n – m единиц не обладают этим признаком.

Долю единиц, обладающих признаком, обозначим: , тогда пусть –доля единиц, не обладающих данным признаком.

---