Файл: Учебное пособие Киров 2010 удк 311(075. 8) Ббк 60. 60я73 К91.doc

Выделяют два класса средних величин:

1) Степенные средние:

– средняя арифметическая;

– средняя гармоническая;

– средняя геометрическая;

– средняя квадратическая и др.

2) Структурные средние:

– мода;

– медиана;

– квартили;

– перцентили;

– децили и др.

Средние степенные

В случае, когда каждый из вариантов признака встречается только один раз, средняя называется простой, если варианты признака повторяются различное число раз, то средняя называется взвешенной и ее расчет производится по сгруппированным данным или вариационным рядам.

Все перечисленные средние степенные величины объединяются в общей формуле средней степенной при различных значениях показателя степени.

Таблица 5.1

Виды средних степенных

Вид средней	Простая средняя	Взвешенная средняя
Степенная Гармоническая Геометрическая Арифметическая Квадратическая		, где

---

где варианты признака;

среднее значение признака;

число вариантов признака, ;

частоты;

показатель степени.

При использовании одних и тех же исходных данных чем больше k в формуле средней степенной, тем больше значение средней величины:

.

Это свойство степенных средних возрастать с показателем степени определяющей функции называется в статистике правилом мажорантности средних.

Вид средней выбирается в каждом отдельном случае путем конкретного анализа изучаемой совокупности.

Средняя арифметическая

Есть частное от деления суммы всех значений признака на их число. Применяется в тех случаях, когда объем варьирующего признака для всей совокупности образуется как сумма значений признака у отдельных единиц. Например, общий фонд заработной платы – это сумма заработных плат всех работников.

Частные случаи расчета средней арифметической

1) Средняя арифметическая по данным вариационного ряда:

а) средняя арифметическая по данным дискретного вариационного ряда распределения:

Пример 1:

Таблица 5.2

Распределение семей по числу детей

Группы семей по числу детей, чел. ( )	Число семей, ед.	Число детей
0 1 2 3 4 5	1 3 8 4 2 1	0 3 16 12 8 5
Итого	19	44

---

Определите среднее число детей в семье.


Решение:

Решение любой задачи на определение средней начинаем с записи исходного соотношения средней (ИСС), т. е. формулы, по которой определяется среднее значение признака.

ИСС:

Совокупное число детей во всех семьях

Среднее число детей в семье = –––––––––––––––––––––––––––––––––––– =

Количество семей

чел.

Ответ: среднее число детей в семье 2,3 человека. Для расчета использовали формулу средней арифметической взвешенной.
б) средняя арифметическая в интервальном вариационном ряду распределения:

При расчете среднего значения признака по интервальному вариационному ряду для выполнения необходимых вычислений от интервалов переходят к их серединам и расчет производят аналогично дискретному ряду распределения.

Пример 2:

Таблица 5.3

Распределение рабочих по размеру заработной платы в месяц

Группы рабочих по размеру заработной платы в месяц, руб. (х)	Среднее значение интервала, руб. ( )	Число рабочих, чел. (Частота )	Общий фонд заработной платы, руб., ( )
10000 – 15000 15000 – 20000 20000 – 25000 25000 – 30000	12500 17500 22500 27500	10 50 40 20	125 000 875 000 900 000 550 000
Итого	х	120	2450000

Определите среднюю заработную плату рабочих.

Решение:

Исходное соотношение средней:

Фонд заработной платы

Средняя заработная плата = –––––––––––––––––––––– =

Количество рабочих

---

= 20417 руб.

Ответ: средняя заработная плата работников предприятия равна 20417 руб.

---

2) Частным случаем средней арифметической является средняя хронологическая, которая применяется для расчета среднего значения по данным моментного ряда динамики.

Формула средней хронологической:



Пример 3:

Остатки товаров составили, тыс. руб.: на 1.01 500

на 1.02 550

на 1.03 530

на 1.04 520

Определить средний остаток товаров за I квартал.

Решение:

Можно вычислять по формуле средней арифметической простой.

Исходное соотношение средней:

cр. остаток за янв. + ср. ост. за февр.+ ср. ост. за март

cр. ост. товара за I кв. = ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– =

3

= тыс. руб.

Или сразу по формуле средней хронологической:

тыс. руб.

Ответ: средний остаток товара за I квартал равен 530 тыс. руб.

Средняя гармоническая

Применяется, когда имеются данные об индивидуальных значениях признака (х) и общем объеме совокупности (W), но неизвестны частоты (f ),или когда известен числитель исходного соотношения средней, но неизвестен знаменатель.

Пример 4:Имеются данные о ценах на хлеб и общей денежной выручке по группе магазинов. Определить среднюю цену реализации по всем магазинам.
Таблица 5.4

Распределение магазинов по цене на хлеб (на конец 2008 г.)

№ магазина	Цена за единицу, руб. (х)	Общая денежная выручка, тыс. руб. ( )
1 2 3	27,8 25,6 26,9	55 29 60
Итого:	х	144

где – это количество реализованного хлеба.

Решение:

Исходное соотношение средней:

общая денежная выручка

средняя цена хлеба = ––––––––––––––––––––––––––––––

---